فصل ۱۰ — فلش‌کارت‌ها

فلش‌کارت‌ها — فصل ۱۰ 🃏

حرکت دورانی و دینامیکِ زاویه‌ای — دنیایِ موازیِ دوران! متغیرهای زاویه‌ای، گشتاورِ لختی، گشتاور، و انرژی دورانی رو تسلط کن. ⚙️

🎮 نحوهٔ کار

📋 دسته کارت‌ها: شرایط و فرمول‌های کلیدی

بخش §۱۰.۱ — سینماتیکِ دورانی

  1. موضعِ زاویه‌ای (θ) — زاویه‌ای که بردارِ شعاع جارو می‌کنه؛ بر اساسِ رادیان اندازه‌گیری‌شده؛ \( \theta = s/r \) جایی که \( s \) طولِ کمان‌ه
  2. رادیان — یکایِ بی‌بعد؛ \( 2\pi \) رادیان = \( 360° \)؛ یک رادیان ≈ ۵۷.۳°
  3. سرعتِ زاویه‌ای (ω) — سرعتِ تغییرِ زاویه؛ \( \omega = d\theta/dt \) (rad/s)
  4. شتابِ زاویه‌ای (α) — سرعتِ تغییرِ سرعتِ زاویه‌ای؛ \( \alpha = d\omega/dt \) (rad/s²)
  5. معادلاتِ سینماتیکی دورانی — آنالوگهایِ سینماتیکِ خطی: \( \omega = \omega_0 + \alpha t \)، \( \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 \)، \( \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta \)

بخش §۱۰.۲ — مرتبط‌کردن حرکتِ خطی و دورانی

  1. رابطهٔ طولِ کمان — \( s = r\theta \) (طولِ کمان = شعاع × زاویه بر حسبِ رادیان)
  2. سرعتِ مماسی — \( v = r\omega \) (سرعتِ خطی در شعاعِ \( r \) از محور)
  3. شتابِ مماسی — \( a_t = r\alpha \) (شتابِ خطی در جهتِ حرکت)
  4. شتابِ مرکزگرا — \( a_c = r\omega^2 = v^2/r \) (شتاب سوی محور)
  5. شتابِ کلِّ در حرکتِ دایره‌ای — \( a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} \) (جمع برداریِ مماسی و مرکزگرا)

بخش §۱۰.۳ — گشتاورِ لختی

  1. گشتاورِ لختی (تعریف) — \( I = \sum m_i r_i^2 \) یا \( I = \int r^2 \, dm \)؛ اندازهٔ لختی دورانی
  2. یکایِ گشتاورِ لختی — kg·m² (متفاوت از جرم!)
  3. دیسک/استوانهٔ توپُر — \( I = \frac{1}{2}MR^2 \) (محور از مرکز، عمودبرِ صورت)
  4. میلهٔ نازک (محور از مرکز) — \( I = \frac{1}{12}ML^2 \) (طولِ \( L \)، محور عمودبرِ میله)
  5. میلهٔ نازک (محور از سر) — \( I = \frac{1}{3}ML^2 \) (طولِ \( L \)، محور در یک سر)
  6. کرهٔ توپُر — \( I = \frac{2}{5}MR^2 \) (محور از مرکز)
  7. پوستِ کروی نازک — \( I = \frac{2}{3}MR^2 \) (محور از مرکز)
  8. حلقه/فنر نازک — \( I = MR^2 \) (تمام جرم در شعاعِ \( R \))
  9. قضیهٔ محورِ موازی — \( I = I_{\text{CM}} + Md^2 \) جایی که \( d \) فاصلهٔ محورِ CM از محورِ جدید‌ه
  10. چرا گشتاورِ لختی به محور بستگی‌دارد — میله‌ای که حولِ سرش می‌چرخه، \( I \) بزرگ‌تری دارد از حولِ مرکزش (جرم دورتر از محور)

بخش §۱۰.۴ — گشتاور

  1. گشتاور (تعریف) — \( \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \) (حاصل‌ضربِ خارجی بردارهایِ موضع و نیرو)
  2. بزرگیِ گشتاور — \( \tau = rF\sin\phi \) جایی که \( \phi \) زاویهٔ میان \( \vec{r} \) و \( \vec{F} \)‌ه
  3. بازوی گشتاور — فاصلهٔ عمودی از محور تا خطِ نیرو؛ \( d_{\perp} = r\sin\phi \)
  4. فرمولِ جایگزینِ گشتاور — \( \tau = F \cdot d_{\perp} \) (نیرو ضرب‌در بازو)
  5. یکایِ گشتاور — N·m (نیوتون·متر)، ابعادِ یکسانی با انرژی اما معنیِ متفاوت
  6. گشتاورِ مثبت در برابرِ منفی — مثبت (پادِساعتی) یا منفی (ساعتی)؛ قاعدهٔ دستِ راست
  7. گشتاورِ خالص — \( \tau_{\text{net}} = \sum \tau_i \) (جمع برداریِ تمامِ گشتاورها حولِ محور)
  8. گشتاور از وزن — برای جسمی با جرمِ \( M \) در فاصلهٔ \( d \) از محور: \( \tau = Mgd \) (اگر بازو عمودبرِ گرانش باشه)

