مسائل IYPT 2027

صورت مسئله رسمی

ترتیب بهینه‌ی سوراخ‌های ریز در یک فیلم مات را برای تولید عینک آفتابی بررسی کنید که شدت نور را کاهش دهد و به تصحیح نزدیک‌بینی کمک کند.

صورت مسئله رسمی

شیارهای داده روی رسانه‌های نوری (مانند CD یا Blu-ray) به‌عنوان شبکه‌های پراشی انعکاسی با کیفیت بالا عمل می‌کنند. وقتی نور به آن‌ها می‌تابد، نور را به مؤلفه‌های طیفی تجزیه می‌کنند. با استفاده از یک دیسک نوری دیجیتال یک طیف‌نگار بسازید. طراحی را بهینه کنید تا قدرت تفکیک را بیشینه و ناهنجاری‌های نوری را کمینه کنید.

صورت مسئله رسمی

یک کره توخالی شامل یک توپ سنگین و مقداری مایع لزج است. حرکت غلتشی این کره به پایین یک صفحه شیبدار ناهموار و به‌طرز شگفت‌انگیزی کند است. این اثر را توضیح دهید و مورد بررسی قرار دهید.

صورت مسئله رسمی

برخی خازن‌های سرامیکی هنگامی که ولتاژ متناوب به آن‌ها اعمال می‌شود، صدای شنیداری ساطع می‌کنند. مشخصات صدای تولیدشده و وابستگی آن به پارامترهای مرتبط، مانند ولتاژ، فرکانس و ویژگی‌های خازن را بررسی کنید.

مثال روزمره: وزوز شارژر و لپ‌تاپ

گوش خود را نزدیک شارژر گوشی، آداپتور لپ‌تاپ یا منبع تغذیه رایانه ببرید. صدای ظریف «جیجی» یا «وز وز» می‌شنوید؟ این صدا از خازن‌های سرامیکی روی برد الکترونیکی داخل آن دستگاه می‌آید — دقیقاً پدیده «خازن آوازخوان». صدایی که در پس‌زمینه زندگی روزمره پنهان است و با گوشی کمی تیزتر همه‌جا قابل کشف است.

صورت مسئله رسمی

یک آونگ باودیچ بسازید — آونگی که ریسمان‌هایش شکل Y تشکیل می‌دهند. بررسی کنید که الگوهای لیساژو ایجادشده توسط گلوله به چه پارامترهایی وابسته‌اند.

صورت مسئله رسمی

«یک غشای لاستیکی نازک روی یک قاب دایره‌ای کشیده می‌شود و توسط یک بلندگو به ارتعاش درمی‌آید. یک آینه‌ی کوچک به غشا متصل است و یک پرتو لیزر از آن بازتاب می‌یابد و روی یک صفحه‌ی دور می‌افتد. در شرایط خاص، نقطه‌ی لیزر الگوهای هندسی پیچیده، پایدار یا در حال تکامل رسم می‌کند. رابطه‌ی بین پارامترهای محرک، خواص غشا، و الگوهای نور ایجادشده را بررسی کنید.»

مدهای ارتعاشی غشای دایره‌ای

معادله‌ی موج برای غشای دایره‌ای با شرط مرزی جابه‌جایی صفر در لبه ($r = R$) منجر به جواب‌های بسل می‌شود. تابع شکل مد $(m,n)$ عبارت است از:

$$psi_{mn}(r,theta,t) = A_{mn}, J_m!left(frac{k_{mn}, r}{R}right)cos(mtheta),cos(2pi f_{mn}, t)$$

که در آن $J_m$ تابع بسل نوع اول مرتبه $m$، و $k_{mn}$ $n$-امین ریشه‌ی غیرصفر $J_m(k_{mn}) = 0$ است. فرکانس رزونانس هر مد:

$$f_{mn} = frac{k_{mn}}{2pi R},c,,qquad c = sqrt{frac{T}{sigma}}$$

که $T$ کشش سطحی (نیرو بر واحد طول، N/m)، $sigma$ چگالی سطحی (kg/m²)، و $R$ شعاع قاب است.

جدول اولین ریشه‌های بسل $k_{mn}$

تبدیل ارتعاش به حرکت نقطه‌ی لیزر

آینه‌ای که در نقطه‌ی $(r_0, theta_0)$ روی غشا نصب شده، زاویه‌ی بازتاب را با کج شدن سطح غشا تغییر می‌دهد. اگر جابه‌جایی عمودی غشا در آن نقطه $z(t)$ باشد و بازوی مکانیکی آینه $ell$ باشد، تغییر زاویه‌ی لیزر:

$$Deltatheta_x(t) approx frac{2}{ell},frac{partial z}{partial x}bigg|_{(r_0,theta_0)},qquad Deltatheta_y(t) approx frac{2}{ell},frac{partial z}{partial y}bigg|_{(r_0,theta_0)}$$

فاصله‌ی صفحه‌ی تصویر $D$ نقطه‌ی لیزر را در مختصات $(X,Y) = (DDeltatheta_x,, DDeltatheta_y)$ نشان می‌دهد.

الگوهای Lissajous

هنگامی که یک مد تحریک می‌شود، هر دو مولفه $Deltatheta_x$ و $Deltatheta_y$ با همان فرکانس نوسان می‌کنند، اما ممکن است اختلاف فاز $delta$ داشته باشند:

$$X(t) = Acos(omega t),qquad Y(t) = Bcos(omega t + delta)$$

برای $delta = 0$ یا $pi$ خط مستقیم، برای $delta = pi/2$ بیضی، و برای $delta$ متغیر الگوی چرخنده به‌دست می‌آید.

هنگامی که دو مد $(m_1,n_1)$ و $(m_2,n_2)$ هم‌زمان تحریک می‌شوند با نسبت فرکانسی $p:q$:

$$X(t) = A_1cos(pomega t + phi_1),qquad Y(t) = A_2cos(qomega t + phi_2)$$

نقطه‌ی لیزر شکل Lissajous با نسبت $p:q$ می‌کشد. نزدیک رزونانس، دامنه‌ی بزرگ منجر به الگوهای پیچیده و در حال تکامل می‌شود زیرا اختلاف فاز $phi_1 - phi_2$ به‌کندی تغییر می‌کند.

پارامترها

راه‌اندازی آزمایش

برای اندازه‌گیری فرکانس‌های رزونانس بر حسب $R$ و $T$:

1. غشای لاستیکی را با کشش ثابت (با وزنه‌های مشخص) روی قاب‌های دایره‌ای با شعاع‌های مختلف ببندید.
2. فرکانس بلندگو را به‌آرامی از چند Hz تا چند صد Hz تغییر دهید و فرکانس‌هایی که الگوهای پایدار ایجاد می‌کنند را ثبت کنید.
3. نسبت $f_{mn}/f_{11}$ را با نسبت $k_{mn}/k_{11}$ مقایسه کنید تا صحت مدل بسل تایید شود.
4. با تنظیم هم‌زمان دو فرکانس نزدیک دو مد متفاوت ($k_{mn}$ متفاوت)، الگوهای پیچیده دو‌مدی را تولید و عکس بگیرید؛ نسبت $k_{m_1n_1}/k_{m_2n_2}$ را با الگوی مشاهده‌شده مقایسه کنید.

اندازه‌گیری سرعت صوت در غشا از رابطه‌ی $c = 2pi f_{01} R / k_{01}$، و سپس $T = c^2 sigma$.

انیمیشن — ارتعاش غشا و مسیر نقطه‌ی لیزر

(function(){ var _p6a={timer:null,t:0,running:false,_last:null,trail_x:[],trail_y:[],mdata:null,mlayout:null,ldata:null,llayout:null}; var KZEROS=[[2.4048,5.5201,8.6537],[3.8317,7.0156,10.1735],[5.1356,8.4172,11.6198],[6.3802,9.7610,13.0152]];

function jm(m,x){ if(x<1e-10)return(m===0?1:0); // use recursion from j0,j1 var j0=(function(x){ var ax=Math.abs(x); if(ax<8){var y=x*x;return(57568490574+y*(-13362590354+y*(651619640.7+y*(-11214424.18+y*(77392.33017+y*(-184.9052456))))))/(57568490411+y*(1029532985+y*(9494680.718+y*(59272.64853+y*(267.8532712+y)))));} var z=8/ax,y=z*z,xx=ax-0.785398164;return Math.sqrt(0.636619772/ax)*(Math.cos(xx)*(1+y*(-0.1098628627e-2+y*(0.2734510407e-4+y*(-0.2073370639e-5+y*0.2093887211e-6))))-z*Math.sin(xx)*(-0.1562499995e-1+y*(0.1430488765e-3+y*(-0.6911147651e-5+y*(0.7621095161e-6-y*0.934945152e-7))))); })(x); if(m===0)return j0; var j1=(function(x){ var ax=Math.abs(x); if(ax<8){var y=x*x;return x*(72362614232+y*(-7895059235+y*(242396853.1+y*(-2972611.439+y*(15704.4826+y*(-30.16036606))))))/(144725228442+y*(2300535178+y*(18583304.74+y*(99447.43394+y*(376.9991397+y)))));} var z=8/ax,y=z*z,xx=ax-2.356194491;var ans=Math.sqrt(0.636619772/ax)*(Math.cos(xx)*(1+y*(0.183105e-2+y*(-0.3516396496e-4+y*(0.2457520174e-5+y*(-0.240337019e-6)))))-z*Math.sin(xx)*(0.04687499995+y*(-0.2002690873e-3+y*(0.8449199096e-5+y*(-0.88228987e-6+y*0.105787412e-6)))));return x<0?-ans:ans; })(x); if(m===1)return j1; var prev=j0,cur=j1; for(var k=1;k<m;k++){var next=(2*k/x)*cur-prev;prev=cur;cur=next;} return cur; } function p6a_init(m,n,r0,th0){ var kmn=KZEROS[m][n]; var NTH=72,NR=30; var xs=[],ys=[],zs=[]; for(var ti=0;ti<NTH;ti++){ var theta=2*Math.PI*ti/NTH; for(var ri=0;riMath.cos(2*Math.PI*i/100)), y:Array.from({length:101},(_,i)=>Math.sin(2*Math.PI*i/100)), mode:'lines',line:{color:'#333',width:2},hoverinfo:'none'}, // mirror marker {x:[r0*Math.cos(th0)],y:[r0*Math.sin(th0)],mode:'markers', marker:{size:12,color:'#1a73e8',symbol:'star',line:{color:'#fff',width:1}},hoverinfo:'none'} ]; _p6a.mlayout={ xaxis:{range:[-1.15,1.15],showgrid:false,zeroline:false,showticklabels:false,fixedrange:true}, yaxis:{range:[-1.15,1.15],showgrid:false,zeroline:false,showticklabels:false,fixedrange:true,scaleanchor:'x'}, margin:{l:5,r:5,t:5,b:5},height:320, paper_bgcolor:'#fff',plot_bgcolor:'#fafafa',showlegend:false }; // laser init (ghost + trail + dot) var eps=1e-5,x0=r0*Math.cos(th0),y0=r0*Math.sin(th0); function rth(x,y){return{r:Math.sqrt(x*x+y*y),t:Math.atan2(y,x)};} var p1=rth(x0+eps,y0),p2=rth(x0-eps,y0),p3=rth(x0,y0+eps),p4=rth(x0,y0-eps); var dzdx=(jm(m,kmn*p1.r)*Math.cos(m*p1.t)-jm(m,kmn*p2.r)*Math.cos(m*p2.t))/(2*eps); var dzdy=(jm(m,kmn*p3.r)*Math.cos(m*p3.t)-jm(m,kmn*p4.r)*Math.cos(m*p4.t))/(2*eps); var norm=Math.sqrt(dzdx*dzdx+dzdy*dzdy)||1; _p6a.Ax=dzdx/norm; _p6a.Ay=dzdy/norm; _p6a.kmn=kmn; // ghost (full cycle) var gx=[],gy=[],Ngh=500; for(var i=0;i800){_p6a.trail_x.shift();_p6a.trail_y.shift();} _p6a.ldata[1].x=_p6a.trail_x.slice(); _p6a.ldata[1].y=_p6a.trail_y.slice(); _p6a.ldata[2].x=[lx]; _p6a.ldata[2].y=[ly]; Plotly.react('p6a_membrane',_p6a.mdata,_p6a.mlayout,{displayModeBar:false,responsive:true}); Plotly.react('p6a_laser',_p6a.ldata,_p6a.llayout,{displayModeBar:false,responsive:true}); _p6a.timer=requestAnimationFrame(p6a_frame); }

