۲.۴ — شتاب ثابت و معادلات کینماتیک

مهم‌ترین حالت خاص در سینماتیک اینه که شتاب ثابت باشه (a = const). این حالت روی سه پدیده‌ی حیاتی حکم می‌کنه:

در همه‌ی این‌ها، a عدد ثابته و می‌شه معادلات ساده‌ای برای v(t) و x(t) مشتق کرد که در همه‌ی مسائل عملی استفاده می‌شن. این‌ها معادلات کینماتیک ـن — قلب فصل ۲.

مشتق از تعریف

📖 در این بخش از انتگرال معین استفاده می‌کنیم. اگه هنوز مسلط نیستی، به مقاله‌ی انتگرال معین برای فیزیک‌دان‌ها نگاه کن.

بذار قدم به قدم بشکنیم. با a = const، از a = dv/dt:

\[ \int_{v_0}^{v} dv' = \int_0^t a\, dt' = a t \]

\[ \boxed{v(t) = v_0 + a t \quad \text{(معادله ۱)}} \]

که v_0 = v(0) سرعت اولیه ـه. سرعت خطی در زمان تغییر می‌کنه.

از v = dx/dt:

\[ \int_{x_0}^{x} dx' = \int_0^t v(t')\, dt' = \int_0^t (v_0 + at')\, dt' = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

\[ \boxed{x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \quad \text{(معادله ۲)}} \]

موقعیت درجه‌ی دو در زمان. روی نمودار x-t، این یه سهمی ـه.

معادلات مشتق‌شده — بدون t

گاهی وقت‌ها زمان توی صورت مسئله نیست ("ماشین در فاصله‌ی ۱۰۰ متر می‌ایسته — سرعت اولیه چقدر بود؟"). با حذف t از معادلات ۱ و ۲:

از معادله ۱: t = (v - v_0)/a. جای‌گذاری در ۲ و ساده‌سازی:

\[ \boxed{v^2 = v_0^2 + 2 a (x - x_0) \quad \text{(معادله ۳)}} \]

سرعت به‌عنوان تابعی از موقعیت، مستقل از زمان. خیلی کاربردی.

معادله‌ی چهارم — بدون a

گاهی وقت‌ها شتاب مجهوله. اگه سرعت اولیه، سرعت نهایی، و زمان معلوم باشه:

\[ \boxed{x - x_0 = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t \quad \text{(معادله ۴)}} \]

که (v_0 + v)/2 سرعت متوسط توی حرکت با شتاب ثابته (چون سرعت خطی تغییر می‌کنه، متوسطش وسطه).

چهار معادله — جدول کاربردی

# معادله نداره
۱ v = v_0 + a t x
۲ x - x_0 = v_0 t + ½ a t² v
۳ v² = v_0² + 2a(x - x_0) t
۴ x - x_0 = ½(v_0 + v) t a

استراتژی حل مسئله:

  1. کمیت‌های معلوم رو لیست کن: از بین x_0, v_0, v, a, t معمولاً ۳ تا معلومه
  2. کمیت مطلوب رو مشخص کن
  3. معادله‌ای که کمیت گم‌شده رو نداره انتخاب کن — یعنی یه معادله با ۴ متغیر (۳ معلوم + ۱ مطلوب)
  4. حل کن

مثال کامل — ماشین در ترمز اضطراری

سناریو: یه ماشین با سرعت 72 km/h = 20 m/s روی جاده حرکت می‌کنه. راننده ترمز اضطراری می‌گیره و ماشین با شتاب ثابت a = -5 m/s² (ترمز محدود می‌گه چون منفی ـه) کاهش سرعت پیدا می‌کنه.

