بقای تکانه یکی از اساسیترین قوانین فیزیک است و مستقیماً از قانون دوم نیوتون برای مرکز جرم (§۹.۲) نتیجه میگیرد. این بخش بیان میکند که در سیستمهای ایزولهشده (بدون نیروی خارجی)، تکانه کل هرگز تغییر نمیکند و چگونه این اصل برای حل مسائل پیچیده استفاده میشود.
بیان ریاضی
از قانون دوم نیوتون برای مرکز جرم (§۹.۲):
\[ \mathbf{F}_{\text{ext}} = \frac{d\mathbf{P}}{dt} \]
اگر سیستم ایزولهشده باشد یا نیروهای خارجی صفر باشند:
\[ \mathbf{F}_{\text{ext}} = 0 \implies \frac{d\mathbf{P}}{dt} = 0 \]
بنابراین:
\[ \mathbf{P} = \text{constant} \]
یا برای دو حالت ابتدایی و نهایی:
\[ \mathbf{P}_i = \mathbf{P}_f \]
\[ \sum_{i} m_i \mathbf{v}_{i,\text{initial}} = \sum_{i} m_i \mathbf{v}_{i,\text{final}} \]
یا برای سیستم دو ذره:
\[ m_1 \mathbf{v}_{1,i} + m_2 \mathbf{v}_{2,i} = m_1 \mathbf{v}_{1,f} + m_2 \mathbf{v}_{2,f} \]
شرایط برای بقای تکانه
۱. سیستم ایزولهشده: هیچ نیروی خارجی نباید روی سیستم وارد شود (یا نیروهای خارجی در جهتهای مختلف متعادل شوند).
۲. نیروهای درونی تنها: تنها نیروهایی که عمل میکنند نیروهای درونیاند (بین اجزای سیستم). این نیروها باعث تغییر توزیع تکانه بین ذرات میشوند، اما تکانه کل را تغییر نمیدهند.
۳. زمان کافی: سیستم باید قبل و بعد از اتفاقی (مثل برخورد) بهصورت ایزولهشده باشد. در حین برخورد نیروهای درونی بسیار بزرگ هستند اما بیرونی نیستند.
مثال ۱: دو واگن بر روی ریل بدون اصطکاک
دو واگن بر روی ریل افقی بدون اصطکاک:
- واگن A: جرم \( m_A = 4 \) kg، سرعت اولیه \( v_{A,i} = 3 \) m/s
- واگن B: جرم \( m_B = 6 \) kg، سرعت اولیه \( v_{B,i} = 0 \) m/s
آنها با هم برخورد میکنند و بعد از برخورد، واگن A با سرعت \( v_{A,f} = 0.6 \) m/s میرود.
سؤال: سرعت نهایی واگن B چقدر است؟
حل:
تکانه ابتدایی: \[ \mathbf{P}_i = 4(3) + 6(0) = 12 \text{ kg·m/s} \]
تکانه نهایی: \[ \mathbf{P}_f = 4(0.6) + 6 v_{B,f} = 2.4 + 6 v_{B,f} \]
از بقای تکانه: \[ \mathbf{P}_i = \mathbf{P}_f \]
\[ 12 = 2.4 + 6 v_{B,f} \]
\[ v_{B,f} = \frac{12 - 2.4}{6} = \frac{9.6}{6} = 1.6 \text{ m/s} \]
واگن B پس از برخورد با سرعت ۱.۶ m/s حرکت میکند.
مثال ۲: تفنگ و گلوله
تفنگی روی میز بدون اصطکاک:
- تفنگ: جرم \( M = 2 \) kg
- گلوله: جرم \( m = 0.02 \) kg
تفنگ را شلیک میکنند. سرعت گلوله نسبت بهزمین \( v_{\text{bullet}} = 200 \) m/s است.