function p6a_ensure(cb){ if(typeof Plotly!=='undefined'){cb();return;} var s=document.createElement('script');s.src='https://cdn.plot.ly/plotly-2.27.0.min.js';s.onload=cb;document.head.appendChild(s); }

window.p6a_play=function(){ p6a_ensure(function(){ if(_p6a.running)return; var m=parseInt(document.getElementById('p6a_m').value),n=parseInt(document.getElementById('p6a_n').value)-1; var r0=parseFloat(document.getElementById('p6a_r0').value),th0=parseFloat(document.getElementById('p6a_th0').value)*Math.PI/180; var kmn=KZEROS[m][n]; document.getElementById('p6a_info').textContent='مد ('+m+','+(n+1)+') | k='+kmn.toFixed(3); if(!_p6a.mdata){p6a_init(m,n,r0,th0);} _p6a.running=true;_p6a._last=null;_p6a.timer=requestAnimationFrame(p6a_frame); }); }; window.p6a_pause=function(){_p6a.running=false;if(_p6a.timer){cancelAnimationFrame(_p6a.timer);_p6a.timer=null;}}; window.p6a_reset=function(){ p6a_pause();_p6a.t=0;_p6a.trail_x=[];_p6a.trail_y=[];_p6a.mdata=null; document.getElementById('p6a_info').textContent=''; var m=parseInt(document.getElementById('p6a_m').value),n=parseInt(document.getElementById('p6a_n').value)-1; var r0=parseFloat(document.getElementById('p6a_r0').value),th0=parseFloat(document.getElementById('p6a_th0').value)*Math.PI/180; p6a_ensure(function(){p6a_init(m,n,r0,th0);}); }; })();

تحلیل با Python

شبیه‌سازی زیر دو خروجی اصلی را نمایش می‌دهد:
نمودار چپ: شکل مد $(m,n)$ روی غشا — نواحی سبز بالا، نواحی بنفش پایین، خطوط نقطه‌چین گره‌های مد.
نمودار راست: مسیر نقطه‌ی لیزر روی صفحه — یک مد (بیضی/خط) یا دو مد (لیساژو).

(function(){ var _p6={pyodide:null,loading:false};

// Bessel zeros k_mn (rows: m=0..3, cols: n=1..3) var KZEROS=[[2.4048,5.5201,8.6537],[3.8317,7.0156,10.1735],[5.1356,8.4172,11.6198],[6.3802,9.7610,13.0152]];

function p6_bessel_j0(x){ // rational approx valid to 1e-6 for 0<=x<=inf if(x===0)return 1; var ax=Math.abs(x); if(ax<8){ var y=x*x; var p1=57568490574.0+y*(-13362590354.0+y*(651619640.7+y*(-11214424.18+y*(77392.33017+y*(-184.9052456))))); var q1=57568490411.0+y*(1029532985.0+y*(9494680.718+y*(59272.64853+y*(267.8532712+y*1.0)))); return p1/q1; } else { var z=8/ax; var y=z*z; var xx=ax-0.785398164; var p1=1.0+y*(-0.1098628627e-2+y*(0.2734510407e-4+y*(-0.2073370639e-5+y*0.2093887211e-6))); var q1=-0.1562499995e-1+y*(0.1430488765e-3+y*(-0.6911147651e-5+y*(0.7621095161e-6-y*0.934945152e-7))); return Math.sqrt(0.636619772/ax)*(Math.cos(xx)*p1-z*Math.sin(xx)*q1); } } function p6_bessel_j1(x){ var ax=Math.abs(x); if(ax<8){ var y=x*x; var p1=x*(72362614232.0+y*(-7895059235.0+y*(242396853.1+y*(-2972611.439+y*(15704.48260+y*(-30.16036606)))))); var q1=144725228442.0+y*(2300535178.0+y*(18583304.74+y*(99447.43394+y*(376.9991397+y*1.0)))); return p1/q1; } else { var z=8/ax; var y=z*z; var xx=ax-2.356194491; var p1=1.0+y*(0.183105e-2+y*(-0.3516396496e-4+y*(0.2457520174e-5+y*(-0.240337019e-6)))); var q1=0.04687499995+y*(-0.2002690873e-3+y*(0.8449199096e-5+y*(-0.88228987e-6+y*0.105787412e-6))); var ans=Math.sqrt(0.636619772/ax)*(Math.cos(xx)*p1-z*Math.sin(xx)*q1); return x<0?-ans:ans; } } function p6_bessel_jm(m,x){ if(m===0)return p6_bessel_j0(x); if(m===1)return p6_bessel_j1(x); if(x===0)return 0; // downward recurrence var bj=[], bjm=p6_bessel_j0(x), bjp=p6_bessel_j1(x); if(m===0)return bjm; if(m===1)return bjp; for(var j=1;j<m;j++){var tmp=(2*j/x)*bjp-bjm; bjm=bjp; bjp=tmp;} return bjp; } function p6_dbessel_dr(m,kmn,r,R){ // d/dr [ J_m(kmn*r/R) ] = (kmn/R) * 0.5*(J_{m-1}(u) - J_{m+1}(u)) where u=kmn*r/R var u=kmn*r/R; if(u0)?p6_bessel_jm(m-1,u):(-p6_bessel_jm(1,u)); var jp1=p6_bessel_jm(m+1,u); return (kmn/R)*0.5*(jm1-jp1); }

function p6_compute_and_plot(){ var m=parseInt(document.getElementById('p6_m').value); var n=parseInt(document.getElementById('p6_n').value)-1; var r0=parseFloat(document.getElementById('p6_r0').value); var th0=parseFloat(document.getElementById('p6_th0').value)*Math.PI/180; var delta=parseFloat(document.getElementById('p6_delta').value)*Math.PI/180; var twoModes=document.getElementById('p6_two_modes').checked; var m2=parseInt(document.getElementById('p6_m2').value); var n2=parseInt(document.getElementById('p6_n2').value)-1;

var R=1; // normalised var kmn=KZEROS[m][n]; var kmn2=KZEROS[m2][n2];

// ── membrane mode shape (NxN polar grid) ── var NR=60, NTH=120; var zvals=[]; // NTH rows × NR cols for heatmap

// build meshgrid in polar, convert to x,y var xx=[], yy=[], zz=[]; var t=0; // snapshot at t=0 (cos(0)=1) for(var ti=0;ti<NTH;ti++){ var theta=2*Math.PI*ti/NTH; var xrow=[], yrow=[], zrow=[]; for(var ri=0;ri<NR;ri++){ var r=(ri+0.5)/NR; var z=p6_bessel_jm(m,kmn*r)*Math.cos(m*theta); xrow.push(r*Math.cos(theta)); yrow.push(r*Math.sin(theta)); zrow.push(z); } xx.push(xrow); yy.push(yrow); zz.push(zrow); } // flatten for scatter var xs=[],ys=[],zs=[]; for(var i=0;i<xx.length;i++){for(var j=0;j<xx[i].length;j++){xs.push(xx[i][j]);ys.push(yy[i][j]);zs.push(zz[i][j]);}} // nodal circles: r where J_m(kmn*r)=0 for r<1 var nodes=[]; for(var ni=0;ni<n;ni++){ var kr=KZEROS[m][ni]/kmn; // normalised radius of i-th nodal circle if(kr<1){nodes.push(kr);} } var membTrace={x:xs,y:ys,mode:'markers',marker:{size:4,color:zs,colorscale:'RdYlGn',showscale:false,opacity:0.85},hoverinfo:'none'}; // mirror position indicator var mx=r0*Math.cos(th0), my=r0*Math.sin(th0); var mirrorTrace={x:[mx],y:[my],mode:'markers',marker:{size:14,color:'#1a73e8',symbol:'star',line:{color:'#fff',width:1}},hoverinfo:'none'}; // unit circle boundary var bth=[];for(var i=0;i0): angles where cos(m*theta)=0 → theta=(2k+1)*pi/(2m) var radialTraces=[]; if(m>0){ for(var k=0;k<2*m;k++){ var angle=(2*k+1)*Math.PI/(2*m); radialTraces.push({x:[0,Math.cos(angle)],y:[0,Math.sin(angle)], mode:'lines',line:{color:'#555',width:1.5,dash:'dot'},hoverinfo:'none'}); } } var mLabel='('+m+','+n+')'; var membLayout={ xaxis:{range:[-1.12,1.12],showgrid:false,zeroline:false,showticklabels:false,fixedrange:true}, yaxis:{range:[-1.12,1.12],showgrid:false,zeroline:false,showticklabels:false,fixedrange:true,scaleanchor:'x'}, margin:{l:5,r:5,t:30,b:5},height:300, title:{text:'مد '+mLabel,font:{size:13}}, paper_bgcolor:'#fff',plot_bgcolor:'#fafafa',showlegend:false }; Plotly.react('p6_membrane_plot', [membTrace,boundTrace,...nodeTraces,...radialTraces,mirrorTrace], membLayout,{displayModeBar:false,responsive:true}); // ── laser spot trajectory ── var NT=1200; var lx=[], ly=[]; // slope of membrane at mirror (r0,th0) for mode (m,n) // dz/dx = cos(m*th0)*dJm/dr * cos(th0) - Jm(kmn*r0)*m*sin(m*th0)*(-sin(th0))/r0 ... simplify: // Use numerical gradient: dz/dx, dz/dy var eps=1e-5; function modeZ(r,th){ return p6_bessel_jm(m,kmn*r)*Math.cos(m*th); } function modeZ2(r,th){ return p6_bessel_jm(m2,kmn2*r)*Math.cos(m2*th); } var x0c=r0*Math.cos(th0), y0c=r0*Math.sin(th0); var r_xp=Math.sqrt((x0c+eps)*(x0c+eps)+y0c*y0c), th_xp=Math.atan2(y0c,x0c+eps); var r_xm=Math.sqrt((x0c-eps)*(x0c-eps)+y0c*y0c), th_xm=Math.atan2(y0c,x0c-eps); var r_yp=Math.sqrt(x0c*x0c+(y0c+eps)*(y0c+eps)), th_yp=Math.atan2(y0c+eps,x0c); var r_ym=Math.sqrt(x0c*x0c+(y0c-eps)*(y0c-eps)), th_ym=Math.atan2(y0c-eps,x0c); var dzdx1=(modeZ(r_xp,th_xp)-modeZ(r_xm,th_xm))/(2*eps); var dzdy1=(modeZ(r_yp,th_yp)-modeZ(r_ym,th_ym))/(2*eps); var dzdx2=(modeZ2(r_xp,th_xp)-modeZ2(r_xm,th_xm))/(2*eps); var dzdy2=(modeZ2(r_yp,th_yp)-modeZ2(r_ym,th_ym))/(2*eps); // normalise so max amplitude = 1 on screen var A1x=dzdx1, A1y=dzdy1; var norm1=Math.sqrt(A1x*A1x+A1y*A1y)||1; A1x/=norm1; A1y/=norm1; var A2x=dzdx2, A2y=dzdy2; var norm2=Math.sqrt(A2x*A2x+A2y*A2y)||1; A2x/=norm2; A2y/=norm2; var f1=kmn, f2=kmn2; // proportional frequencies (f ∝ k_mn) var ncycles=20; for(var i=0;i<NT;i++){ var phi=2*Math.PI*ncycles*i/NT; if(twoModes){ lx.push(A1x*Math.cos(f1*phi/f1)+A2x*Math.cos(f2*phi/f1+delta)); ly.push(A1y*Math.cos(f1*phi/f1)+A2y*Math.cos(f2*phi/f1+delta)); } else { lx.push(A1x*Math.cos(phi)); ly.push(A1y*Math.cos(phi+delta)); } } var laserTrace={x:lx,y:ly,mode:'lines',line:{color:'#dc3545',width:1.5},hoverinfo:'none'}; var curTrace={x:[lx[0]],y:[ly[0]],mode:'markers',marker:{size:10,color:'#e67e22'},hoverinfo:'none'}; var R2=twoModes?2.2:1.3; var laserLabel=twoModes?'دو مد ('+mLabel+') و ('+(m2+','+(n2+1))+')'+'، δ='+Math.round(delta*180/Math.PI)+'°':'یک مد '+mLabel+'، δ='+Math.round(delta*180/Math.PI)+'°'; var laserLayout={ xaxis:{range:[-R2,R2],showgrid:true,gridcolor:'#eee',zeroline:true,zerolinecolor:'#ccc', title:{text:'X صفحه',font:{size:11}},fixedrange:true}, yaxis:{range:[-R2,R2],showgrid:true,gridcolor:'#eee',zeroline:true,zerolinecolor:'#ccc', title:{text:'Y صفحه',font:{size:11}},fixedrange:true,scaleanchor:'x'}, margin:{l:50,r:10,t:30,b:45},height:300, title:{text:'مسیر لیزر: '+laserLabel,font:{size:12}}, paper_bgcolor:'#fff',plot_bgcolor:'#f9f9f9',showlegend:false }; Plotly.react('p6_laser_plot',[laserTrace,curTrace],laserLayout,{displayModeBar:false,responsive:true}); document.getElementById('p6_status').textContent='k₁='+kmn.toFixed(3)+(twoModes?' | k₂='+kmn2.toFixed(3)+' | نسبت f='+(kmn2/kmn).toFixed(3):''); } window.p6_run=function(){ document.getElementById('p6_status').textContent='در حال رسم...'; if(typeof Plotly==='undefined'){ var s=document.createElement('script'); s.src='https://cdn.plot.ly/plotly-2.27.0.min.js'; s.onload=p6_compute_and_plot; document.head.appendChild(s); } else { p6_compute_and_plot(); } }; })();

