۲.۵ — سقوط آزاد

مهم‌ترین کاربرد شتاب ثابت (§۲.۴) در طبیعت: سقوط آزاد. هر جسمی نزدیک سطح زمین که فقط تحت گرانش باشه (بدون مقاومت هوا)، شتابی برابر g ≈ 9.8 m/s² به سمت پایین داره — و این عدد مستقل از جرم، شکل، اندازه، یا جنس جسم ـه.

این نتیجه‌ی گالیله بود (~۱۶۰۰، روش اندازه‌گیری رو ببین)، و بعد نیوتون نشون داد چرا: در F = mg و F = ma، جرم کنسل می‌شه و a = g می‌مونه — مستقل از m. (پیوست ۱ گرانش رو ببین.)

قرارداد علامت

سقوط آزاد یک‌بعدی ـه (عمودی). محور y انتخاب می‌کنیم:

هر دو درست‌ان — فقط ثابت باش. در این بخش قرارداد A رو استفاده می‌کنیم (رو به بالا مثبت). پس در معادلات کینماتیک، a = -g.

معادلات کینماتیک برای سقوط آزاد

با a = -g جای‌گذاری در چهار معادله (§۲.۴)، معادلات سقوط آزاد:

\[ v(t) = v_0 - g t \]

\[ y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]

\[ v^2 = v_0^2 - 2 g (y - y_0) \]

\[ y - y_0 = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t \]

که v_0 سرعت اولیه‌ی عمودی ـه (مثبت اگه بالا، منفی اگه پایین) و y_0 ارتفاع اولیه.

مثال ۱ — رها کردن یه سنگ

سناریو: یه سنگ رو از ارتفاع y_0 = 20 m بالای سطح زمین رها می‌کنی (بدون سرعت اولیه). چه زمانی به زمین می‌رسه؟ سرعتش موقع برخورد چقدره؟

معلوم: y_0 = 20, v_0 = 0, y = 0 (زمین). مطلوب: t, v.

از معادله ۲:

\[ 0 = 20 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2 \]

\[ t^2 = \frac{40}{9.8} \approx 4.08 \Rightarrow t \approx 2.02\ \mathrm{s} \]

از معادله ۱:

\[ v = 0 - 9.8 \cdot 2.02 \approx -19.8\ \mathrm{m/s} \]

علامت منفی یعنی رو به پایین — همون‌طور که انتظار می‌ره. تندی برخورد |v| ≈ 19.8 m/s ≈ 71 km/h.

بررسی سریع با معادله ۳:

\[ v^2 = 0 - 2 \cdot 9.8 \cdot (0 - 20) = 392 \Rightarrow |v| = \sqrt{392} \approx 19.8\ ✓ \]

مثال ۲ — پرتاب به بالا

سناریو: یه توپ رو با سرعت اولیه v_0 = 15 m/s مستقیم به بالا پرتاب می‌کنی. حداکثر ارتفاعش چقدر می‌شه؟ کِی به دستت برمی‌گرده؟

حداکثر ارتفاع — در نقطه‌ی اوج، v = 0 (لحظه‌ای می‌ایسته). از معادله ۳:

\[ 0 = 15^2 - 2 \cdot 9.8 \cdot (y_\text{max} - y_0) \Rightarrow y_\text{max} - y_0 = \frac{225}{19.6} \approx 11.5\ \mathrm{m} \]

زمان اوج — از معادله ۱ با v = 0:

\[ 0 = 15 - 9.8 t_\text{up} \Rightarrow t_\text{up} \approx 1.53\ \mathrm{s} \]

زمان برگشت به دست — دو راه:

راه ۱: حرکت متقارنه. زمان کل رفت‌وبرگشت = ۲ × زمان رفت = 2 \cdot 1.53 = 3.06 s.

راه ۲: از معادله ۲ با y = y_0:

\[ 0 = 15 t - \frac{1}{2} \cdot 9.8 t^2 = t (15 - 4.9 t) \]

جواب‌ها: t = 0 (پرتاب) یا t = 15/4.9 ≈ 3.06 s (بازگشت). ✓

نکته: توپ در t_up + t_down = 3.06 s به همون ارتفاع اولیه با همون تندی برمی‌گرده — ولی علامت سرعت عوض شده: از +15 به -15. این تقارن ذاتی سقوط آزاد ـه.

