شرایطِ تعادل سادهاند: نیروها باید متوازن باشند و گشتاورها باید متوازن. اما کجا این نیروها اعمال میشوند؟ این فرق میکند!
مثال: گشتاور و بازوی گشتاور
دو نیروی برابر اما مخالف: F = 100 N.
حالت اول: هر دو نیرو از یک نقطه عبور میکنند: \[ \sum F = 100 - 100 = 0 \quad ✓ \] \[ \sum \tau = 0 \quad ✓ \]
جسم ایستا میماند.
حالت دوم: نیروها در نقاطِ متفاوت اعمال میشوند (مثلاً دو انتهایِ میله):
اگر فاصلهٔ بین نقاطِ اعمال = d، حول مرکز:
\[ \sum F = 100 - 100 = 0 \quad ✓ \]
اما: \[ \sum \tau = F \cdot (d/2) + F \cdot (d/2) = F \cdot d = 100 \times d \neq 0 \quad ✗ \]
جسم میچرخد! این یک جفت نیرو (couple) نام دارد.
تعریف اصیل: جفت نیرو
یک جفت نیرو دو نیروی مساوی، مخالف، و غیرهمراستا است:
\[ \sum F = 0 \quad \text{(نیروی خالص صفر)} \] \[ \sum \tau = F \cdot d \neq 0 \quad \text{(گشتاور خالص غیرصفر)} \]
جسم نمیسقط اما میچرخد. گشتاورِ جفت:
\[ \tau_{\text{couple}} = F \cdot d \]
جاییکه d فاصلهٔ عمودی بین خطوطِ عمل نیروها است.
مثالِ عملی: اهرم
یک اهرم (lever) میلهای است که روی یک نقطهٔ تکیه (fulcrum) قرار دارد.
تنظیمِ ساده
- نقطهٔ تکیه در موقعیت
x = 0 - بار (load)
W = 100 Nدر فاصلهٔd_W = 0.5 m(بازوی بار) - نیروی اعمالی (effort)
Fدر فاصلهٔd_F = 2 m(بازوی تلاش)
شرطِ تعادل (گشتاور)
حول نقطهٔ تکیه:
\[ F \cdot d_F = W \cdot d_W \]
\[ F \times 2 = 100 \times 0.5 \]
\[ F = 25 \text{ N} \]
فائدهٔ مکانیکی: \[ \text{MA} = \frac{d_F}{d_W} = \frac{2}{0.5} = 4 \]
با نیروی 25 N، میتوانید بارِ 100 N را بلند کنید!
مثالِ پیچیدهتر: تیرِ افقی
تیرِ یکنواختِ جرمِ m = 50 kg و طولِ L = 4 m روی دو تکیهگاه:
- تکیهگاهِ چپ در
x = 0 - تکیهگاهِ راست در
x = L = 4 m - بارِ اضافیٔ
W = 200 Nدرx = 1 m
نیروهای اعمالشده:
- وزنِ تیر:
W_beam = mg = 50 \times 10 = 500 Nدر مرکزِ تیر (x = 2 m) - بارِ اضافی:
W = 200 Nدرx = 1 m - نیروی عادی تکیهگاهِ چپ:
N_Lدرx = 0 - نیروی عادی تکیهگاهِ راست:
N_Rدرx = 4 m
شرط اول: نیروها
\[ N_L + N_R - W_{\text{beam}} - W = 0 \]
\[ N_L + N_R = 500 + 200 = 700 \text{ N} \]
شرط دوم: گشتاورها (حول نقطهٔ تکیهگاهِ چپ)
\[ N_L \times 0 + N_R \times 4 - W_{\text{beam}} \times 2 - W \times 1 = 0 \]
\[ N_R \times 4 = 500 \times 2 + 200 \times 1 \]
\[ N_R \times 4 = 1000 + 200 = 1200 \]
\[ N_R = 300 \text{ N} \]
حل
از شرطِ اول:
\[ N_L = 700 - 300 = 400 \text{ N} \]
بررسی (گشتاور حول تکیهگاهِ راست):
\[ N_L \times 4 - W_{\text{beam}} \times 2 - W \times 3 = 400 \times 4 - 500 \times 2 - 200 \times 3 \]
\[ = 1600 - 1000 - 600 = 0 \quad ✓ \]
استراتژی حل مسائلِ تعادل اجسام صلب
- نیروها را رسم کنید (diagram جسم آزاد — FBD)
- مرجعِ مختصات را انتخاب کنید
- محورِ دوران را انتخاب کنید (معمولاً نقطهٔ ناشناختهٔ نیرو)
- معادلات را بنویسید:
- \( \sum F_x = 0 \) (اگر نیروهایی در جهتِ x باشند)
- \( \sum F_y = 0 \) (جهتِ y)
- \( \sum \tau = 0 \) (گشتاور حول محورِ انتخابی)
- حل معادلات همزمان
نکات عملی
انتخابِ محورِ دوران
انتخابِ هوشمندانه محورِ دوران معادلات را سادهتر میکند:
- اگر نقطهٔ تکیهگاهی باشد، آنجا را محور انتخاب کنید (نیروی عادی گشتاور ندارد)
- اگر نقطهٔ اعمالِ نیروی ناشناخته باشد، آنجا را انتخاب کنید
بارِ توزیعشده
اگر بارِ توزیعشده (مثل وزنِ تیر) باشد:
- آن را نقطهٔوار در مرکزِ جرم فرض کنید
- سپس معادلات را طبیعی حل کنید
خطاهایِ رایج
- فراموشی اصطکاک: اگر بیان نکند سطح بدوناصطکاک است، اصطکاک را شامل کنید
- نادیدهانگاشتنِ جسم: اگر جسم سبک نیست، وزنش را شامل کنید
- علامتِ منفی: مراقب باشید: بهسمتِ بالا مثبت، پایین منفی؛ پادساعت مثبت
چه چیزی باید یاد گرفته باشی
- تعادلِ اجسام صلب: هم نیروها هم گشتاورها باید متوازن باشند
- جفت نیرو: دو نیروی مساوی و مخالف (غیرهمراستا) فقط گشتاور ایجاد میکنند
- اهرم و فائدهٔ مکانیکی: بارِ بیشتری را با نیروی کمتر بلند کنید
- استراتژی: FBD، انتخابِ محور، معادلات، حل
پیشنمایش §۱۲.۴
اکنون میدانیم چگونه اجسام در تعادل را تحلیل کنیم. لکن وقتی تعادل شکسته شود چه؟ جسم تغیرِ شکل میدهد. بیایید تنش (stress) و کرنش (strain) را تعریف کنیم.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 12, §12.3 — Rigid body equilibrium. 🔗 پیوند پیشین: §12.1 (شرایطِ تعادل)، §10.6 (گشتاور).
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.