شبیه‌سازی Python — مدهای بسل و مسیر لیزر

کد زیر برای چهار مد اصلی غشا محاسبه می‌کند: (ردیف بالا) شکل مد روی غشا با نواحی رنگی و خطوط گره — (ردیف پایین) مسیر نقطه‌ی لیزر روی صفحه در همان مد.

مراجع علمی

• Lissajous, J. A. (1857). «Mémoire sur l'étude optique des mouvements vibratoires.» Annales de Chimie et de Physique, 51, 147–231. — مقاله‌ی اصلی Jules Lissajous که روش بصری ثبت حرکت ارتعاشی با بازتاب نور را معرفی کرد؛ پایه‌ی فیزیکی همین آزمایش.
• Kinsler, L. E. et al., Fundamentals of Acoustics, 4th ed., Wiley, 2000 — فصل ارتعاش غشاها.
• Morse, P. M., Vibration and Sound, McGraw-Hill, 1948 — حل کامل معادله‌ی موج دایره‌ای.
• French, A. P., Vibrations and Waves, MIT Introductory Physics Series, 1971.
• Rossing, T. D., Springer Handbook of Acoustics, Springer, 2007 — فصل غشاهای ضربه‌ای.

واژه‌نامه‌ی تخصصی

صورت مسئله رسمی

وقتی یک قیف با دسته‌ی بلند و به‌اندازه‌ی کافی سنگین به‌صورت عمودی با دسته رو به پایین در آب رها می‌شود، یک سری نوسانات عمودی میراشونده انجام می‌دهد و به‌تدریج فرو می‌رود. حرکت و پایداری قیف در حال فرورفتن و شرایطی که قیف واژگون می‌شود را بررسی کنید.

۷. قیف غرق‌شونده

یک قیف پلاستیکی را با دهانه‌ی پایین روی سطح آب قرار دهید — هوا در درون آن محبوس می‌شود. با کاهش تدریجی حجم هوای محبوس (قانون بویل)، قیف به تدریج فرو می‌رود. چه عاملی سرعت و نوع فرورفتن را کنترل می‌کند؟

هندسه‌ی قیف

$$H = frac{R}{tantheta}$$

$$V_{text{cone}} = frac{pi R^2 H}{3}$$

$$V_{text{stem}} = pi r_s^2 L_s$$

حجم اولیه‌ی هوای محبوس: (V_0 approx V_{text{cone}} + V_{text{stem}})

فیزیک: قانون بویل

اگر (z) عمق مرکز هوا از سطح آب باشد، قانون بویل (دمای ثابت) می‌دهد:

$$V_{text{air}}(z) = frac{P_0 cdot V_0}{P_0 + rho_w g z}$$

معادله‌ی حرکت قیف

معادله‌ی حرکت قیف (z مثبت به سمت پایین):

$$mddot{z} = bigl(m - rho_wbigl[V_f + V_{text{air}}(z)bigr]bigr)g - tfrac{1}{2}C_D,rho_w,A,dot{z}|dot{z}|$$

دو رژیم رفتاری

1. قیف شناور (هوای کافی): اگر (m < rho_w(V_f + V_0))، قیف در ابتدا شناور است. با افزایش عمق، (V_{text{air}}) کاهش می‌یابد تا نیروی خالص به سمت پایین شود.
2. قیف فوری‌غرق‌شو: اگر (m > rho_w(V_f + V_0))، قیف بلافاصله با شتاب فرو می‌رود.

تحلیل دو‌فازی: از ورود ساقه تا غرق شدن مخروط

فرورفتن قیف در دو فاز مجزا پیش می‌رود که باید آن‌ها را از هم تفکیک کرد:

مکانیزم رچت — چرا نوسانات به فرورفتن تدریجی منجر می‌شوند

صورت مسئله می‌گوید قیف «نوسانات عمودی میراشونده» انجام می‌دهد و به‌تدریج فرو می‌رود. این دو پدیده از طریق یک مکانیزم رچت (چرخه‌ی یک‌طرفه) به هم متصل‌اند:

$$Delta V_text{ref,cycle} = -int_0^T Q(z(t)),dt < 0 quadtext{(یک‌طرفه)}$$

نتیجه‌ی زنجیره‌ای:

بازخورد مثبت Boyle در هر ضربه‌ی پایین‌رونده

علاوه بر رچت بلندمدت، در هر حرکت رو به پایین یک بازخورد مثبت آنی وجود دارد:

این بازخورد مثبت یعنی نقطه‌ی تعادل ناپایدار است: قیف تا زمانی نوسان می‌کند که شناوری اولیه‌اش ($m < rho_w(V_f + V_0)$) اجازه دهد. با تخلیه‌ی تدریجی هوا (رچت) این شناوری از بین می‌رود و قیف به فرورفتن یکنواخت ختم می‌شود.

دامنه‌ی نوسانات هم کاهش می‌یابد زیرا با کم شدن هوا، نیروی بازگرداننده‌ی شناوری ضعیف‌تر می‌شود — این «میراشدن» نوسانات است.

فرار هوا از لوله — جریان هاگن-پوازوی

اگر هوا از طریق لوله‌ی قیف فرار کند:

$$frac{dV_{text{air}}}{dt} = -frac{pi r_s^4}{8mu L_s},Delta P(z)$$

لوله‌ی باریک‌تر (r_s کوچک‌تر) → فرار آهسته‌تر هوا → نزول آهسته‌تر قیف. نرخ فرار هوا با r_s⁴ تغییر می‌کند — تغییر جزئی در r_s اثر بسیار زیادی دارد.

سرعت نهایی

در عمق‌های زیاد، (V_{text{air}} to 0) و قیف مثل یک جسم جامد غرق‌شده رفتار می‌کند:

$$v_T = sqrt{frac{2,(m - rho_w V_f),g}{C_D,rho_w,A}}$$

روش آزمایش پیشنهادی

1. قیف‌های پلاستیکی با r_s های مختلف تهیه کنید (با پر کردن لوله با پارافین می‌توان شعاع را کاهش داد)
2. در آکواریوم شفاف قرار دهید و با دوربین از کنار فیلم بگیرید
3. زمان غرق شدن را برای هر r_s اندازه بگیرید
4. نمودار (t_{text{sink}}) بر حسب (1/r_s^4) رسم کنید — باید خطی باشد

مقالات مرتبط

• ابزارهای ریاضی فیزیک: گرادیان، لاپلاسین و اپراتورهای برداری

صورت مسئله رسمی

یک دیسک بین دو چرخ در حال چرخش قرار می‌گیرد که دیسک را به بالا سوق می‌دهند. دیسک می‌تواند حول نقطه‌ی تماس نوسان کند. این پدیده را بررسی کنید.

هندسه‌ی دستگاه

دیسک عمودی است — مثل یک سکه که روی لبه‌اش ایستاده. دو چرخ استوانه‌ای از دو طرف، سطح صاف (face) دیسک را گیره می‌کنند؛ لبه‌ی دیسک بین چرخ‌ها نیست.

فیزیک بنیادی — آونگ مکانیکی

اثر ژیروسکوپی در این دستگاه نقش اصلی ندارد. چرخ‌ها نیروی اصطکاک رو به بالا وارد می‌کنند و چرخش چشمگیری به دیسک نمی‌دهند؛ تکانه‌ی زاویه‌ای دیسک کوچک است. مکانیزم اصلی آونگ ساده است:

فرض کنید نقطه‌ی تماس O به فاصله‌ی h بالاتر از مرکز جرم CM دیسک باشد. وقتی دیسک به اندازه‌ی θ کج می‌شود، وزن Mg یک گشتاور بازگردانده ایجاد می‌کند — درست مثل آونگ ساده که از بالا آویزان است:

$$I_O,ddot{theta} = -Mg,h,sintheta$$

ممان اینرسی حول نقطه‌ی تماس O (قضیه‌ی محور موازی):

$$I_O = underbrace{tfrac{1}{4}MR^2}_{I_{CM}} + M h^2$$

فرکانس نوسان برای زوایای کوچک:

$$boxed{omega_0 = sqrt{frac{Mgh}{I_O}} = sqrt{frac{gh}{tfrac{1}{4}R^2 + h^2}}}$$

پارامترها

حرکت عمودی (صعود)

شرط صعود دیسک: نیروی اصطکاک دو چرخ از وزن آن بیشتر باشد:

$$2mu N > Mg quadRightarrowquad N > frac{Mg}{2mu}$$

شتاب صعود در صورت برقراری این شرط:

$$a = frac{2mu N - Mg}{M}$$

این دو حرکت — صعود عمودی و نوسان عرضی — تا حدی از هم مستقل‌اند؛ برهم‌کنش آن‌ها در سرعت‌های خاص می‌تواند به آشوب ختم شود.

سه حالت رفتاری

مثال عددی

راه‌اندازی آزمایش

ساخت دستگاه

• غلتک‌ها: دو استوانه با محورهای موازی و افقی؛ سطح لاستیکی یا مخملی برای اصطکاک بهتر؛ شعاع r_w = 2–4 cm.
• موتور: دو موتور DC همزمان با PWM؛ هر دو به گونه‌ای که سطح تماس‌شان با دیسک رو به بالا حرکت کند.
• دیسک: آلومینیوم یا فولاد عمودی؛ R = 5–10 cm؛ m = 50–200 g؛ باید تراز باشد.
• تنظیم h: ارتفاع غلتک‌ها نسبت به مرکز دیسک باید قابل تغییر باشد — این کلیدی‌ترین متغیر آزمایش است.
• حفاظ: دیسک ممکن است به بیرون پرتاب شود — حتماً حفاظ شفاف نصب کنید.

اندازه‌گیری

• دوربین ۱۲۰fps: زاویه‌ی کجی θ(t) و فرکانس نوسان.
• IMU (MPU-6050): شتاب‌سنج + ژیروسکوپ روی مرکز دیسک — θ(t) مستقیم.
• طراحی آزمایش: h را تغییر دهید و فرکانس نوسان را اندازه بگیرید. مقایسه با پیش‌بینی مدل آونگ.