چرا همه با یه شتاب سقوط می‌کنن؟

از قانون دوم نیوتون:

\[ F = m a \]

نیروی گرانش روی جسم به جرم m:

\[ F = m g \]

پس:

\[ m a = m g \Rightarrow a = g \]

جرم کنسل می‌شه. یه پر و یه چکش (اگه مقاومت هوا حذف بشه) هم‌زمان می‌افتن. این آزمایش معروف رو دیوید اسکات، فضانورد آپولو ۱۵، روی ماه انجام داد (چون ماه هوا نداره) — پر و چکش دقیقاً هم‌زمان به سطح خوردن.

این نتیجه یه پی‌آمد عمیق‌تر داره: جرم گرانشی برابر جرم اینرسی ـه — چیزی که نه از فیزیک نیوتون بلکه از فیزیک نسبیت عام قابل تبیین ـه (اصل هم‌ارزی اینشتین).

مقاومت هوا — کجا از فیزیک ایده‌ال دور می‌شیم؟

سقوط آزاد ایده‌الِ که مقاومت هوا نداریم. در دنیای واقعی:

قاعده‌ی سرانگشتی: برای ارتفاع کمتر از ~۵۰ متر و اجسام چگال، مقاومت هوا خطای کمتر از چند درصد داره. برای اجسام سبک یا ارتفاع بیشتر، باید مدل درگ (F_drag ∝ v² یا v) رو اضافه کرد — که دیگه شتاب ثابت نیست.

چند نکته و اشتباه رایج

۱. g عدد ثابت نیست — یه مقدار محلی ـه. g ≈ 9.8 m/s² تقریب سطحی ـه. در قله‌ی اورست ~۹.۷۸، در ISS ~۸.۷، روی ماه ~۱.۶۲. (پیوست ۳ گرانش رو ببین.) در همه‌ی مسائل معمول، 9.8 یا 10 استفاده می‌کنیم — بدون تصور این‌که «قانون» ـه.

۲. جسم در نقطه‌ی اوج «شتاب نداره»؟ غلط. در اوج، سرعت صفر ـه ولی شتاب همچنان -g ـه. برای همین توپ لحظه‌ی بعد به سمت پایین شروع به حرکت می‌کنه. اگه شتاب هم صفر بود، توپ همون‌جا در هوا معلق می‌موند.

۳. سرعت اولیه بالای صفر لازم نیست بالا باشه. اگه به بالا پرتاب کنی، v_0 > 0. اگه به پایین پرتاب کنی، v_0 < 0. اگه فقط رها کنی، v_0 = 0. علامت رو از حرکت اولیه بگیر.

۴. تقارن رفت‌وبرگشت. اگه از یه ارتفاع پرتاب کنی و به همون ارتفاع برگرده، تندی برخورد = تندی پرتاب (فقط علامت عوض). اگه به ارتفاع پایین‌تر یا بالاتری برسه، از معادله ۳ استفاده کن، تندی نهایی رو محاسبه کن.

۵. سقوط آزاد از ارتفاع خیلی زیاد، ایده‌ال نیست. از ارتفاع ۱۰۰ کیلومتر (مثل کپسول Redbull)، g هنوز ~۹.۵ ولی مقاومت هوا مسلط ـه. سقوط از فضا با «سرعت آزاد» تصور غلطیه — همیشه سرعت پایانی وجود داره تا وقتی جو باشه.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۲.۶

تا اینجا فقط با شتاب ثابت کار کردیم. ولی اگه شتاب متغیر باشه (مقاومت هوا، فنر، موتور با توان متغیر)، معادلات کینماتیک §۲.۴ کار نمی‌کنن. باید به تعریف اصلی برگردیم و از تحلیل گرافیکی + انتگرال استفاده کنیم. §۲.۶ روی این موضوع کار می‌کنه:

که معکوس مشتق‌ها هستن. این‌ها روش قدرتمندی می‌دن که برای هر a(t) — نه فقط ثابت — کار می‌کنه.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 2, §2.5 — Free-Fall Acceleration. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 3.5: Free Fall. 📖 آزمایش هم‌زمانی پر و چکش روی ماه: NASA Apollo 15 Feather and Hammer.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.