۲.۸ — تمرین‌ها — ۲۰ مسئله برای تسلط

بیست مسئله بدون راه‌حل قدم‌به‌قدم، برای تست دستِ تنها. سناریوها اورجینال‌ان و سطح‌ها متغیر:

هر مسئله تگ می‌شه با بخش‌های §۲.x که ابزارش رو می‌ده. جواب‌های نهایی در انتها برای بررسی خودت.

⭐ مسئله ۱ (§۲.۱)

یه پیک موتوری بین دو ساختمون در فاصله‌ی ۸۰۰ متری رفت‌وبرگشت می‌کنه. در ۵ دقیقه ۳ بار این مسیر رو تمام می‌کنه (رفت + برگشت + رفت + برگشت + رفت + برگشت). محاسبه کن:

الف) مسافت کل
ب) جابه‌جایی کل (اگه از نقطه‌ی شروع شروع کنه و در نقطه‌ی شروع تموم کنه)
پ) تندی متوسط بر حسب m/s

⭐ مسئله ۲ (§۲.۲)

موقعیت یه ذره: x(t) = 2t² - 5t + 3 (متر، ثانیه).

الف) سرعت لحظه‌ای در t = 1 s و t = 3 s
ب) در چه لحظه‌ای ذره یک بار توقف می‌کنه؟
پ) شتاب ثابت ـه یا متغیر؟ چقدره؟

⭐ مسئله ۳ (§۲.۳)

سرعت یه ماشین بین t = 5 s و t = 15 s از 12 m/s به -8 m/s تغییر می‌کنه (علامت منفی یعنی رفت به عقب).

الف) شتاب متوسط
ب) در چه لحظه (تقریبی) ماشین برای لحظه‌ای متوقف شده؟ (فرض شتاب ثابت)
پ) در t = 5, 10, 15 s، سرعت داره افزایش پیدا می‌کنه یا کاهش؟

⭐⭐ مسئله ۴ (§۲.۴)

یه دوچرخه‌سوار در v_0 = 15 m/s شروع به شتاب دادن با a = 0.5 m/s² می‌کنه.

الف) سرعتش بعد از ۲۰ ثانیه چقدره؟
ب) در این ۲۰ ثانیه چقدر مسافت رفته؟
پ) اگه سرعت هدفش 25 m/s باشه، از شروع چه فاصله‌ای رفته وقتی به این سرعت می‌رسه؟

⭐⭐ مسئله ۵ (§۲.۴)

یه ماشین در v_0 = 30 m/s روی جاده حرکت می‌کنه. وقتی راننده مانع می‌بینه، ۰.۸ ثانیه زمان واکنش داره (بدون ترمز، سرعت ثابت)، بعد ترمز می‌گیره با a = -6 m/s².

الف) در دوره‌ی واکنش چقدر مسافت طی می‌کنه؟
ب) مسافت ترمز؟
پ) مسافت کل توقف؟

⭐⭐ مسئله ۶ (§۲.۵)

سنگی رو از پل به سمت پایین با سرعت اولیه v_0 = -3 m/s (منفی چون رو به پایین) پرتاب می‌کنی. سنگ در 2.5 s به آب می‌خوره.

الف) ارتفاع پل چقدره؟
ب) سرعت سنگ موقع برخورد؟
پ) اگه بجای پرتاب رها می‌کردی (v_0 = 0)، چه زمانی به آب می‌رسید؟

⭐⭐ مسئله ۷ (§۲.۵)

توپی رو از ارتفاع y_0 = 2 m با سرعت v_0 = 12 m/s مستقیم به بالا پرتاب می‌کنی.

الف) حداکثر ارتفاع
ب) کِی به همون ارتفاع اولیه (2 m) برمی‌گرده؟
پ) کِی به زمین می‌خوره؟
ت) سرعت موقع برخورد به زمین؟

⭐⭐ مسئله ۸ (§۲.۶)

نمودار v-t یه دوچرخه‌سوار:

الف) کل مسافت طی‌شده؟
ب) در [30, 45]s، شتاب چقدره؟
پ) نمودار x-t رو تقریباً بکش (نیازی به دقت زیاد نیست، فقط تشخیص خطی/سهمی).

⭐⭐ مسئله ۹ (§۲.۱ + §۲.۵)

توپ لاستیکی رو از ارتفاع 10 m روی زمین رها می‌کنی. توپ می‌جهه و به ارتفاع 6 m می‌رسه، دوباره می‌افته و به 3.6 m می‌رسه، و همین‌طور — هر بار 0.6 برابر ارتفاع قبل. فرض کن هر جهش لحظه‌ای ـه.