تحلیل دقیق‌تر — چرا اصطکاک روی فرکانس نوسان اثر نمی‌گذارد

یک نکته‌ی ظریف: نیروی اصطکاک چرخ‌ها که دیسک را بالا می‌برد، هیچ اثری روی فرکانس نوسان ندارد. دلیل ساده است: معادله‌ی گشتاور را حول نقطه‌ی تماس O می‌نویسیم. نیروی اصطکاک f = μN دقیقاً در O اعمال می‌شود، پس بازوی گشتاور آن حول O صفر است:

$$tau_f^{(O)} = vec{r}_{Oto O} times vec{f} = 0$$

تنها گشتاور مؤثر از گرانش است، با بازوی $hsintheta$. نتیجه:

h بهینه — ماکزیمم فرکانس نوسان

با مشتق‌گیری $omega_0^2(h)$ نسبت به $h$ و صفرگذاشتن:

$$frac{d}{dh}!left[frac{gh}{tfrac{R^2}{4}+h^2}right] = g,frac{tfrac{R^2}{4}-h^2}{left(tfrac{R^2}{4}+h^2right)^2} = 0 quadRightarrowquad boxed{h_text{opt} = frac{R}{2}}$$

در $h = R/2$ فرکانس نوسان بیشینه است:

$$omega_{0,max} = sqrt{frac{g cdot R/2}{tfrac{R^2}{4}+tfrac{R^2}{4}}} = sqrt{frac{g}{R}}$$

شبیه‌سازی تعاملی با Python

سه نمودار با حل عددی ODE آونگ دیسک:

• نمودار ۱: $omega_0/omega_text{max}$ بر حسب $h/R$ — منحنی زنگوله‌ای با ماکزیمم در $h = R/2$
• نمودار ۲: $theta(t)$ برای پنج h مختلف — دوره‌های متفاوت برای هر h
• نمودار ۳: فضای فاز $(theta,dottheta)$ — مدارهای بسته برای نوسان پایدار

فیلم آموزشی

• Upward-driven disk — نمایش مستقیم پدیده

مراجع علمی

1. Hartl, D.J., & Lutsko, J.F. (2025). The upward-driven disk: a steadily forced chaotic system. American Journal of Physics, 93(8), 620–630.
2. Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley.
3. Landau, L.D., & Lifshitz, E.M. (1982). Mechanics, 3rd ed., Pergamon Press.
4. IYPT 2027 Problem 8. iypt.org

واژه‌نامه‌ی تخصصی

صورت مسئله رسمی

بوکه اثری است که در عکس‌هایی که اشیاء در فاصله‌های مختلف از دوربین را نشان می‌دهند و هم نواحی تیز و هم نواحی خارج از فوکوس دارند، مشاهده می‌شود. اگر یک شکاف جلوی لنز دوربین قرار داده شود، تصویر ممکن است تحریف‌های ناهمسانگرد (anisotropic) غیرمعمولی در نواحی خارج از فوکوس داشته باشد، در حالی که نواحی در فوکوس بدون تحریف و تیز می‌مانند. بررسی کنید که خواص و وضوح تصاویر حاصل چگونه به پارامترهای مرتبط وابسته‌اند.

اپتیک هندسی — دایره‌ی گیجی

وقتی یک چشمه‌ی نقطه‌ای خارج از صفحه‌ی فوکوس دوربین باشد، مخروط نور از لنز به جای همگرا شدن در صفحه‌ی سنسور، به‌صورت یک دایره‌ی گیجی (Circle of Confusion) روی آن می‌افتد:

$$c = frac{f^2}{N,d_o}left|frac{d_o - d_text{focus}}{d_text{focus}}right|$$

که در آن:

قانون لنز نازک برای تبدیل فاصله‌ی شیء به تصویر:

$$frac{1}{d_o} + frac{1}{d_i} = frac{1}{f}$$

عمق میدان

عمق میدان (DoF) ناحیه‌ای از فضا است که در آن دایره‌ی گیجی از آستانه‌ی قابل قبول c_max کوچک‌تر است. برای عکاسی دیجیتال معمولاً c_max ≈ d_sensor/1500:

$$text{DoF} approx frac{2,N,c_text{max},d_o^2}{f^2}$$

رابطه‌ی کلیدی: N کوچک‌تر (دیافراگم بازتر) → DoF کمتر → بوکه قوی‌تر.

اپتیک فوریه — شکل بوکه

در اپتیک فرانهوفر (میدان دور)، توزیع شدت نور در صفحه‌ی کانونی تبدیل فوریه‌ی دوبُعدی تابع دیافراگم A(u,v) است. این تابع تابع پخش نقطه (PSF) نام دارد:

$$text{PSF}(x,y) = left|mathcal{F}{A(u,v)}right|^2$$

برای روزنه‌ی دایره‌ای با شعاع R (قطر D = 2R):

$$text{PSF}(r) = left[frac{2J_1(pi D r/lambda f)}{pi D r/lambda f}right]^2$$

که J₁ بسل مرتبه‌ی اول است. اولین صفر در r = 1.22λf/D (معیار Rayleigh برای تفکیک).

پراش و حد بهینه

در دیافراگم‌های خیلی کوچک، پراش غالب می‌شود و تاری ناخواسته ایجاد می‌کند. بهترین عدد f از تعادل بین خطای هندسی (aberration) و پراش (diffraction) به دست می‌آید:

$$N_text{opt} approx sqrt{frac{f cdot c_text{max}}{1.22,lambda}}$$

برای f = 50mm، c_max = 0.03mm، λ = 0.55μm: N_opt ≈ f/8.

بوکه‌ی گربه‌چشمی (Cat's-Eye)

در گوشه‌های فریم، روزنه از دید سنسور بیضی‌شکل دیده می‌شود (vignetting مکانیکی: لوله‌ی لنز بخشی از روزنه را می‌پوشاند). نتیجه: بوکه‌های بیضوی به‌جای دایره — Cat's-Eye bokeh که در عکاسی سینمایی دلخواه است.

راه‌اندازی آزمایش

ساخت فیلتر دیافراگم

• مقوای سیاه برش بدهید: اشکال مختلف (دایره، شش‌ضلع، قلب، ستاره).
• فیلتر را روی لنز بگذارید (یا جلوی لنز با نگه‌دارنده).
• از پس‌زمینه‌ی نقاط نور (چراغ‌های LED، روشنایی شهری) عکس بگیرید.
• فاصله‌ی شیء مورد فوکوس را ثابت نگه دارید و بوکه را در فواصل مختلف بررسی کنید.

اندازه‌گیری‌های کمی

• قطر دایره‌ی گیجی را برای فواصل مختلف اندازه بگیرید و با فرمول مقایسه کنید.
• عمق میدان را با تغییر عدد f اندازه بگیرید.
• PSF را با عکس از یک منبع نقطه‌ای (LED از فاصله‌ی زیاد) استخراج کنید.
• FFT تصویر بوکه را بگیرید و با شکل روزنه مقایسه کنید.

هسته‌ی مسئله — شکاف و تحریف ناهمسانگرد

صورت مسئله به‌صراحت از شکاف (slit) جلوی لنز صحبت می‌کند که «تحریف‌های ناهمسانگرد غیرمعمول» ایجاد می‌کند. این ناهمسانگردی دقیقاً از تبدیل فوریه‌ی تابع روزنه ناشی می‌شود:

پهنای PSF در هر جهت رابطه‌ی معکوس با بُعد روزنه در آن جهت دارد:

$$Delta x_text{PSF} = frac{lambda f}{w}, qquad Delta y_text{PSF} = frac{lambda f}{H}$$

چون $H gg w$، داریم $Delta x gg Delta y$ — PSF در جهت $x$ (عمود بر شکاف) بسیار کشیده‌تر از جهت $y$ (موازی شکاف) است. نتیجه: نقاط خارج از فوکوس به‌جای دایره، به‌صورت خطوط افقی بلند روی سنسور ظاهر می‌شوند.

نسبت ابعاد شکاف و میزان ناهمسانگردی

$$text{نسبت کشیدگی بوکه} = frac{Delta x_text{PSF}}{Delta y_text{PSF}} = frac{H}{w}$$

شکافی با نسبت $H/w = 10$ بوکه‌ای ۱۰ برابر کشیده‌تر در جهت عرضی ایجاد می‌کند. این رابطه‌ی خطی بین هندسه‌ی شکاف و تحریف بوکه قابل تأیید آزمایشی است.

شبیه‌سازی تعاملی با Python — روزنه و PSF

این شبیه‌سازی تبدیل فوریه‌ی دوبُعدی شکل‌های مختلف روزنه را محاسبه و PSF (بوکه) متناظر را نشان می‌دهد:

مراجع علمی

1. Goodman, J.W. (2005). Introduction to Fourier Optics, 3rd ed. Roberts & Company.
2. Hecht, E. (2016). Optics, 5th ed. Pearson.
3. Born, M. & Wolf, E. (2013). Principles of Optics, 7th ed. Cambridge University Press.
4. Nasse, H.H. (2010). Depth of Field and Bokeh. Carl Zeiss Camera Lens Division Technical Note.
5. IYPT 2027 Problem 9. iypt.org

واژه‌نامه‌ی تخصصی

صورت مسئله رسمی

«یک آهنربای میله‌ای کوچک در کف ظرفی پر از مایع قرار می‌دهید و با استفاده از یک همزن مغناطیسی آن را به چرخش درمی‌آورید. بالاتر از یک سرعت چرخش خاص، یک کانال هوای نازک تشکیل می‌شود که از سطح مایع تا آهنربای در حال چرخش امتداد دارد. این پدیده را بررسی و توضیح دهید.»

ساختار گرداب و توزیع فشار

آهنربای چرخنده مایع پیرامون خود را به چرخش درمی‌آورد و یک گرداب رانکین ایجاد می‌کند. در این مدل دو ناحیه وجود دارد:

ناحیه‌ی مرکزی (جسم صلب): برای $r leq a$:

$$v_theta(r) = frac{Gamma, r}{2pi a^2} = omega, r$$

ناحیه‌ی خارجی (گرداب آزاد): برای $r > a$:

$$v_theta(r) = frac{Gamma}{2pi r}$$

که در آن $Gamma$ گردش (circulation) و $a$ شعاع هسته‌ی گرداب است. معادله‌ی اویلر در راستای شعاعی برای جریان محوری-متقارن:

$$frac{dp}{dr} = frac{rho, v_theta^2}{r}$$

انتگرال‌گیری از $r = infty$ تا $r = a$ (ناحیه‌ی گرداب آزاد) $rhoomega^2a^2/2$ کاهش فشار می‌دهد، و انتگرال از $r = a$ تا $r = 0$ (ناحیه‌ی جسم صلب) $rhoomega^2a^2/2$ دیگر اضافه می‌کند. مجموع کاهش فشار از محیط تا مرکز:

$$Delta p = p_infty - p_{r=0} = rho,omega^2, a^2$$

شرط بحرانی تشکیل کانال هوا

کانال هوا وقتی تشکیل می‌شود که کاهش فشار در مرکز از فشار هیدرواستاتیک ستون مایع بالای آهنربا فراتر رود. اگر عمق مایع $h$ باشد:

$$Delta p geq rho, g, h$$

با جایگذاری:

$$rho,omega_c^2, a^2 = rho, g, h$$

$$boxed{omega_c = sqrt{frac{g h}{a^2}}}$$

بالاتر از $omega_c$، قیف گرداب از سطح مایع تا آهنربا امتداد می‌یابد و یک کانال هوای باریک پایدار ایجاد می‌شود. شکل سطح مایع در گرداب آزاد از رابطه‌ی برنولی:

$$z(r) = z_0 - frac{Gamma^2}{8pi^2 g, r^2}qquad (r > a)$$

این سهمی معکوس نشان می‌دهد سطح مایع در مرکز گرداب به‌شدت پایین می‌رود.

پارامترها

راه‌اندازی آزمایش

برای اندازه‌گیری $omega_c$ بر حسب $h$ و $a$:

1. ظرف استوانه‌ای شفاف را با مایع با عمق‌های مختلف پر کنید.
2. سرعت همزن مغناطیسی را به‌آرامی افزایش دهید و سرعتی که در آن کانال هوا ناگهان ظاهر می‌شود را ثبت کنید.
3. نمودار $omega_c^2$ بر حسب $h$ را رسم کنید — باید خطی باشد با شیب $2g/a^2$.
4. آزمایش را با آهنرباهای دارای شعاع‌های مختلف تکرار کنید تا وابستگی به $a$ بررسی شود.
5. تصویربرداری از جانب با نور پس‌زمینه، عمق قیف هوا را بر حسب $omega - omega_c$ نشان می‌دهد.