بخش §۱۰.۵ — انرژی دورانی و قانونِ دوم نیوتون

  1. انرژی جنبشیِ دورانی — \( KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2}I\omega^2 \) (آنالوگِ \( \frac{1}{2}mv^2 \))
  2. انرژی جنبشیِ کلِّ (غلتش) — \( KE_{\text{total}} = \frac{1}{2}Mv_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \) (انتقال + دوران)
  3. کارِ انجام‌شده توسط گشتاور — \( W = \tau \cdot \theta \) (اگر گشتاور ثابت باشه)
  4. توان در دوران — \( P = \tau \cdot \omega \) (سرعتِ انتقالِ انرژی توسط گشتاور)
  5. قانونِ دوم نیوتون (دوران) — \( \sum \tau = I\alpha \) (گشتاورِ خالص = گشتاورِ لختی × شتابِ زاویه‌ای)
  6. قیاسِ خطی در برابرِ دورانی — \( F = ma \) ↔ \( \tau = I\alpha \)؛ \( m \) ↔ \( I \)؛ \( a \) ↔ \( \alpha \)

بخش §۱۰.۶ — غلتشِ بدونِ لغزش

  1. شرطِ بدونِ لغزش — \( v_{\text{CM}} = r\omega \) (سرعتِ مرکزِ جرم = شعاع × سرعتِ زاویه‌ای)
  2. انرژی جنبشیِ جسمِ غلتنده — \( KE = \frac{1}{2}Mv_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \)؛ تقسیم میان انتقال و دوران
  3. برای دیسکِ غلتان — \( KE_{\text{rot}}/KE_{\text{total}} = 1/3 \) (یک‌سومِ دورانی، دو‌سومِ انتقالی برای دیسک)
  4. برای کرهٔ غلتان — \( KE_{\text{rot}}/KE_{\text{total}} = 2/7 \) (کرهٔ غلتان کسرِ انتقالیِ بزرگ‌تر دارد)
  5. پایستگیِ انرژی روی میل — \( Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \) (بدونِ تلفِ اصطکاک)

بخش §۱۰.۷ — تعادلِ ایستا و کاربردها

  1. شرطِ تعادلِ ایستا (انتقالی) — \( \sum \vec{F} = 0 \) (بدونِ نیروی خالص)
  2. شرطِ تعادلِ ایستا (دورانی) — \( \sum \vec{\tau} = 0 \) (بدونِ گشتاورِ خالص حولِ محور)
  3. اصلِ اهرم — برای اهرمی با تکیه‌گاه، بار و تلاش در فاصله‌های متفاوت: \( F_1 r_1 = F_2 r_2 \) (گشتاورها متوازن)
  4. مزیتِ مکانیکی — نیروی بار / نیروی تلاش = \( r_{\text{effort}} / r_{\text{load}} \) (اهرمِ ایده‌آلِ مزیتِ بزرگ‌تر از ۱ دارد)

بخش §۱۰.۸ — تکانهٔ زاویه‌ای (مقدّمه)

  1. تکانهٔ زاویه‌ای (برای محورِ ثابت) — \( L = I\omega \) (kg·m²/s)
  2. رابطهٔ گشتاور و تکانهٔ زاویه‌ای — \( \sum \tau = dL/dt \) (گشتاور سرعتِ تغییرِ تکانهٔ زاویه‌ای‌ه)
  3. پایستگیِ تکانهٔ زاویه‌ای — اگر گشتاورِ خارجیِ خالص صفر باشه، \( L_{\text{total}} \) ثابت‌ه (مثلاً اسکیت‌بازی که بازوهاش رو تو می‌کشه سریع‌تر می‌چرخه)
  4. نمونهٔ اسکیت‌بازی — تو‌کشیدنِ بازوها \( I \) رو کاهش می‌ده، پس \( \omega \) باید افزایش پیدا کنه تا \( L = I\omega \) پایسته شه
  5. اثرِ ژیروسکوپ — جسمِ می‌چرخنده در برابرِ تغییرِ جهتِ بردارِ تکانهٔ زاویه‌ایِ خودش مقاومت می‌کنه؛ آهسته‌ای تحتِ گرانش می‌چرخه

📊 موضوعاتِ پوشش‌داده‌شده

چه اتفاقی می‌افتد بعد:

👉 §۱۰.۱–§۱۰.۳ — مسائل حل‌شده (نمونه‌های مرحله‌به‌مرحله)
👉 §۱۰.۴ — مسائل تمرینی (تمرین‌ها)
👉 §۱۰.۵ — پرسش و پاسخ (پاسخ‌های ناشی از غلط‌فهمی‌های رایج)

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.