سؤال: سرعت پسزدگی تفنگ چقدر است؟
حل:
ابتدا، همه چیز ساکن است: \[ \mathbf{P}_i = 0 \]
بعد از شلیک: \[ \mathbf{P}_f = M v_{\text{rifle}} + m v_{\text{bullet}} \]
از بقای تکانه: \[ 0 = 2 \cdot v_{\text{rifle}} + 0.02 \cdot 200 \]
\[ 2 v_{\text{rifle}} = -4 \]
\[ v_{\text{rifle}} = -2 \text{ m/s} \]
تفنگ بهعقب (جهت منفی) با سرعت ۲ m/s حرکت میکند.
مثال ۳: انفجار بمب در هواپیما
هواپیمایی (ساکن) روی سکویی:
- هواپیما: جرم \( M = 1000 \) kg
- بمب درون آن: جرم \( m = 50 \) kg
بمب منفجر میشود. قطعات بمب:
- قطعه ۱: جرم \( m_1 = 30 \) kg، سرعت \( v_1 = 100 \) m/s جلو
- قطعه ۲: جرم \( m_2 = 20 \) kg، سرعت \( v_2 = ? \) جلو
سؤال: هواپیما چگونه حرکت میکند؟
حل:
منطقی بهنظر میرسد که دوری از آن است؛ بیایید از بقای تکانه استفاده کنیم.
ابتدا تکانه صفر است. بعد از انفجار (فرض کنید هواپیما و قطعات در یک خط حرکت میکنند):
\[ \mathbf{P}_i = 0 \]
\[ \mathbf{P}_f = (M + m_1 + m_2) v_{\text{com}} = M v_{\text{airplane}} + m_1 v_1 + m_2 v_2 \]
اما این قدری پیچیده است. بهتر است دستگاه را در دو بخش تقسیم کنیم: بمب و بقیه.
از نظر تکانه بمب و ناحیه دور آن در هواپیما:
\[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = -(M - m) v_{\text{airplane}} \]
\[ 30(100) + 20 v_2 = -(950) v_{\text{airplane}} \]
اگر \( v_{\text{airplane}} = 0 \) (یعنی هواپیما ساکن بماند)، آنگاه:
\[ 3000 + 20 v_2 = 0 \] \[ v_2 = -150 \text{ m/s} \]
این عجیب است! قطعه ۲ با سرعت ۱۵۰ m/s بهعقب حرکت میکند.
نکات مهم
۱. تکانه برداری است: جهت اهمیت دارد. در مثال ۲ (تفنگ)، گلوله و تفنگ در جهتهای مخالف حرکت میکنند تا تکانه صفر بماند.
۲. انتخاب سیستم: باید سیستم را بهصورت مناسب انتخاب کرد. سیستمی که ایزولهشده است تکانهاش حفظ میشود.
۳. عدم پایستاری انرژی: بقای تکانه به معنی عدم پایستاری انرژی نیست. در برخوردهای غیرکشسان، انرژی جنبشی به گرما و تغییر شکل تبدیل میشود (فصل ۷–۸).
۴. قبل و بعد: برای استفاده از بقای تکانه، باید حالتهای قبل و بعد از اتفاق را داشته باشی. حالت در حین رخداد (مثل برخورد) معمولاً نامعلوم است.
تفاوت بقای تکانه و انرژی
| ویژگی | تکانه | انرژی مکانیکی |
|---|---|---|
| محفوظ؟ | بدون نیروی خارجی | فقط با نیروهای محافظکار |
| برخورد غیرکشسان | حفظ | ضائع میشود |
| برخورد کشسان | حفظ | حفظ |
| انفجار | حفظ | افزایش (منسبه از انرژی شیمیایی) |
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- بقای تکانه برای سیستمهای ایزولهشده
- تفاوت بین نیروهای خارجی و درونی
- تطبیق بقای تکانه برای حل مسائل برخورد و انفجار
- درک اینکه بقای تکانه و انرژی مستقل هستند
پیشنمایش §۹.۴
اکنون ما توانایی حل مسائل برخورد داریم. اما برخوردهای مختلف انرژی متفاوتی را ضائع میکنند. این به ما میرساند برخوردهای کشسان و غیرکشسان — جایی که بقای انرژی و تکانه با هم کار میکنند.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 9, §9.3.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.