اشتقاق کامل شکل سطح آزاد

گرداب رانکین دو ناحیه دارد که باید جداگانه حل شوند و در $r = a$ به هم دوخته شوند:

ناحیه‌ی داخلی — چرخش جسم صلب ($r leq a$)

معادله‌ی اویلر: $frac{dp}{dr} = rhoomega^2 r$. انتگرال‌گیری:

$$p(r) = p(0) + frac{1}{2}rhoomega^2 r^2$$

روی سطح آزاد ($p = p_{atm}$) با توجه به تعادل هیدرواستاتیک:

$$boxed{z_{rm in}(r) = z_0 + frac{omega^2 r^2}{2g}} qquad r leq a$$

یک سهمی رو به بالا — مرکز پایین‌ترین نقطه است.

ناحیه‌ی خارجی — گرداب آزاد ($r > a$)

$v_theta = omega a^2/r$. برنولی در امتداد سطح آزاد (از $rtoinfty$ که $z=h$):

$$frac{1}{2}rhofrac{omega^2 a^4}{r^2} + rho g z = rho g h$$
$$boxed{z_{rm out}(r) = h - frac{omega^2 a^4}{2g r^2}} qquad r > a$$

یک سهمی معکوس که با نزدیک شدن به مرکز تند پایین می‌رود.

شرط تطابق در $r = a$

$z_{rm in}(a) = z_{rm out}(a)$ باید برقرار باشد:

$$z_0 + frac{omega^2 a^2}{2g} = h - frac{omega^2 a^2}{2g}$$
$$boxed{z_0 = h - frac{omega^2 a^2}{g}}$$

پس شکل کامل سطح آزاد:

عمق مرکز: $z(0) = h - omega^2 a^2/g$

شرط بحرانی ($z(0)=0$): $omega_c = sqrt{g h}/a$

قطر کانال هوا بالاتر از $omega_c$

وقتی $omega > omega_c$، سطح آزاد در محور منفی می‌شد — به جایش یک کانال با شعاع $r_c$ تشکیل می‌شود که $z(r_c) = 0$. دو حالت داریم:

چرا کانال کاملاً به آهنربا می‌رسد؟

مسئله صراحتاً می‌گوید کانال از سطح مایع تا خود آهنربا امتداد دارد. این به سه دلیل است:

1. توزیع فشار یکنواخت در ارتفاع: جریان رانکین در هر مقطع افقی یکسان است. کمینه‌ی فشار همواره روی محور ($r=0$) است — در همه‌ی اعماق. پس اگر در سطح کانال باز شود، شرط باز ماندن در کف هم برقرار است.
2. پایداری توپولوژیک: یک ستون هوای بسته در مایع — اگر در وسط باریک شود، فشار برنولی آن را بیشتر باریک می‌کند (گلوگاه ناپایدار). ستون مستقیم از بالا تا پایین پایدارترین شکل است.
3. آهنربا به‌عنوان لنگر: آهنربا در کف می‌چرخد و بیشترین گشتاور را به مایع نزدیک به خود می‌دهد. هسته‌ی گرداب مستقیماً روی آهنرباست — پایین‌ترین نقطه‌ی فشار دقیقاً روی آهنربا قرار دارد.

نقش تنش سطحی — چرا کانال «نازک» است؟

تنش سطحی $sigma$ در فصل مشترک هوا-مایع یک فشار اضافی ایجاد می‌کند. برای کانال استوانه‌ای با شعاع $r_c$:

$$Delta p_{rm ST} = frac{sigma}{r_c}$$

شرط بحرانی واقعی (با تنش سطحی):

$$rhoomega_c^2 a^2 = rho g h + frac{sigma}{r_c}$$

وقتی کانال خیلی باریک است ($r_c to 0$)، جمله‌ی $sigma/r_c to infty$ تشکیل کانال را مقاومت می‌کند. حداقل شعاع قابل مشاهده توسط طول مویینگی تعریف می‌شود:

$$lambda_c = sqrt{frac{sigma}{rho g}} approx 2.7,text{mm} quadtext{(آب)}$$

این توضیح می‌دهد که چرا با مایعات کم‌تنش ($sigma$ کوچک‌تر، مثل محلول صابون) کانال در همان $omega_c$ باریک‌تر است، و با مایعات پرتنش ($sigma$ بزرگ) کانال ناگهانی‌تر و پهن‌تر باز می‌شود.

تحلیل ابعادی — چرا چگالی حذف می‌شود؟

در شرط $omega_c = sqrt{gh}/a$، هیچ اثری از $rho$ یا $mu$ وجود ندارد. دلیل فیزیکی:

هر دو طرف به $rho$ تناسب دارند — پس $rho$ حذف می‌شود. پیش‌بینی آزمایشی قوی: $omega_c$ برای آب، روغن، گلیسرول (با تفاوت چگالی تا ۳×) باید یکسان باشد. این یکی از بهترین تست‌های مدل است.

ویسکوزیته $mu$ در مدل ایده‌آل ظاهر نمی‌شود زیرا مدل رانکین ذاتاً بدون اصطکاک است. در واقعیت، $mu$ شعاع هسته $a$ و شکل گذار را تغییر می‌دهد ولی نه $omega_c$ را مستقیم.

شبیه‌سازی تعاملی با Python

چهار نمودار: (۱) پروفیل سرعت رانکین، (۲) شکل سطح آزاد $z(r)$، (۳) شعاع کانال $r_c$ بر حسب $omega/omega_c$، (۴) سرعت بحرانی بر حسب عمق.

مراجع علمی

• Tritton, D. J., Physical Fluid Dynamics, 2nd ed., Oxford, 1988 — فصل گردابه‌ها و جریان چرخشی.
• Acheson, D. J., Elementary Fluid Dynamics, Oxford, 1990 — گرداب رانکین و سطح آزاد.
• Kundu, P. K., Cohen, I. M., Fluid Mechanics, 6th ed., Academic Press, 2015 — فصل جریان دوار.
• Vatistas, G. H., "A note on liquid vortex sloshing and Kelvin's equilibria," J. Fluid Mech. 217 (1990).
• Halász, G., Gyure, B., Jánosi, I. M., Szabó, K. G., Tél, T., "Vortex flow generated by a magnetic stirrer," American Journal of Physics 75(12), 1092–1098 (2007). [arXiv: physics/0702199] — مستقیم‌ترین مرجع: همین آزمایش (همزن مغناطیسی در مخزن استوانه‌ای) با اندازه‌گیری PIV و مشخصه‌سازی پروفیل سرعت رانکین.
• Escudier, M. P., "Observations of vortex breakdown in an open cylindrical container with a rotating bottom," Experiments in Fluids 2, 189–196 (1984). [DOI: 10.1007/BF00196990] — نقشه‌ی تجربی شرایط بحرانی (نسبت ابعادی H/R بر حسب عدد رینولدز) برای تشکیل کانال هوا در هندسه‌ی معادل.

صورت مسئله رسمی

«عایق‌بندی صوتی یک اتاق ممکن است در صورتی که در به‌درستی بسته نشود، حتی اگر شکاف ناچیز باشد، نقض شود. بررسی کنید که شکل و اندازه‌ی یک روزنه‌ی کوچک چگونه بر انتقال صدا تأثیر می‌گذارند.»

پراش از روزنه: اصل هویگنز

وقتی یک روزنه بسیار کوچک‌تر از طول موج صوت است ($d ll lambda$)، طبق اصل هویگنز روزنه مانند یک چشمه‌ی نقطه‌ای عمل می‌کند و صدا را در تمام جهات منتشر می‌کند. هرچند مساحت روزنه کوچک است، توان عبوری به‌مراتب بیشتر از مقدار متناسب با مساحت است، زیرا موج پراش‌یافته نیمه‌فضای کامل را پوشش می‌دهد.

برای یک دیوار صلب با روزنه‌ی دایره‌ای با قطر $d$، توان عبوری در رژیم موج بلند ($kd ll 1$، که $k = 2pi/lambda$):

$$W_t approx W_i cdot left(frac{kd}{2}right)^2 cdot frac{(kd)^2}{4} = W_i cdot frac{(kd)^4}{16}$$

تضعیف صوت و شکل روزنه

تضعیف درجه‌بندی‌شده (Insertion Loss) به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$text{IL} = 10log_{10}!left(frac{W_i}{W_t}right)quad (text{dB})$$

برای روزنه‌ی دایره‌ای با قطر $d$ در رژیم $kd ll 1$:

$$text{IL} approx -40log_{10}!left(frac{kd}{2}right) = -40log_{10}!left(frac{pi d}{lambda}right)$$

یعنی با افزایش فرکانس، IL کاهش می‌یابد (نشت از روزنه در فرکانس‌های بالاتر بیشتر است؛ در فرکانس‌های پایین، پراش ضعیف روزنه‌ی کوچک عبور صوت را بشدت محدود می‌کند).

شکاف باریک (slit) در برابر دایره: برای شکافی با عرض $d$ و طول $L gg d$ که همان مساحت $A = dL$ را دارد، تابش به‌جای کروی، استوانه‌ای است. الگوی تشعشع شکاف:

$$p(theta) propto frac{sin(pi dcostheta/lambda)}{pi dcostheta/lambda}$$

این الگو در راستای محور شکاف لوب‌های شدیدتری دارد و IL برای شکاف در مقایسه با دایره‌ی هم‌مساحت در بسیاری از فرکانس‌ها کمتر است (نشت بیشتر).

قانون کلی

مساحت روزنه $S$ و طول موج $lambda$ دو پارامتر غالب هستند. در حد $kd ll 1$ ضریب انتقال:

$$tau sim left(frac{S}{lambda^2}right) cdot C_{text{shape}}$$

که $C_{text{shape}}$ ضریبی از مرتبه‌ی واحد است که به شکل روزنه بستگی دارد — برای دایره $C approx 0.12$، برای مربع $C approx 0.11$، برای شکاف بلند $C$ وابسته به جهت اندازه‌گیری است.

پارامترها

راه‌اندازی آزمایش

برای اندازه‌گیری IL بر حسب $d$ و فرکانس:

1. یک پارتیشن صلب با روزنه‌های قابل تعویض (دایره، مربع، شکاف) در میان یک محفظه‌ی صوتی نصب کنید.
2. ژنراتور تابع را روی فرکانس‌های مختلف از ۱۰۰ Hz تا ۵ kHz تنظیم کنید.
3. سطح فشار صوتی (SPL) در دو طرف پارتیشن (با و بدون روزنه) را با میکروفون اندازه بگیرید.
4. $text{IL}(f,d)$ را محاسبه کرده و نمودار آن را رسم کنید.
5. برای اثبات وابستگی به شکل، دو روزنه با مساحت یکسان ولی شکل متفاوت را مقایسه کنید.

نکته‌ی کلیدی: یک شکاف ۱ cm در یک در ضخیم می‌تواند IL را از ۴۰ dB به کمتر از ۲۰ dB کاهش دهد — این اثر عملی از مهم‌ترین یافته‌های این مسئله است.

مراجع علمی

• Beranek, L. L., Acoustics, Acoustical Society of America, 1993 — فصل انتقال صوت از روزنه.
• Kuttruff, H., Room Acoustics, 5th ed., Spon Press, 2009 — عایق‌بندی دیوار با شکاف.
• Pierce, A. D., Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications, ASA, 2019.
• Rayleigh, Lord, Theory of Sound, Vol. 2, Macmillan, 1896 — پراش از روزنه‌های کوچک.

از زبان یک دانش‌آموز

صورت مسئله رسمی

«در شرایط خاص، هنگامی که یک تکه گچ روی تخته‌ی سیاه کشیده می‌شود، اثر آن نه یک خط پیوسته، بلکه یک دنباله‌ی دوره‌ای از نقطه‌ها است، حتی اگر حرکت بدون وقفه باشد. این پدیده با مواد نوشتاری و سطوح دیگر نیز رخ می‌دهد. پارامترهای فیزیکی حاکم بر این پدیده را بررسی کنید.»

مکانیزم چسب-لغزش (Stick-Slip)

گچ روی تخته‌ی سیاه به‌جای لغزش یکنواخت، یک نوسان چسب-لغزش انجام می‌دهد که ریشه‌ی آن وابستگی نیروی اصطکاک به سرعت (منحنی استریبک) است: اصطکاک ایستایی $f_s$ از اصطکاک جنبشی $f_k$ بزرگ‌تر است، و $f_k$ با افزایش سرعت لغزش کاهش می‌یابد (رژیم ضعیف‌شوندگی).

