آونگ و دامِ میانگین‌گیری — نوارِ خطا کوچک می‌شود، جواب سرِ جای غلطش می‌ماند

این از کجا آمده

شهریورِ ۱۳۹۰، آزمایشِ OPERA در ایتالیا اعلام کرد نوترینوهایی که ۷۳۰ کیلومتر از سرن تا گرن‌ساسو آمده‌اند، حدودِ ۶۰ نانوثانیه زودتر از نور رسیده‌اند. عددشان شوخی‌بردار نبود: حدودِ ۱۶ هزار نوترینو در سه سال، عدمِ قطعیتِ آماری فقط ±۶٫۹ نانوثانیه. یعنی شش سیگما. ولی دو سالِ بعد معلوم شد یک کانکتورِ فیبرِ نوری درست جا نیفتاده بود و یک نوسان‌سازِ ساعت هم کمی تند کار می‌کرد. هر شانزده هزار رویداد دقیقاً همان خطا را داشتند، چون آن کانکتور در تمامِ سه سال ثابت بود. هر نوترینوی تازه نوارِ خطای آماری را کوچک‌تر می‌کرد و به آن خطا حتی دست نمی‌زد. این صفحه همان تله است، با یک آونگ و یک زمان‌سنج.

پس‌زمینهٔ نظری

یک آونگِ ساده با دامنهٔ کوچک، دورهٔ تناوبش این است:

T = 2π √(L / g) ⟹ g = 4π² L / T²

پس برای اندازه‌گیریِ g فقط دو عدد لازم است: طولِ آونگ و دورهٔ تناوبش. دورهٔ تناوب را با زمان‌گیریِ ۲۰ نوسان و تقسیم بر ۲۰ می‌گیری تا خطای دستِ خودت بیست برابر کوچک شود.

هر بار که زمان می‌گیری عددِ کمی متفاوتی درمی‌آید، چون واکنشِ دستِ تو تصادفی است. اینجاست که آمار وارد می‌شود: اگر n بار تکرار کنی، عدمِ قطعیتِ میانگین به‌اندازهٔ √n کوچک می‌شود.

σ(میانگین) = σ(یک اندازه‌گیری) / √n

این رابطه کاملاً درست است. فقط یک شرط دارد که معمولاً نوشته نمی‌شود: هر تکرار باید خطایش را از نو قرعه‌کشی کند. هر چیزی که بینِ تکرارها ثابت بماند، هیچ‌وقت قرعه‌کشی نمی‌شود، و √n اصلاً خبر ندارد که وجود دارد.

و طولِ آونگ را چند بار اندازه می‌گیری؟ یک بار. می‌نویسی‌اش در دفتر و بعد بیست بار، پنجاه بار، دویست بار زمان می‌گیری.

۱. چیدمان

یک پایه، یک گیره، نخ، و یک گویِ فلزی. طولِ آونگ را با متر از گیره تا گوی اندازه می‌گیری، بعد آونگ را به نوسان درمی‌آوری و زمانِ ۲۰ نوسان را می‌گیری. شش طولِ مختلف در دسترس است و دو زمان‌سنج: کرنومترِ دستی و دروازهٔ نوری.

دکمه‌های «۱۰ بار» و «۵۰ بار» همان کارِ زمان‌گیریِ تکی را پشتِ سرِ هم انجام می‌دهند. تا چند صد بار هم می‌توانی جلو بروی؛ چیزی خسته نمی‌شود.

آونگ به مقیاس است؛ فلشِ کناری همان طولی است که در دفترت نوشته‌ای.

g بعد از هر زمان‌گیری، با نوارِ خطای آماری‌اش.

—
هنوز زمانی گرفته نشده
زمان‌سنجِ فعلی: کرنومترِ دستی — پراکندگیِ حدودِ ۰٫۱۸ ثانیه در هر زمان‌گیری
یک طول انتخاب کن و زمانِ ۲۰ نوسان را بگیر.

دستِ آدم در شروع و پایانِ کرنومتر حدودِ یک‌دهمِ ثانیه تأخیر دارد و این تأخیر هر بار فرق می‌کند. برای همین می‌گویند تکرار کن.

۲. جدول آونگ‌ها

هر سطر یک طولِ آونگ است، نه یک زمان‌گیری. ستونِ n می‌گوید چند بار آن آونگ را زمان گرفته‌ای و ستونِ ±T عدمِ قطعیتِ میانگینِ همان زمان‌گیری‌هاست. ✕ یک آونگ را کلاً از حساب بیرون می‌گذارد.

۳. محاسبه

برای آونگی که الان انتخاب کرده‌ای، g = 4π²L/T² حساب می‌شود و عدمِ قطعیتش از پراکندگیِ زمان‌گیری‌ها می‌آید. چون g با T² نسبت دارد، خطای نسبی‌اش دو برابرِ خطای نسبیِ T است:

σ(g) / g = 2 σ(T) / T

دو سطرِ آخرِ جدولِ پایین را با هم بخوان. یکی می‌گوید نوارِ خطا از پنجمین زمان‌گیری تا حالا چند برابر کوچک شده، و آن یکی می‌گوید جواب در همین مدت چقدر جابه‌جا شده. اگر جواب تکان نمی‌خورد و نوار همین‌طور کوچک می‌شود، یعنی داری با سرعتِ بیشتری به یک جای مشخص نزدیک می‌شوی — ولی هیچ‌چیز تضمین نکرده که آن جا درست باشد.

طولی که در دفتر نوشته‌ای:—
چند بار طول را اندازه گرفته‌ای:—
تعدادِ زمان‌گیری‌ها:—
میانگینِ دورهٔ تناوب:—
عدمِ قطعیتِ T:—
g از این آونگ:—
عدمِ قطعیتی که گزارش می‌کنی:—
نوارِ خطا از زمان‌گیریِ پنجم تا حالا:—
جواب در همان مدت:—
زمان‌سنج:—
همین آونگ با زمان‌سنجِ قبلی:—
g از شیبِ نمودارِ T²–L:—
جوابِ نهاییِ تو برای g: —

۴. تحلیل با Python

داده‌های تو در trials_data هستند: swings (تعدادِ نوسان در هر زمان‌گیری) و lengths، فهرستی از آونگ‌ها. هر آونگ L (متر، میانگینِ چیزی که با متر خوانده‌ای)، L_reads (تک‌تکِ خوانش‌های متر) و periods (تک‌تکِ دوره‌های تناوبِ اندازه‌گیری‌شده) دارد.

کدِ آماده دو کار می‌کند. اول تاریخچهٔ جوابت را بازسازی می‌کند: بعد از هر زمان‌گیری، g و نوارِ خطایش را دوباره حساب می‌کند، پس می‌بینی آن نوار دقیقاً چطور آب رفته و جواب دقیقاً چقدر تکان خورده. بعد از آونگ‌های مختلف یک T² بر حسب L می‌سازد و عرض از مبدأ را می‌خواند — عددی که در روشِ تک‌آونگی اصلاً جایی برای ظاهر شدن نداشت. آخرش دو منحنی را کنارِ هم می‌گذارد: آن بخشی از خطا که با تکرار کوچک می‌شود، و آن بخشی که نمی‌شود.

Pyodide هنوز لود نشده
خروجی پایتون اینجا می‌آید

۵. افشای مقدار واقعی

وقتی روی یک جواب ایستادی، این را بزن.