§۱۰.۴ — انرژی جنبشی دورانی

توپ فوتبالی که در هوا پرت می‌شود دو نوع انرژی دارد: ۱. انرژی جنبشی خطی (ترجمه‌ای): از حرکت مرکز جرم ۲. انرژی جنبشی دورانی (چرخشی): از چرخش حول خودش

هر دو نوع انرژی واقعی هستند — می‌توانند کار انجام دهند. این بخش انرژی دورانی را بررسی می‌کند.

انرژی جنبشی دورانی

برای جسمی که چرخش می‌کند (اما مرکز جرم ساکن است):

\[ K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}I\omega^2 \]

جایی‌که:

تشابه با انرژی خطی

\[ K_{\text{linear}} = \frac{1}{2}m v^2 \]

\[ K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}I\omega^2 \]

جایگزینی:

دقیقاً همان شکل!

مثال

استوانه به جرم 2 kg و شعاع 0.3 m روی میز (بدون اصطکاک) با سرعت زاویه‌ای ω = 5 rad/s می‌چرخد.

انرژی دورانی:

\[ I_{\text{استوانه}} = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.3)^2 = 0.09 \text{ kg·m}^2 \]

\[ K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} \times 0.09 \times 5^2 = \frac{1}{2} \times 0.09 \times 25 = 1.125 \text{ J} \]

کار و توان در دوران

کار دورانی

همانطور که کار خطی = نیرو × جابجایی است:

\[ W_{\text{linear}} = F \cdot d \]

کار دورانی = گشتاور × زاویه است:

\[ W_{\text{rot}} = \tau \cdot \theta \]

(اگر گشتاور ثابت است و جابجایی زاویه‌ای)

یکا: ژول (J) — همانند کار خطی

مثال

گشتاور ثابت τ = 12 N·m روی دیسک برای 4 دور اعمال می‌شود.

کار:

زاویه: θ = 4 × 2π = 8π rad

\[ W = \tau \cdot \theta = 12 \times 8\pi \approx 12 \times 25.1 = 301 \text{ J} \]

توان دورانی

توان = کار ÷ زمان

\[ P = \frac{W}{t} = \frac{\tau \theta}{t} = \tau \omega \]

جایی‌که \( \omega = \theta/t \) سرعت زاویه‌ای متوسط است.

مثال:

موتور 150 N·m گشتاور در 50 rad/s فراهم می‌کند.

\[ P = 150 \times 50 = 7500 \text{ W} = 7.5 \text{ kW} \]

توجه: کاتالوگ‌های موتور اغلب توان را نمایش می‌دهند، نه گشتاور. توان مستقیم بر سرعت بستگی دارد!

قضیه کار-انرژی برای دوران

درست مثل حرکت خطی:

\[ W_{\text{net}} = \Delta K_{\text{rot}} \]

کار خالص = تغییر انرژی جنبشی دورانی

مثال

دیسک شروع از سکون. گشتاور 6 N·m برای 8 دور اعمال می‌شود. ممان اینرسی I = 0.5 kg·m².

کار:

\[ W = 6 \times (8 \times 2\pi) = 6 \times 16\pi \approx 301 \text{ J} \]

انرژی جنبشی نهایی:

\[ K_{\text{rot,final}} = K_{\text{rot,initial}} + W = 0 + 301 = 301 \text{ J} \]

سرعت زاویه‌ای نهایی:

\[ K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}I\omega^2 \implies 301 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times \omega^2 \]

\[ \omega^2 = \frac{301}{0.25} = 1204 \implies \omega \approx 34.7 \text{ rad/s} \]

حرکت ترجمه‌ای + دورانی

اگر جسمی حرکت نزدیک می‌کند (مثل چرخ کار) و چرخش می‌کند، انرژی کل:

\[ K_{\text{total}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}m v_{\text{cm}}^2 + \frac{1}{2}I_{\text{cm}}\omega^2 \]

جایی‌که \( v_{\text{cm}} \) سرعت مرکز جرم است و \( I_{\text{cm}} \) ممان اینرسی حول محور از مرکز است.

مثال

چرخ جرم 5 kg، شعاع 0.4 m، سرعت مرکز جرم 3 m/s و سرعت زاویه‌ای ω = 10 rad/s (غلتش).

انرژی ترجمه‌ای:

\[ K_{\text{trans}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 3^2 = 22.5 \text{ J} \]

انرژی دورانی:

\[ I = \frac{1}{2} \times 5 \times (0.4)^2 = 0.4 \text{ kg·m}^2 \]

\[ K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} \times 0.4 \times 10^2 = 20 \text{ J} \]

کل:

\[ K_{\text{total}} = 22.5 + 20 = 42.5 \text{ J} \]

نکته: تا 47% انرژی در چرخش است! این در توپ‌های فوتبالی اهمیت دارد.

پایستگی انرژی با اصطکاک و اتلاف

انرژی دورانی تبدیل می‌شود:

مثال: توپ تنیسی که با دوران سریع پرت می‌شود. اصطکاک هوا آن‌ها را کند کرد — انرژی خود به صدا و گرما تبدیل می‌شود. این اثر مگنوس پشت پرده است.

مقایسه: انرژی خطی vs دورانی

جنبه خطی دورانی
انرژی \( K = \frac{1}{2}mv^2 \) \( K = \frac{1}{2}I\omega^2 \)
کار \( W = F \cdot d \) \( W = \tau \cdot \theta \)
توان \( P = F \cdot v \) \( P = \tau \cdot \omega \)
نیرو/گشتاور \( F = ma \) \( \tau = I\alpha \)

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

پیش‌نمایش §۱۰.۵

تاکنون فرض کردیم جسم یا صرفاً ترجمه می‌کند یا صرفاً چرخش می‌کند. در واقع، بسیاری از اجسام هم ترجمه و هم چرخش می‌کنند — یعنی غلتش (rolling). اگر یک توپ یا چرخ بدون لغزش غلت بخورد، بین حرکت خطی و دورانی یک ارتباط هندسی وجود دارد.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 10, §10.4 — Rotational kinetic energy. 🔗 مرجع: §۷.۶ (توان) — کار و توان خطی برای مقایسه.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.