مدل ساده: گچ (جرم $m$، سختی موثر $k_{rm eff}$) توسط دست با سرعت $v_0$ کشیده می‌شود:

مرحله‌ی چسب (Stick): گچ با تخته تماس دارد، بار الاستیک افزایش می‌یابد:

$$mddot{x} + k_{rm eff}(x - v_0 t) = 0$$

وقتی نیروی الاستیک به $f_s$ می‌رسد، گچ ناگهان می‌لغزد.

مرحله‌ی لغزش (Slip): گچ از سطح جدا می‌شود (اصطکاک صفر یا $f_k ll f_s$)، ارتعاش آزاد می‌کند و روی تخته را علامت نمی‌زند:

$$mddot{x} + k_{rm eff}(x - v_0 t) = -f_k cdot text{sgn}(dot{x} - v_0)$$

فرکانس نوسان چسب-لغزش:

$$f_{rm osc} approx frac{1}{2pi}sqrt{frac{k_{rm eff}}{m}}$$

فاصله‌ی نقاط و پارامترهای کنترلی

دوره‌ی نوسان $T = 1/f_{rm osc}$ است. در هر دوره گچ به مقدار $d_{rm dot}$ به جلو پیش می‌رود:

$$boxed{d_{rm dot} = v_0 cdot T = frac{v_0}{f_{rm osc}} = frac{2pi v_0}{sqrt{k_{rm eff}/m}}}$$

بنابراین فاصله‌ی نقاط با سرعت کشیدن $v_0$ متناسب، و با سختی موثر $k_{rm eff}$ نسبت معکوس دارد.

سرعت بحرانی

زیر سرعت بحرانی $v_c$ چسب-لغزش رخ نمی‌دهد و خط پیوسته می‌ماند. $v_c$ از شرط پایداری سیستم تعیین می‌شود:

$$v_c approx sqrt{frac{k_{rm eff}}{m}} cdot frac{f_s - f_k}{(partial f/partial v)big|_{v=0}}$$

در بالای $v_c$ چرخه‌ی چسب-لغزش خودپایدار است (نوسانگر حدی).

پارامترهای موثر

سختی موثر $k_{rm eff}$ ترکیبی از سختی خود گچ، سختی خمشی دست/انگشت، و سختی تماسی سطح است:

$$frac{1}{k_{rm eff}} = frac{1}{k_{rm chalk}} + frac{1}{k_{rm arm}} + frac{1}{k_{rm contact}}$$

پارامترها

راه‌اندازی آزمایش

برای اندازه‌گیری $d_{rm dot}$ بر حسب $v_0$ و $theta$:

1. گچ را روی یک ریل خطی با موتور پله‌ای با سرعت‌های دقیق کنترل‌شده حرکت دهید.
2. خطوط رسم‌شده را اسکن کرده و فاصله‌ی نقاط را با پردازش تصویر اندازه بگیرید.
3. نمودار $d_{rm dot}$ بر حسب $v_0$ رسم کنید — انتظار رابطه‌ی خطی با شیب $1/f_{rm osc}$ است.
4. آزمایش را با زوایای مختلف $theta$ و وزن‌های اضافه‌شده (تغییر $m$) تکرار کنید.
5. فرکانس نوسان را با شتاب‌سنج کوچک روی گچ اندازه بگیرید و با پیش‌بینی $f = sqrt{k_{rm eff}/m}/(2pi)$ مقایسه کنید.

مراجع علمی

• Rabinowicz, E., Friction and Wear of Materials, 2nd ed., Wiley, 1995 — اصطکاک وابسته به سرعت.
• Leine, R. I., van Campen, D. H., de Kraker, A., "Stick-Slip Vibrations Induced by Alternate Friction Models," Nonlinear Dynamics 16 (1998) 41–54.
• Akay, A., "Acoustics of friction," J. Acoust. Soc. Am. 111 (2002) 1525–1548.
• Stoimenov, B. L. et al., "The roughness effect on the frequency of frictional sound," Tribol. Int. 40 (2007) 659–664.

نگاه عمیق‌تر: مدل چرخشی

از زبان یک دانش‌آموز

صورت مسئله رسمی

«یک آونگ با گلوله‌ی استوانه‌ای که محور آن عمودی است، بالای یک کانال آب جاری آویزان می‌شود. وقتی گلوله به‌طور جزئی زیر آب است، جریان ممکن است آونگ را در جهتی عمود بر جریان به نوسان درآورد. این پدیده را توضیح دهید و تعیین کنید که چگونه به پارامترهای مرتبط وابسته است.»

خیابان گردابی کارمان و نیروی عرضی

جریان با سرعت $U$ از کنار یک استوانه‌ی دایره‌ای با قطر $D$ عبور می‌کند و در پشت آن، گردابه‌ها به‌صورت متناوب از دو طرف جدا می‌شوند (خیابان گردابی کارمان). فرکانس ریزش گردابه‌ها از عدد استروهال $St$ تعیین می‌شود:

$$boxed{f_s = frac{St cdot U}{D}},qquad St approx 0.20quad text{برای}quad Re = 10^3 text{–} 10^5$$

که $Re = UD/nu$ عدد رینولدز و $nu$ ویسکوزیته‌ی سینماتیکی آب است. ریزش متناوب گردابه‌ها یک نیروی برا (lift) عرضی نوسانی روی استوانه اعمال می‌کند:

$$F_L(t) = frac{1}{2}rho U^2 D L_{rm sub}, C_L,sin(2pi f_s t)$$

که $rho$ چگالی آب، $L_{rm sub}$ طول غوطه‌وری استوانه، و $C_L approx 0.3$–$0.5$ ضریب برا است.

ارتعاش القایی گردابه (VIV) و پدیده‌ی قفل‌شدن

فرکانس طبیعی آونگ (بدون اثر هیدرودینامیک) برای آونگ با طول $L$ و شتاب گرانش $g$:

$$f_n = frac{1}{2pi}sqrt{frac{g}{L}}$$

هنگامی که $f_s approx f_n$، نیروی عرضی در رزونانس است و دامنه‌ی نوسان آونگ به‌شدت افزایش می‌یابد — این پدیده‌ی ارتعاش القایی گردابه (VIV) نام دارد.

پارامتر مهم، سرعت کاهش‌یافته (Reduced Velocity) است:

$$U_r = frac{U}{f_n cdot D}$$

پدیده‌ی قفل‌شدن (Lock-in): در محدوده‌ی $U_r approx 5$–$8$، فرکانس ریزش گردابه‌ها با فرکانس نوسان آونگ همگام می‌شود — حتی اگر سرعت جریان کمی تغییر کند. در این محدوده دامنه‌ی نوسان به ماکسیمم می‌رسد:

$$A_{max} approx frac{C_L,rho, U^2, D, L_{rm sub}}{2,(2pi f_n)^2, m_{rm eff}, zeta}$$

که $m_{rm eff}$ جرم موثر آونگ و $zeta$ نسبت میرایی است.

پارامترها

راه‌اندازی آزمایش

برای اندازه‌گیری دامنه‌ی نوسان عرضی بر حسب $U$ و $D$:

1. یک کانال آب با سرعت قابل تنظیم (با پمپ و شیر تنظیم) بسازید.
2. آونگ با گلوله‌ی استوانه‌ای را روی کانال آویزان کنید. عمق غوطه‌وری را ثابت نگه دارید.
3. سرعت جریان را از صفر تا بیشینه‌ی ممکن افزایش دهید و دامنه‌ی عرضی آونگ را با دوربین یا پتانسیومتر ثبت کنید.
4. نمودار $A/D$ بر حسب $U_r$ رسم کنید — قله‌ی واضحی در $U_r approx 5$–$8$ مشاهده می‌شود.
5. آزمایش را برای طول‌های مختلف آونگ $L$ (و در نتیجه $f_n$ متفاوت) تکرار کنید.
6. برای تعیین $St$، فرکانس ریزش گردابه‌ها را با سیم داغ (hot-wire) یا حسگر فشار خارج از محدوده‌ی قفل اندازه بگیرید.

مراجع علمی

• Blevins, R. D., Flow-Induced Vibration, 2nd ed., Van Nostrand Reinhold, 1990 — فصل VIV استوانه.
• Williamson, C. H. K., Govardhan, R., "Vortex-Induced Vibrations," Annu. Rev. Fluid Mech. 36 (2004) 413–455.
• Sarpkaya, T., "A critical review of the intrinsic nature of vortex-induced vibrations," J. Fluids Struct. 19 (2004) 389–447.
• Zdravkovich, M. M., Flow Around Circular Cylinders, Vol. 1, Oxford, 1997.

۱۴. کرم‌های غیرنیوتونی

یک سیال غیرنیوتونی دیلاتانت (مثلاً تعلیق آب و نشاسته‌ی ذرت) در یک مخزن به‌صورت عمودی به ارتعاش درمی‌آید. وقتی شرایط خاصی برقرار باشد، ساختارهای کرم‌مانندی که از سطح بالا می‌آیند ممکن است تشکیل شوند. این پدیده را توضیح دهید و بررسی کنید.

مخلوط نشاسته‌ی ذرت و آب (oobleck) روی یک بلندگوی لرزنده ساختارهای کرم‌مانند پیچیده‌ای تشکیل می‌دهد که راه می‌روند، شکل می‌گیرند و از بین می‌روند. این پدیده از غیرخطی‌بودن رئولوژیک و دینامیک موج‌های سطحی ناشی می‌شود.

رئولوژی سیال غیرنیوتونی: مدل قانون توان

برای یک سیال غیرنیوتونی با مدل قانون توان (Power Law / Ostwald–de Waele):

τ = K · γ̇ⁿ

که τ تنش برشی (Pa)، γ̇ نرخ کرنش برشی (s⁻¹)، K ضریب سازگاری (consistency index)، و n شاخص توان است:

• n < 1: سیال شبه‌پلاستیک (shear-thinning) — مانند خمیردندان، خون
• n = 1: سیال نیوتونی — آب، هوا
• n > 1: سیال دیلاتانت (shear-thickening) — نشاسته‌ی ذرت

ویسکوزیته‌ی ظاهری

η_app = τ/γ̇ = K · γ̇^(n−1)

برای نشاسته‌ی ذرت (oobleck)، n ≈ 1.5–2.5 و K ≈ 10–100 Pa·s^n. در نرخ کرنش بالا، ویسکوزیته می‌تواند به ۱۰۰ برابر آب برسد.

معادله‌ی حرکت سیال لایه‌ای غیرنیوتونی (مدل لایه‌ی نازک)

برای یک لایه‌ی نازک از سیال power-law روی سطح لرزنده:

∂h/∂t + ∂/∂x [K̃ · h^(2n+1) · |∂h/∂x|^(n−1) · ∂h/∂x] = f(x,t)

که h(x,t) ارتفاع سطح و K̃ = K(2n+1)/(ρ(n+1)) ضریب انتشار غیرخطی است.

مکانیزم شکل‌گیری کرم

1. بی‌پایداری Faraday: لرزش با فرکانس f → موج‌های سطحی با f/2 (subharmonic)
2. غیرخطی شدن: در دامنه‌ی بالا، غیرخطی‌بودن رئولوژی انرژی را به فرکانس‌های بالاتر منتقل می‌کند
3. کوپل موج-ماده: موج‌های سطحی با غلظت محلول کوپل می‌شوند (مناطق با γ̇ بالا → ماده جدا می‌شود)
4. ساختارهای کرم: شامل تجمع محلی ماده‌ی سخت‌شده در ستون‌های باریک

معیار Faraday برای شروع بی‌پایداری

a · ω² / g = Γ_c (Γ_c ≈ 1 برای سیال نیوتونی)

برای oobleck به دلیل ویسکوزیته‌ی بالا، Γ_c ممکن است به ۳–۵ برسد.