الف) تندی برخورد اول به زمین؟
ب) کل مسافت طی‌شده تا سکون کامل؟ (سری هندسی)
پ) کل زمان تا سکون کامل؟ (سری هندسی زمانی)

⭐⭐ مسئله ۱۰ (§۲.۴ + §۲.۵)

سنگی رو از پرتگاه با ارتفاع نامعلوم H به بالا با سرعت v_0 = 20 m/s پرتاب می‌کنی. سنگ در t = 6 s به زمین (پایین پرتگاه) می‌رسه.

الف) ارتفاع پرتگاه H؟
ب) حداکثر ارتفاع سنگ نسبت به بالای پرتگاه؟
پ) سرعت سنگ موقع برخورد به زمین؟

⭐⭐ مسئله ۱۱ (§۲.۴)

دو ماشین از یه نقطه هم‌زمان شروع می‌کنن، هر دو از سکون. ماشین A با شتاب ثابت a_A = 2 m/s². ماشین B با شتاب a_B = 3 m/s².

الف) بعد از ۱۰ ثانیه، فاصله‌ی بین دو ماشین؟
ب) در چه زمانی نسبت مسافت‌های طی‌شده x_B/x_A = 2 می‌شه؟

⭐⭐ مسئله ۱۲ (§۲.۳)

موقعیت یه ذره: x(t) = t³ - 6 t² + 9 t + 4 (متر، ثانیه).

الف) v(t) و a(t) رو مشتق بگیر
ب) لحظه‌های توقف رو پیدا کن
پ) در هر لحظه‌ی توقف، آیا ذره داره از جهت + به - می‌ره یا برعکس؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۳ (§۲.۵ + §۲.۶)

توپی رو در ارتفاع 10 m رها می‌کنی. فرض کن مقاومت هوا یه شتاب اضافی −0.5 v (متر بر ثانیه² با v بر حسب متر بر ثانیه) بهش وارد می‌کنه (که در جهت مخالف حرکت ـه):

\[ a = -g - 0.5 v \]

(علامت‌ها با محور رو به بالا مثبت.)

الف) سرعت پایانی (وقتی a = 0)؟
ب) با روش اویلر با Δt = 0.1 s، سرعت بعد از 1 s رو تقریباً محاسبه کن.
پ) بدون درگ، سرعت پس از 1 s چقدر می‌شد؟ فرق چقدر ـه؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۴ (§۲.۴ + §۲.۳)

قطاری از سکون با شتاب ثابت a = 1.2 m/s² شروع می‌کنه. بعد از رسیدن به سرعت 24 m/s، سرعت ثابت رو حفظ می‌کنه تا آخر مسیر ۵ کیلومتری، و بعد با -0.8 m/s² ترمز می‌گیره تا در ایستگاه ب می‌ایسه.

الف) زمان کل سفر
ب) مسافت طی‌شده در هر مرحله (شتاب، ثابت، ترمز)
پ) نمودار v-t رو تقریباً بکش

⭐⭐⭐ مسئله ۱۵ (§۲.۲ + §۲.۶)

سرعت یه ذره:

\[ v(t) = 3 t^2 - 12 t + 9\quad (\mathrm{m/s}) \]

با x(0) = 0.

الف) a(t) مشتق بگیر
ب) لحظه‌های تغییر جهت (سرعت صفر) رو پیدا کن
پ) موقعیت x(t) رو انتگرال بگیر
ت) مسافت طی‌شده در بازه‌ی [0, 3]s (نه جابه‌جایی — دقت به تغییر جهت)

⭐⭐⭐ مسئله ۱۶ (§۲.۴ + §۲.۵)

توپ الف رو از بالای ساختمان 50 m رها می‌کنی. بعد از ۰.۵ ثانیه، توپ ب رو با سرعت v_0 = ? مستقیم به پایین از همون‌جا پرتاب می‌کنی. هر دو هم‌زمان به زمین می‌رسن.

v_0 رو حساب کن.

⭐⭐⭐ مسئله ۱۷ (§۲.۶)

شتاب یه ذره:

\[ a(t) = 6 t - 2\quad (\mathrm{m/s^2}) \]

با شرایط اولیه v(0) = 4, x(0) = 1.

