تاکنون ما حرکت خطی اجسام را مطالعه کردیم. اما بسیاری از اجسام میچرخند. چرخ ماشین، توپ فوتبال، سیارهها، و حتی الکترونها درونی حرکت چرخشی دارند. تکانهی زاویهای (angular momentum) نسخهی چرخشی تکانه خطی است و اصول بقای آن مثل بقای تکانه خطی قدرتمند است.
تعریف تکانهی زاویهای
برای یک ذره در موقعیت \( \mathbf{r} \) با تکانه خطی \( \mathbf{p} \)، تکانهی زاویهای حول یک نقطه (مثلاً مبدأ) بهصورت:
\[ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \]
یا:
\[ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} \]
این حاصلضرب برداری است که دارای اندازه و جهت است.
اندازه:
\[ L = r p \sin\theta = mrv\sin\theta \]
جاییکه \( \theta \) زاویهی بین \( \mathbf{r} \) و \( \mathbf{v} \) است.
یکا: کیلوگرممترمربعبرثانیه (kg·m²/s).
اندازهی خطی ⟷ چرخشی
تشابههای فوقالعاده بین حرکت خطی و چرخشی:
| خطی | چرخشی |
|---|---|
| موقعیت \( x \) | زاویه \( \theta \) |
| سرعت \( v \) | سرعت زاویهای \( \omega \) |
| تکانه \( p = mv \) | تکانه زاویهای \( L = I\omega \) |
| نیرو \( F \) | گشتاور \( \tau \) |
| \( F = \frac{dp}{dt} \) | \( \tau = \frac{dL}{dt} \) |
| بقای تکانه | بقای تکانه زاویهای |
گشتاور و تکانهی زاویهای
گشتاور (torque) نسخهی چرخشی نیرو است:
\[ \boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \]
اندازه:
\[ \tau = rF\sin\phi \]
جاییکه \( \phi \) زاویهی بین بازوی گشتاور \( \mathbf{r} \) و نیرو \( \mathbf{F} \) است.
اهمیت بازوی گشتاور: هر چه بازوی گشتاور بزرگتر، تأثیر چرخشی بیشتر!
ارتباط با تکانهی زاویهای:
\[ \boldsymbol{\tau} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} \]
این قانون دوم نیوتون برای دوران است: گشتاور = تغییر تکانه زاویهای.
مثال ۱: دانهسنگ در طناب
دانهای سنگ (جسم نقطهای) به طناب بستهشده و دور یک دایره میچرخد:
- جرم: \( m = 0.1 \) kg
- شعاع دایره: \( r = 2 \) m
- سرعت خطی: \( v = 3 \) m/s
سؤال: تکانهی زاویهای حول مرکز چقدر است؟
حل:
سرعت و موقعیت عمود هستند (\( \sin\theta = 1 \)):
\[ L = mrv = 0.1 \times 2 \times 3 = 0.6 \text{ kg·m}^2\text{/s} \]
مثال ۲: درب و پیچ
درب ایستاده متصل به پیچها (محور دوران) در یک سمت است.
نیرویی را فشار میدهید عمود بر درب در فاصله \( r = 1 \) m از پیچ.
- نیرو: \( F = 50 \) N
نیروی یکسان را در فاصله \( r = 0.1 \) m از پیچ فشار میدهید. درب چگونه پاسخ میدهد؟
حل:
حالت ۱ (دست در انتهای درب): \[ \tau_1 = rF = 1 \times 50 = 50 \text{ N·m} \]
حالت ۲ (دست نزدیک پیچ): \[ \tau_2 = 0.1 \times 50 = 5 \text{ N·m} \]
در حالت اول، گشتاور ۱۰ برابر بزرگتر است! به همین دلیل، درها در انتهای خود دستگیرههای بزرگ دارند.
بقای تکانهی زاویهای
اگر گشتاور خارجی صفر باشد (\( \boldsymbol{\tau}_{\text{ext}} = 0 \))، آنگاه:
\[ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = 0 \implies \mathbf{L} = \text{constant} \]
تکانهی زاویهای حفظ میشود.
مثال ۳: بازیکن فیگور
فیگوری روی یخ میچرخد:
- بازوهای درازکشیده: تکانه زاویهای \( L_1 = I_1 \omega_1 \)
- بازوهای تا شده: تکانه زاویهای \( L_2 = I_2 \omega_2 \)
هیچ گشتاور خارجی (یخ بدون اصطکاک)، بنابراین \( L \) ثابت:
\[ I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \]
وقتی بازو را تا میکنید:
- ممان اینرسی کاهش مییابد: \( I_2 < I_1 \)
- سرعت زاویهای افزایش مییابد: \( \omega_2 > \omega_1 \)
مثال عددی: اگر \( I_2 = 0.5 I_1 \)، آنگاه \( \omega_2 = 2 \omega_1 \) — ۲ برابر سریعتر میچرخد!
مثال ۴: ستارهی نوترونی
هنگام فروپاشی ستاره:
- شعاع کاهش مییابد: \( R_i = 7 \times 10^8 \) m → \( R_f = 20 \) km = \( 2 \times 10^4 \) m
- سرعت زاویهای اولیه: \( \omega_i = 1 \) دور برثانیه
سؤال: سرعت زاویهای نهایی؟
حل:
فرض کنید جرم و شکل کروی حفظ میشود. ممان اینرسی کره:
\[ I = \frac{2}{5}MR^2 \]
از بقای \( L \):
\[ I_i \omega_i = I_f \omega_f \]
\[ \frac{2}{5}M R_i^2 \omega_i = \frac{2}{5}M R_f^2 \omega_f \]
\[ R_i^2 \omega_i = R_f^2 \omega_f \]
\[ \omega_f = \omega_i \left(\frac{R_i}{R_f}\right)^2 = 1 \times \left(\frac{7 \times 10^8}{2 \times 10^4}\right)^2 \]
\[ \omega_f = (3.5 \times 10^4)^2 \approx 1.2 \times 10^9 \text{ rev/s} \]
۱.۲ میلیارد دور بر ثانیه! ستاره نوترونیها بسیار سریع میچرخند.
گشتاور در زندگی روزمره
۱. درها و چاقو: بازوی گشتاور طولانی = چرخش آسان.
۲. دوچرخه: وقتی دوچرخه سریع برود، گشتاور کمی تغییر میدهد، اما حرکت چرخش تکانه زاویهای را ثابت نگه میدارد.
۳. سندروم عدم تعادل: وقتی بدن درون هوا است (پرش/ورزش)، عدم وجود گشتاور خارجی زیادی به ما اجازه میدهد که نسبتاً آرام حرکت کنیم.
۴. ستارههای دوتایی: دو ستاره در مدار یکدیگر میگردند، اما تکانه زاویهی کل حفظ میشود.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- تکانهی زاویهای: \( \mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} \)
- گشتاور: \( \boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \)
- قانون دوم برای دوران: \( \boldsymbol{\tau} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} \)
- اگر \( \boldsymbol{\tau}_{\text{ext}} = 0 \)، تکانه زاویهای حفظ میشود
- تشابههای خطی و چرخشی
پیشنمایش §۹.۶
تاکنون تکانهی زاویهای یک ذره را دیدیم. اما اگر اجسام صلب درمیانها باشند؟ برای یک چرخ یا استوانه، ما باید تکانهی زاویهای تمام ذرات را جمع کنیم — این ممان اینرسی میشود.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 9, §9.5.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.