آزمایش عملی

• نسبت ۲ قسمت نشاسته ذرت به ۱ قسمت آب (وزنی)
• قرار دادن روی بلندگو، فرکانس ۲۰–۸۰ Hz، دامنه تنظیم‌شده
• ضبط با دوربین از بالا با فریم‌ریت بالا
• اندازه‌گیری: فرکانس آستانه، طول موج کرم، سرعت حرکت کرم

منابع

• Merkt et al. (2004). Phys. Rev. Lett. 92, 184501 — "Persistent holes in non-Newtonian fluid"
• Deegan (2012). Phys. Rev. E 85, 016705 — "Stress-induced worm patterns"
• Bird, Armstrong & Hassager (1987). Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1 — Ch. 4

مقالات مرتبط در physicsme.ir

• فشار در شاره‌ها
• اصل برنولی
• تشدید — ناپایداری فارادی نزدیک رزونانس
• نوسان و امواج — مقدمه

تحلیل پیشرفته: رئولوژی غیرخطی و ناپایداری فارادی

رئولوژی قانون توانی — اشتقاق کامل

برای سیال با رئولوژی قانون توانی (Power-Law / Ostwald-de Waele):

τ = K·γ̇ⁿ

جایی که K [Pa·sⁿ] ضریب سازگاری، γ̇ نرخ برش، و n اندیس توان است:

• n = 1: نیوتنی (آب، روغن)
• n > 1: ضخیم‌شونده با برش (شبه‌جامد — cornstarch + water)
• n < 1: نازک‌شونده با برش (خمیردندان، رنگ، خون)

لزجت ظاهری:

μ_app = τ/γ̇ = K·γ̇ⁿ⁻¹

برای n > 1 (cornstarch): μ_app با γ̇ افزایش می‌یابد — جریان سریع‌تر ≡ مایع سفت‌تر.

ناپایداری فارادی — تحلیل خطی

یک لایه‌ی نازک سیال با ارتفاع h₀ روی بستری که با Γ = A(2πf)²/g لرزانده می‌شود، در آستانه‌ی ناپایداری:

رابطه‌ی پاشش (dispersion relation) با لرزش:

ω² = (gk + σk³/ρ) · tanh(kh₀) · [1 + Γ·δ(t)]

جایی که δ(t) پالس دوره‌ای است. این معادله‌ی ماتیو-هیل است و پاسخ ناپایدار دارد وقتی:

Γ ≥ Γ_c(k, f, ν)

طول موج بهینه‌ی الگو از رابطه‌ی پاشش:

λ_Faraday = 2π / k_c ، k_c: از ω = πf (نصف فرکانس درایو)

رابطه‌ی کاپیلاری-گرانشی

طول کاپیلاری l_c = √(σ/ρg) ≈ 2.7 mm (برای آب) تعیین می‌کند:

• k >> 1/l_c: امواج مویینگی (capillary) — σk³/ρ غالب، ω ∝ k^3/2
• k << 1/l_c: امواج گرانشی — gk غالب، ω ∝ k^1/2

مقایسه‌ی مایعات رئولوژیک

مکانیزم تشکیل «کرم»

تحت لرزش عمودی Γ > Γ_c:

1. ناپایداری فارادی الگوی موجی با λ_F ≈ 3–8 mm تشکیل می‌دهد
2. در سیال ضخیم‌شونده، قله‌های امواج از جریان سریع «سخت می‌شوند»
3. قله‌ها کشیده می‌شوند و ساختارهای رشته‌مانند «کرم» تشکیل می‌دهند
4. تعداد و طول کرم‌ها با Γ − Γ_c (فاصله از آستانه) مقیاس می‌شود

مراجع علمی

• Larson, R.G. (1999). The Structure and Rheology of Complex Fluids. Oxford University Press. — فصل ۱: رئولوژی سیالات غیرنیوتونی؛ مدل قانون توان و تنش برشی.
• Faraday, M. (1831). "On a peculiar class of acoustical figures." Phil. Trans. R. Soc. Lond., 121, 299–340. — اولین توضیح امواج فارادی روی سطح سیال لرزاننده؛ پایه‌ی فیزیک تشکیل کرم‌ها در نشاسته لرزان.
• Merkt, F.S., Deegan, R.D., Goldman, D.I., Rericha, E.C. & Swinney, H.L. (2004). "Persistent holes in a fluid." Phys. Rev. Lett., 92, 184501. — ایجاد حفره‌های پایدار در سیال غیرنیوتونی تحت ارتعاش؛ مستقیماً مرتبط با پدیده‌ی کرم‌ها.
• Waitukaitis, S.R. & Jaeger, H.M. (2012). "Impact-activated solidification of dense suspensions via dynamic jamming fronts." Nature, 487, 205–209. — مکانیزم جامدسازی آنی نشاسته‌ی ذرت در برابر ضربه؛ توضیح رفتار دیلاتانت.
• Barnes, H.A. (1989). "Shear-thickening (dilatancy) in suspensions of non-aggregating solid particles in Newtonian liquids." J. Rheol., 33(2), 329–366. — بررسی جامع پدیده‌ی دیلاتانسی در سوسپانسیون‌ها؛ مرجع اصلی برای فیزیک نشاسته‌ی ذرت.
• Cross, M.C. & Hohenberg, P.C. (1993). "Pattern formation outside of equilibrium." Rev. Mod. Phys., 65, 851–1112. — نظریه‌ی کلی تشکیل الگو در سیستم‌های ناپایدار دور از تعادل؛ پایه‌ی نظری تشکیل کرم‌ها.

۱۵. نوشیدنی سرد

یک قوطی یا بطری نوشیدنی در دمای اتاق می‌تواند در یک خنک‌کننده حاوی یخ سرد شود. اضافه کردن نمک و الکل به یخ می‌تواند نرخ سردشدن را افزایش دهد و دمای نهایی نوشیدنی را تغییر دهد. بررسی کنید که پارامترهای مرتبط چگونه بر پایین‌ترین دمای قابل دستیابی و حداکثر نرخ سردشدن تأثیر می‌گذارند.

وقتی به یک نوشیدنی یخ اضافه می‌کنید یا یک قوطی سرد از یخچال می‌گیرید، چه اتفاقاتی با نرخ‌های مختلف رخ می‌دهند؟ چه چیزی نوشیدنی را سرد نگه می‌دارد؟

قانون نیوتون برای سردشدن

برای یک جسم با گنجایش گرمایی C_p و ضریب انتقال گرما UA:

C_p · dT/dt = −UA · (T − T_amb)

راه‌حل: T(t) = T_amb + (T₀ − T_amb) · e^{−t/τ}، که ثابت زمانی τ = C_p/(UA) است.

مرحله‌ی ذوب یخ (فرایند دو‌مرحله‌ای)

اگر یخ در نوشیدنی وجود داشته باشد، دما در T = 0°C ثابت می‌ماند تا یخ کاملاً ذوب شود:

مرحله ۱ (یخ در حال ذوب): m_ice · L_f = Q̇ · t_melt

مرحله ۲ (بدون یخ): T(t) = T_amb − (T_amb − 0) · e^{−(t−t_melt)/τ}

که L_f = 334 kJ/kg گرمای ذوب یخ است.

گرمایش از خارج: سه مکانیزم انتقال گرما

• رسانش از ظرف: Q̇_cond = k_wall · A / d · ΔT
• جابه‌جایی: Q̇_conv = h_conv · A · ΔT (h_conv ≈ 5–10 W/m²·K برای هوای ساکن)
• تابش: Q̇_rad = ε·σ·A·(T_amb⁴ − T⁴) — معمولاً کوچک در دمای محیط

تعرق (Condensation)

هوای مرطوب اطراف قوطی سرد به زیر نقطه‌ی شبنم می‌رسد و آب تقطیر می‌کند. انتقال گرمای نهان تقطیر:

Q̇_cond = h_fg · dm_w/dt

که h_fg = 2.5 MJ/kg گرمای نهان تبخیر است. این مکانیزم می‌تواند ۲۰–۴۰٪ از گرمای کل وارد شده به نوشیدنی را تشکیل دهد.

بهینه‌سازی: چه مقدار یخ؟

برای نگه‌داشتن نوشیدنی در دمای T_cold تا زمان τ_desired:

m_ice = (UA · ΔT_avg · τ_desired) / L_f

عوامل مؤثر: اندازه‌ی ظرف، عایق‌بندی، رطوبت هوا، جنس ظرف (فلز/پلاستیک/شیشه).

منابع

• Incropera et al. (2007). Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6th ed. — فصل ۲ (رسانش)، فصل ۷ (جابه‌جایی)
• Cengel & Ghajar (2020). Heat and Mass Transfer, 5th ed. — بخش یخ و تغییر فاز

مقالات مرتبط در physicsme.ir

• دما و گرما — از تنظیم دمای بدن تا تنور پیتزا
• دما و دماسنجی — از تب ۳۹ تا صفر مطلق
• روش‌های انتقال گرما — رسانش، همرفت، تابش
• گرما و گرماسنجی
• تغییر حالت ماده — گرمای پنهان تعریق و قطره شبنم

تحلیل پیشرفته: انتقال گرما چندگانه و ترمودینامیک یخ-نوشیدنی

مدل سه‌مرحله‌ای کامل

مرحله‌ی ۱ — ذوب یخ (T = 0°C = ثابت):

Q̇_melt = UA·(T_amb − T_drink) = UA·T_amb (T_drink = 0°C)
t_melt = m_ice·L_f / (UA·T_amb)

مرحله‌ی ۲ — خنک‌کردن نوشیدنی (T از 0°C تا T_amb):

C_p,drink·dT/dt = UA·(T_amb − T) → T(t) = T_amb·(1 − e^−t/τ)
τ = C_p/UA

مرحله‌ی ۳ — تبخیر روی سطح (رطوبت محیط):

Q̇_evap = h_fg·ṁ_cond (وقتی T_surf < T_dew: میعان)
Q̇_evap = −h_fg·ṁ_evap (وقتی T_surf > T_dew: تبخیر)

دمای نقطه‌ی شبنم — فرمول Magnus

برای رطوبت نسبی RH و دمای محیط T_a (°C):

T_dew = 243.04·[ln(RH/100) + 17.625·T_a/(243.04+T_a)] / [17.625 − ln(RH/100) − 17.625·T_a/(243.04+T_a)]

اگر T_{surface,glass} < T_dew: میعان روی سطح → این «بخار آب روی لیوان» است که انرژی از سطح می‌گیرد (گرمای نهان میعان h_fg ≈ 2.45 MJ/kg).

ضریب انتقال گرمای کلی UA

ضریب کلی: 1/(UA) = 1/(h_out·A) + δ/(kA) + 1/(h_in·A)

معمولاً مقاومت بیرونی و جداره غالب است؛ مقاومت داخل قابل صرف‌نظر.

بهینه‌سازی: اثر هم‌زدن

هم‌زدن نوشیدنی h_in را از ~100 به ~500 W/m²K افزایش می‌دهد. از آنجایی که h_in مقاومت مسلط نیست، تأثیر هم‌زدن بر t_cool کم است. اما هم‌زدن یخ را از نوشیدنی جدا می‌کند و سطح تماس یخ-مایع را افزایش می‌دهد → t_melt کاهش می‌یابد → اثر خنک‌کنندگی سریع‌تر است.

تفاوت یخ له‌شده در مقابل یخ تکه‌ای

یخ له‌شده: سطح تماس بزرگ‌تر → t_melt کوتاه‌تر → خنک‌کنندگی اولیه سریع‌تر، اما دوام کمتر.
یخ تکه‌ای: سطح کمتر → t_melt بلندتر → نوشیدنی دیرتر ولی پایدارتر سرد می‌ماند.

مراجع علمی

• Incropera, F.P. et al. (2011). Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 7th ed. Wiley.
• Bergman, T.L. et al. (2011). Introduction to Heat Transfer, 6th ed. Wiley.
• Magnus, G. (1844). Versuche über die Spannkräfte des Wasserdampfs. Ann. Phys., 137(2), 225–247.
• Lide, D.R. (ed.) (2005). CRC Handbook of Chemistry and Physics. CRC Press.

صورت مسئله رسمی

«چند آهنربای نئودیمیم به یک دیسک افقی متصل می‌شوند، با آهنرباهای مجاور در جهت‌های مخالف. یک صفحه‌ی ثابت غیرمغناطیسی به‌صورت افقی بالای دیسک قرار می‌گیرد. وقتی دیسک حول محور عمودی‌اش می‌چرخد و یک توپ فولادی روی صفحه قرار می‌گیرد، توپ ممکن است هم در جهت چرخش دیسک و هم در خلاف آن حرکت کند. این پدیده را بررسی کنید و تعیین کنید که حرکت چگونه به پارامترهای مرتبط وابسته است.»

