مؤلفه‌ها و بردارهای یکه

روش هندسی (§۳.۲) خوبه ولی محدودیت داره. مؤلفه‌ها ابزار جبری‌ان که کار با بردارها رو مقیاس‌پذیر می‌کنه — ۱۰۰ بردار هم به‌راحتی ۲ تا. هر بردار رو با چند عدد اسکالر (مؤلفه‌هاش) کامل توصیف می‌کنیم.

تجزیه به مؤلفه‌ها — یک محور در یک زمان

سیستم مختصات دکارتی رو در نظر بگیر (x, y در دو بعد). یه بردار \vec a می‌تونه به دو تا زیر-بردار تجزیه بشه:

$$
\vec a = \vec a_x + \vec a_y
$$

هر مؤلفه یه اسکالر با علامت داره:

فرمول‌های مثلثاتی

اگه بردار \vec a طول a = |\vec a| و زاویه‌ی \theta نسبت به محور x داره:

$$
a_x = a \cos\theta
$$

$$
a_y = a \sin\theta
$$

x y a⃗ aₓ = a cos θ a_y = a sin θ θ
تجزیه‌ی بردار به مؤلفه‌های x و y — از تعریف کسینوس و سینوس.

عکس این هم درسته — اگه مؤلفه‌ها رو داشته باشی:

$$
a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}
$$

$$
\tan\theta = \frac{a_y}{a_x}
$$

بردارهای یکه — \hat i, \hat j, \hat k

بردار یکه یعنی برداری با اندازه‌ی ۱ که فقط جهت رو نشون می‌ده. سه بردار یکه‌ی استاندارد در سیستم دکارتی:

خواص:
– |\hat i| = |\hat j| = |\hat k| = 1
– \hat i \perp \hat j \perp \hat k (متعامد دو به دو)

نمایش کامل بردار با یکه‌ها

هر بردار رو می‌شه به‌عنوان مجموع خطی بردارهای یکه نوشت:

$$
\vec a = a_x \hat i + a_y \hat j\quad (\text{در ۲ بعد})
$$

$$
\vec a = a_x \hat i + a_y \hat j + a_z \hat k\quad (\text{در ۳ بعد})
$$

این نوتیشن قدرتمنده — همه‌ی محاسبات برداری با جبر ساده‌ی مؤلفه‌ها انجام می‌شن.

مثال عددی

سناریو: یه بردار جابه‌جایی \vec d = 10 m با زاویه‌ی \theta = 30° نسبت به محور x.

مؤلفه‌ها:

$$
d_x = 10 \cos(30°) = 10 \cdot 0.866 \approx 8.66\ \mathrm{m}
$$

$$
d_y = 10 \sin(30°) = 10 \cdot 0.5 = 5.00\ \mathrm{m}
$$

نمایش با یکه‌ها:

$$
\vec d = 8.66\, \hat i + 5.00\, \hat j\ \mathrm{m}
$$

بررسی معکوس:

$$
d = \sqrt{8.66^2 + 5.00^2} = \sqrt{75 + 25} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m}\ ✓
$$

بردار یکه در جهت بردار دلخواه

اگه بردار \vec a داشته باشی، بردار یکه در همون جهت:

$$
\hat a = \frac{\vec a}{|\vec a|} = \frac{\vec a}{a}
$$

مفید برای وقتی که فقط جهت مهمه، نه اندازه. مثلاً در تعریف میدان الکتریکی از یه بار نقطه‌ای.

علامت‌ها و ربع‌ها

بسته به این‌که بردار در کدوم ربع باشه:

ربع \theta a_x a_y
اول 0° \leq \theta < 90° + +
دوم 90° \leq \theta < 180° - +
سوم 180° \leq \theta < 270° - -
چهارم 270° \leq \theta < 360° + -

هشدار: موقع محاسبه‌ی \theta از \tan\theta = a_y/a_x، ماشین‌حساب فقط ربع اول و چهارم رو می‌ده. برای ربع دوم و سوم، 180° باید اضافه کنی. همیشه با علامت‌های a_x و a_y دوباره چک کن.

چند نکته و اشتباه رایج

۱. مؤلفه اسکالر ـه، نه بردار.
a_x یه عدد ـه (با علامت). \vec a_x = a_x \hat i یه برداره. تمایز رو حفظ کن.

۲. زاویه‌ها همیشه از یه محور مرجع مشخص.
معمولاً از محور +x می‌گیریم، خلاف عقربه‌ی ساعت مثبت. با قرارداد ثابت باش.

۳. برای بردار سه‌بعدی، از سه زاویه استفاده نکن.
دو زاویه (مثل \theta, \phi در مختصات کروی) یا سه مؤلفه (x, y, z). سه زاویه اضافی و گیج‌کننده‌ست.

۴. اگه در جهت منفی یه محوره، مؤلفه منفی می‌شه.
مثل قبل بمیل نیاز نداری علامت رو دستی مدیریت کنی — از \theta استفاده کن، cos و sin علامت‌ها رو خودشون درست می‌دن.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۳.۴

حالا که مؤلفه‌ها رو داریم، جمع برداری خیلی راحت می‌شه: جمع مؤلفه‌های متناظر. §۳.۴ این ابزار رو با چند مثال از فیزیک واقعی نشون می‌ده.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 3, §3.3 — Vector Components.
📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 2.2.

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.

💬 جواب بهتری داری؟ یا یه سؤال جدید؟

اگه به سؤالای بالا پاسخی داری که فکر می‌کنی روشن‌تر یا کامل‌تر از مال منه، یا یه سؤال جدید برای دانش‌آموزای دیگه داری — تو بخش نظرات پایین صفحه ارسال کن. هر پیامی رو می‌خونم، تأیید می‌کنم و منتشر می‌شه. این‌جوری همه از تجربه‌ی همدیگه استفاده می‌کنیم. 🌱