سؤال ۱: چقدر طول می‌کشه تا بایسته؟

معلوم: v_0 = 20, v = 0, a = -5. مطلوب: t. گم‌شده: x. → معادله ۱.

\[ 0 = 20 + (-5) t \Rightarrow t = 4\ \mathrm{s} \]

سؤال ۲: مسافت توقف چقدر ـه؟

معلوم: v_0 = 20, v = 0, a = -5. مطلوب: x - x_0. گم‌شده: t. → معادله ۳.

\[ 0 = 20^2 + 2 \cdot (-5) \cdot (x - x_0) \Rightarrow x - x_0 = \frac{400}{10} = 40\ \mathrm{m} \]

بررسی مضاعف با معادله ۲: با t = 4:

\[ x - x_0 = 20 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot (-5) \cdot 16 = 80 - 40 = 40\ \mathrm{m}\ ✓ \]

سؤال ۳: در t = 2 s، سرعت و موقعیت چیه؟

از معادله ۱: v = 20 - 5 \cdot 2 = 10 m/s. از معادله ۲: x - x_0 = 20 \cdot 2 - ½ \cdot 5 \cdot 4 = 40 - 10 = 30 m.

پس در t = 2، نصف مسیر توقف رو رفته، ولی هنوز نصف سرعت اولیه رو داره.

چرا مسافت توقف با مربع سرعت متناسبه؟

از معادله ۳ با v = 0:

\[ x_\text{stop} = \frac{v_0^2}{2|a|} \]

نکته‌ی مهم: مسافت توقف با مربع سرعت اولیه متناسبه، نه با خود سرعت. یعنی:

از دید ایمنی رانندگی: اگه در 50 km/h بتونی در ۱۰ متر بایسی، در 100 km/h (فقط دو برابر) توی ۴۰ متر (چهار برابر) می‌ایسی. این چیزی نیست که رانندگان بی‌تجربه شهود درست ازش داشته باشن.

کِی معادلات کینماتیک درست نیستن؟

تنها وقتی a = const. لیست حالت‌های رایج که نقض می‌شه:

در این‌ها، باید به تعریف اصلی برگردی: a(t) = dv/dt، v(t) = dx/dt، و انتگرال دقیق بگیری. §۲.۶ این حالت رو می‌بینیم.

چند نکته و اشتباه رایج

۱. علامت a رو با ثبات نگه‌دار. اگه محور مثبت به سمت راست باشه و ترمز داری، a < 0. سعی نکن هم زمان علامت رو "منطقی" کنی — بذار علامت‌ها کار خودشون رو بکنن.

۲. اگه a = 0، معادلات هنوز درست‌ان (شتاب ثابت صفر). v = v_0 ثابت، x = x_0 + v_0 t خطی. حالت خاص «حرکت یکنواخت».

۳. زمان می‌تونه منفی باشه؟ در فرمول‌ها، t معمولاً t ≥ 0 گرفته می‌شه (شروع از لحظه‌ی صفر). ولی اگه بخوای برگردی به قبل از t = 0، t < 0 هم می‌گیره — تا وقتی a واقعاً ثابت بوده در بازه‌ی گسترده.

۴. معادله ۳ می‌تونه دو جواب بده. v² = v_0² + 2a Δx جواب v می‌ده به‌شکل v = ±√(...). علامت رو از فیزیک مسئله بگیر — کدوم جهت داره حرکت می‌کنه؟

۵. مسافت (distance) ≠ جابه‌جایی (Δx) در حالت رفت‌وبرگشت. اگه جسم قبل از توقف تغییر جهت بده (مثل پرتاب به بالا و برگشت)، معادلات Δx می‌ده — نه کل مسیر. برای مسافت باید بازه‌ها رو جدا حساب کنی.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۲.۵

مهم‌ترین مثال شتاب ثابت در فیزیک: سقوط آزاد. هر جسمی نزدیک سطح زمین که فقط تحت گرانش باشه (بدون مقاومت هوا)، شتابش برابر g ≈ 9.8 m/s² به سمت پایین ـه — مستقل از جرم، شکل، جنس. همه با یه شتاب یکسان می‌افتن. این نتیجه‌ی گالیله بود که در پیوست ۱ گرانش دیدیم، و از §۲.۴ به عمل درمی‌آد.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 2, §2.4 — Constant Acceleration. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 3.4: Motion with Constant Acceleration.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.