میدان مغناطیسی دوار و پتانسیل دوره‌ای

$n$ جفت آهنربا با جهت‌گیری متناوب روی دیسک، یک الگوی میدان مغناطیسی شطرنجی ایجاد می‌کنند که با دیسک می‌چرخد. در موقعیت زاویه‌ای $phi$ از دیسک در قاب مرجع آزمایشگاه، انرژی پتانسیل مغناطیسی توپ فولادی:

$$U(phi_{rm ball} - phi_{rm disc}) = -U_0cos!left(n(phi_{rm ball} - phi_{rm disc})right)$$

که $U_0 > 0$ دامنه‌ی پتانسیل و $n$ تعداد جفت آهنربا است. توپ فولادی (فرومغناطیس) به ماکسیمم‌های میدان جذب می‌شود.

گشتاور مغناطیسی روی توپ در زاویه‌ی نسبی $Deltaphi = phi_{rm ball} - phi_{rm disc}$:

$$tau_{rm mag} = -frac{dU}{dphi_{rm ball}} = -n U_0sin(nDeltaphi)$$

معادله‌ی حرکت توپ: هم‌سو یا مخالف‌سو

توپ روی صفحه‌ی ثابت می‌غلتد. با جرم $m$ و شعاع $r_{rm ball}$، گشتاور اینرسی توپ (کره‌ی توپر) $I = frac{2}{5}mr_{rm ball}^2$. برای توپی در شعاع $R$ از مرکز دیسک، معادله‌ی حرکت زاویه‌ای توپ حول مرکز دیسک:

$$(mR^2 + I)ddot{phi}_{rm ball} = tau_{rm mag}(Deltaphi) - tau_{rm friction}$$

که $tau_{rm friction} = mu_k, mg, R$ گشتاور اصطکاک غلتشی است.

رژیم‌های حرکتی

رژیم کم‌سرعت (هم‌سو): اگر $Omega_{rm disc}$ کوچک باشد، گشتاور مغناطیسی کافی است تا توپ را با دیسک هم‌گام نگه دارد: $dot{phi}_{rm ball} approx dot{phi}_{rm disc} = Omega_{rm disc}$. توپ در جهت چرخش دیسک حرکت می‌کند.

رژیم پرسرعت (مخالف‌سو): اگر $Omega_{rm disc}$ از سرعت بحرانی $Omega_c$ بیشتر شود، توپ نمی‌تواند با دیسک هم‌گام بماند. توپ در چرخه‌ی متوسط عقب می‌ماند. در قاب دیسک، میانگین گشتاور مغناطیسی صفر است اما غیرخطی‌بودن $sin(nDeltaphi)$ منجر به یک گشتاور خالص مخالف می‌شود که توپ را در خلاف جهت دیسک می‌راند.

سرعت بحرانی از تعادل بین گشتاور مغناطیسی ماکسیمم و اصطکاک غلتشی:

$$Omega_c approx frac{n U_0 - tau_{rm friction}}{I_{rm eff} / tau_{{rm lag}}}$$

به‌صورت ساده‌تر، گذار هم‌سو به مخالف‌سو وقتی اتفاق می‌افتد که زمان تاخر توپ از میدان چرخنده از نیم‌دوره‌ی $pi/(nOmega_{rm disc})$ فراتر رود.

پارامترها

راه‌اندازی آزمایش

برای اندازه‌گیری جهت و سرعت حرکت توپ بر حسب $Omega_{rm disc}$:

1. دیسک را با موتور DC با سرعت قابل تنظیم بچرخانید. $n = 4$–$8$ جفت آهنربا را به‌صورت متقارن نصب کنید.
2. صفحه‌ی پلکسی‌گلاس ثابت را با فاصله‌ی مشخص بالای دیسک قرار دهید.
3. توپ فولادی را روی صفحه بگذارید و با دوربین سرعت و جهت حرکت آن را ثبت کنید.
4. $Omega_{rm disc}$ را از صفر افزایش دهید و $Omega_c$ (گذار هم‌سو به مخالف‌سو) را ثبت کنید.
5. آزمایش را برای $n$ متفاوت و گاف هوایی متفاوت تکرار کنید.
6. برای اندازه‌گیری $U_0$، از سنسور نیرو برای اندازه‌گیری گشتاور مغناطیسی استاتیکی استفاده کنید.

مراجع علمی

• Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Pearson, 2013 — میدان مغناطیسی دیپل و انرژی پتانسیل.
• Jiles, D., Introduction to Magnetism and Magnetic Materials, 3rd ed., CRC Press, 2015 — فرومغناطیس و نیروی جذب.
• Chikazumi, S., Physics of Ferromagnetism, 2nd ed., Oxford, 1997.
• Sandri, G. et al., "Synchronization and desynchronization of rotating magnetic fields," Am. J. Phys. 78 (2010) 301–307.

۱۷. جلد کتاب افتان

یک کتاب به‌صورت افقی قرار می‌گیرد و جلد نیمه‌باز آن رها می‌شود تا بیفتد. حرکت جلد کتاب در حال افتادن را بررسی کنید.

یک جلد کتاب (تکه کاغذ یا مقوا) که رها می‌شود، بسته به اندازه، وزن، و شکل مسیرهای بسیار متفاوتی طی می‌کند: سقوط مستقیم، تاب‌خوردن تناوبی (flutter)، غلتیدن (tumbling)، یا شناوری (sailing). کدام رژیم دیده می‌شود؟

پارامترهای بی‌بُعد

فیزیک سقوط یک صفحه‌ی مسطح با چهار پارامتر بی‌بُعد توصیف می‌شود:

• ضریب اینرسی: I* = ρ_s h / (ρ_f a) — نسبت جرم صفحه به جرم هوای جابجاشده
• عدد فرود: Fr = v² / (g·a) یا معکوس آن
• عدد رینولدز: Re = ρ_f v a / μ
• عدد اویلر/کاوالیه: Eu = I* / 8 — مقیاس‌گذاری دینامیک چرخشی

رژیم‌های سقوط (نمودار فاز I*–Re)

مدل دینامیکی: معادلات اویلر-لاگرانژ

برای یک صفحه‌ی دو‌بُعدی با ۳ درجه‌ی آزادی (x، y جابجایی و θ زاویه):

(m + m_a) ẍ = F_D(θ, u, v) + F_L(θ, u, v)
(m + m_a) ÿ = −mg + F_D(θ, u, v) + F_L(θ, u, v)
(I_s + I_a) θ̈ = M_aero(θ, u, v, θ̇)

که m_a = ρ_f π a²/4 جرم افزوده (added mass)، I_a = ρ_f π a⁴/128 ممان اینرسی افزوده، و u = ẋ − v_∞ سرعت نسبی هوا هستند.

نیروهای آئرودینامیکی: مدل Andersen–Pesavento–Wang

مدل APW (2005) نیروها را با ضرایب آئرودینامیکی اثربخش محاسبه می‌کند:

C_L = (A₁ sin2θ + A₂ cos2θ) · |v_rel| · ρ_f · a
C_D = C_D0 + C_D2 cos²θ
M = (B₁ sin2θ + B₂) · |v_rel|² · ρ_f · a²

پارامترهای A₁, A₂, B₁, B₂, C_D0, C_D2 از آزمایش یا DNS (شبیه‌سازی عددی مستقیم) کالیبره می‌شوند.

سرعت پایانی برای رژیم شناوری

در رژیم شناوری، سرعت پایانی عمودی:

v_y,terminal = √(2mg / (ρ_f C_L a)) ≈ √(2ρ_s h g / ρ_f C_L)

مقیاس‌گذاری مهم: v_terminal ∝ √(I*) یعنی ورق‌های سنگین‌تر (I* بزرگ‌تر) سریع‌تر می‌افتند.

فرکانس تاب‌خوردن (Flutter Frequency)

در رژیم flutter، فرکانس نوسان:

f_flutter ≈ (1/2π) · √(ρ_f g a / m) = (1/2π) · √(g/a · 1/I*)

منابع

• Andersen A., Pesavento U., Wang Z.J. (2005). J. Fluid Mech. 541, 91 — "Unsteady aerodynamics of fluttering and tumbling plates"
• Mahadevan, L., Ryu, W.S., Samuel, A.D.T. (1999). Phys. Fluids 11, 1 — "Tumbling cards"
• Belmonte, A., Eisenberg, H., Moses, E. (1998). Phys. Rev. Lett. 81, 345 — "From flutter to tumble"
• Field, S.B., Klaus, M., Moore, M.G., Nori, F. (1997). Nature 388, 252 — "Chaotic dynamics of falling disks"

مقالات مرتبط در physicsme.ir

• آزمایش: سقوط آزاد
• فشار در شاره‌ها — دینامیک سیال
• اصل برنولی — نیروی آیرودینامیک
• نیروی گرانش — از سیب نیوتون تا فضانوردی

تحلیل پیشرفته: آیرودینامیک پرواز/سقوط اجسام پهن

اعداد بی‌بعد کلیدی

مدل APW (Andersen-Pesavento-Wang) — اشتقاق نیروها

در این مدل، نیروهای آیرودینامیک روی صفحه‌ای با عرض a و زاویه‌ی حمله θ:

F_L/ρ_fa² = (A₁·sinθ·cosθ + A₂·Ω·cos θ) · |v|
F_D/ρ_fa² = (C_D0·sin²θ + C_D2·cos²θ) · |v|²
τ/ρ_fa³ = (B₁·sinθ·cosθ + B₂·Ω) · |v|²

ثوابت مدل: A₁=1.4، A₂=1.0، C_D0=1.4، C_D2=0.4، B₁=0.2، B₂=0.1

جرم افزوده و گشتاور اینرسی افزوده:

m_a = ρ_f·π·a²/4 , I_a = ρ_f·π·a⁴/128

رژیم‌های حرکت و نقشه‌ی فاز

نقشه‌ی I*–Re:

فرکانس flutter — مقیاس‌گذاری

در رژیم flutter، تحلیل ابعادی نشان می‌دهد:

f_flutter = (1/2π) · √(g / a·I*) ∝ I*^{-1/2}

این رابطه یعنی صفحه‌ی سبک‌تر (I* کمتر) سریع‌تر «پروازی» می‌کند — نتیجه‌ای که با تجربه‌ی روزمره (برگ درخت در مقابل تخته) سازگار است.

اثر ابعاد — اهمیت نسبت ظاهری

مطالعات نشان داده‌اند:

• نسبت ظاهری (aspect ratio) AR = L/a بر رژیم اثر می‌گذارد
• برای AR >> 1 (ورقه‌ی باریک): flutter در مقیاس‌بزرگ‌تر I* رخ می‌دهد
• برای AR ≈ 1 (مربع): رژیم chaotic گسترده‌تر است
• جلد کتاب معمولی: AR ≈ 1.4 → انتظار طیف وسیعی از رفتارها

جریان‌های جانبی (Leading Edge Vortex)

در رژیم flutter، یک گرداب لبه‌ی جلویی (Leading Edge Vortex, LEV) تشکیل می‌شود که نیروی برا ایجاد می‌کند. این همان مکانیزمی است که حشرات از آن برای پرواز استفاده می‌کنند. LEV تا زاویه‌ی حمله‌ی ~45° پایدار است و سپس از سطح جدا می‌شود — این جداشدن، چرخش نوسانی Flutter را ایجاد می‌کند.

مراجع علمی

• Andersen, A., Pesavento, U., & Wang, Z.J. (2005). Unsteady aerodynamics of fluttering and tumbling plates. J. Fluid Mech., 541, 65–90.
• Mahadevan, L., Ryu, W.S., & Samuel, A.D.T. (1999). Tumbling cards. Phys. Fluids, 11(1), 1–3.
• Belmonte, A., Eisenberg, H., & Moses, E. (1998). From flutter to tumble: Inertial drag and Froude similarity in falling paper. Phys. Rev. Lett., 81(2), 345.
• Field, S.B. et al. (1997). Chaotic dynamics of falling disks. Nature, 388, 252–254.
• Wang, Z.J. (2005). Dissecting insect flight. Annu. Rev. Fluid Mech., 37, 183–210.