الف) v(t) رو با انتگرال به‌دست بیار
ب) x(t) رو با انتگرال به‌دست بیار
پ) در t = 5 s، موقعیت و سرعت چقدر ـه؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۸ (§۲.۵)

توپی رو از ارتفاع h رها می‌کنی و توپ دیگری رو دقیقاً هم‌زمان با سرعت v_0 رو به بالا از سطح زمین پرتاب می‌کنی، مستقیماً زیر توپ اول. اگه بخوایم دو توپ در نصف ارتفاع (y = h/2) به هم برسن، v_0 باید چقدر باشه (بر حسب h و g)؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۹ (§۲.۴)

راننده‌ای در v = 25 m/s روی جاده می‌ره و مانعی در فاصله‌ی 50 m می‌بینه. زمان واکنش راننده 0.8 s. حداقل شتاب ترمز |a| لازم برای این‌که ماشین دقیقاً قبل از مانع بایسه چقدره؟

⭐⭐⭐ مسئله ۲۰ (چالش کِپلر — §۲.۳)

فرض کن یه ماهواره در مدار دایره‌ای دور زمین ـه با فاصله‌ی r = 7000 km از مرکز زمین. سرعت مداری v = 7.5 km/s. شتاب مرکزگرا رو محاسبه کن (فرمول a = v²/r) و مقایسه کن با g_Earth روی سطح. آیا این با قانون 1/r² گرانش سازگاره؟

(راهنما: g_surface = 9.8 m/s² روی سطح در فاصله‌ی R_E = 6371 km. اگه ماهواره در r = 7000 km، شتاب گرانشی روش با g_surface × (R_E/r)² قابل پیش‌بینی ـه. مقایسه کن با v²/r.)

جواب‌های نهایی (برای بررسی)

۱) الف) 4800 m، ب) 0، پ) 16 m/s

۲) الف) v(1)=-1 m/s, v(3)=+7 m/s، ب) t=1.25 s، پ) ثابت a=4 m/s²

۳) الف) -2 m/s²، ب) t=11 s (تقریبی)، پ) در t=5 داره کاهش پیدا می‌کنه، در t=10 داره افزایش پیدا می‌کنه (به عقب)، در t=15 داره افزایش پیدا می‌کنه

۴) الف) 25 m/s، ب) 400 m، پ) 400 m

۵) الف) 24 m، ب) 75 m، پ) 99 m

۶) الف) 38.13 m، ب) -27.5 m/s، پ) 2.79 s

۷) الف) 9.35 m، ب) 2.45 s، پ) 2.60 s، ت) -13.5 m/s

۸) الف) 273.75 m، ب) -0.6 m/s²، پ) پارابولا (سهمی) → خط راست → پارابولای معکوس

۹) الف) 14 m/s، ب) 40 m، پ) 4.86 s (سری هندسی با √0.6 نسبت)

۱۰) الف) 56.4 m، ب) 20.4 m (از بالای پرتگاه)، پ) -38.8 m/s

۱۱) الف) 50 m، ب) هیچ‌گاه (نسبت مسافت‌ها ثابته: 3/2)

۱۲) الف) v = 3t² - 12t + 9، a = 6t - 12، ب) t=1, t=3، پ) در t=1 از + به -، در t=3 از - به +

۱۳) الف) 19.6 m/s، ب) v(1) ≈ -6.2 m/s (اویلر)، پ) بدون درگ: -9.8 m/s؛ اختلاف ~5٪

۱۴) الف) شتاب: 20 s (240 m)، ثابت: 208.33 s (5000 m)، ترمز: 30 s (360 m). کل زمان: 258.33 s

۱۵) الف) a=6t-12، ب) t=1, t=3، پ) x=t³-6t²+9t، ت) مسافت = 8 m (نه Δx=0)

۱۶) v₀ ≈ 9.35 m/s

۱۷) الف) v(t) = 3t² - 2t + 4، ب) x(t) = t³ - t² + 4t + 1، پ) v(5) = 69، x(5) = 121

۱۸) v₀ = √(gh)

۱۹) |a| ≈ 10.9 m/s² (فرض که بعد از واکنش، 30 m باقی مونده)

۲۰) a_centripetal = 8.04 m/s²؛ پیش‌بینی گرانشی = 9.8 × (6371/7000)² = 8.11 m/s². بله، تطابق ~۱٪ — قانون 1/r² تأیید می‌شه.

پیش‌نمایش §۲.۹

فصل ۲ داره تموم می‌شه. §۲.۹ منابع تکمیلی می‌ده (کتاب‌های موازی، ویدیو، آزمایش‌های آنلاین) که اگه چیزی گنگ مونده، از اون‌ها استفاده کنی.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 2 — Problems.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.