۲.۳ — شتاب

از §2.2 دیدیم که سرعت لحظه‌ای می‌تونه در طول زمان تغییر کنه. نرخ تغییر سرعت خودش یه کمیت اساسیه — بهش می‌گیم شتاب. این کمیت اهمیت خاصی داره چون از قانون دوم نیوتون (F = ma)، شتاب مستقیماً به نیرو گره می‌خوره. یعنی وقتی می‌خوایم بگیم «چی داره حرکت رو تغییر می‌ده»، جواب در شتابه.

شتاب متوسط

اگه سرعت جسم در لحظه‌ی t_1 برابر v_1 و در t_2 برابر v_2 باشه، شتاب متوسط در بازه‌ی [t_1, t_2]:

\[ a_\text{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \]

مثال: یه قطار از v(0) = 0 شروع می‌کنه، در t = 40 s به v = 24 m/s می‌رسه:

\[ a_\text{avg} = \frac{24 - 0}{40 - 0} = 0.6\ \mathrm{m/s^2} \]

یعنی به‌طور متوسط، هر ثانیه سرعتش 0.6 m/s افزایش می‌یافت.

شتاب لحظه‌ای

مثل §2.2 که سرعت متوسط رو با کوچک کردن Δt به سرعت لحظه‌ای رسوندیم، اینجا هم:

\[ a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt} \]

شتاب لحظه‌ای، مشتق سرعت نسبت به زمان ـه. و چون v = dx/dt:

\[ \boxed{a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}} \]

شتاب لحظه‌ای، مشتق دوم موقعیت نسبت به زمان ـه.

مثال: برای موقعیت x(t) = 5t + 3t² − 0.1 t³ (که در §2.2 دیدیم):

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = 5 + 6t - 0.3 t^2 \]

\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 6 - 0.6 t\ \mathrm{m/s^2} \]

چهار حالت علامتی مهم — رانندگی در چراغ راهنما

بذار یه سناریو کامل ببینیم که همه‌ی حالت‌های علامتی v و a رو در بر داشته باشه: یه ماشین در چراغ راهنما. محور مثبت به سمت جلو.

مرحله ۱ — استارت از توقف (0 → 20 m/s در 10 s):

مرحله ۲ — ترمز به توقف (20 → 0 m/s در 5 s):

مرحله ۳ — دنده عقب (0 → −15 m/s در 6 s):

مرحله ۴ — ترمز از دنده عقب (−15 → 0 در 3 s):

قاعده‌ی طلایی

نه علامت a بلکه هم‌علامت‌بودن v و a تعیین می‌کنه که سرعت داره چطور تغییر می‌کنه:

علامت v علامت a چه اتفاقی می‌افته؟
+ + تندتر می‌شه (به جهت مثبت)
+ − کندتر می‌شه (هنوز به جهت مثبت)
− + کندتر می‌شه (هنوز به جهت منفی)
− − تندتر می‌شه (به جهت منفی)

اشتباه رایج: فکر کنی «شتاب منفی» یعنی «ترمز». نه — شتاب منفی یعنی «شتاب در جهت منفی محور». اگه جسم داره در جهت منفی حرکت می‌کنه، این شتاب داره تندش می‌کنه، نه کندش.

تفسیر گرافیکی

روی نمودار v-t:

روی نمودار x-t:

دِسِلِراسیون؟

بعضی وقت‌ها می‌شنوی «deceleration» (کاهش‌شتاب). این کلمه در فیزیک مبهم ـه و بهتره ازش استفاده نکنی. توی زبان روزمره یعنی «کندتر شدن»، ولی این با علامت شتاب فرق داره:

در سناریوی ماشین بالا: مرحله‌ی ۳ (دنده عقب گرفتن)، شتاب منفی داره ولی داره تندتر می‌شه — پس «deceleration» نیست هرچند a < 0.

بهتره فقط از علامت a و قاعده‌ی هم‌علامت‌بودن با v استفاده کنی — پیام روشن‌تر می‌ده.

شتاب و جرم: پیش‌درآمد قانون دوم نیوتون

چرا شتاب رو انتخاب کردیم که کمیت پایه‌ی سینماتیک باشه — نه، مثلاً، مشتق سوم موقعیت (که «jerk» می‌نامن)؟

جواب: نیوتون. قانون دومش می‌گه:

\[ \vec F = m \vec a \]

نیرو مستقیماً به شتاب گره می‌خوره. یعنی وقتی هر نیرویی (گرانش، اصطکاک، فنر، ...) بشناسی، بلافاصله شتاب رو داری، از اونجا سرعت رو با انتگرال می‌گیری، و بعد موقعیت رو. کل دینامیک از این معادله شروع می‌شه.

پس a نه یه کمیت ذهنی، بلکه پل بین کینماتیک و دینامیک ـه. هر وقت شتاب یه جسم رو تغییر داد، پرسش بعدی همیشه اینه: «چه نیرویی این کار رو کرد؟»

چند نکته و اشتباه رایج

۱. شتاب 0 یعنی سرعت ثابت، نه صفر. اگه a = 0، ماشین ممکنه با 50 m/s در حال حرکت باشه — فقط سرعتش تغییر نمی‌کنه. v = 0 و a = 0 دو چیز مختلف‌ان.

۲. شتاب لحظه‌ای می‌تونه به‌طور غیرمنتظره تغییر کنه. اگه x(t) یه ناهمواری داشته باشه (مثل ضربه)، v(t) می‌تونه ناپیوسته باشه — و a(t) بی‌نهایت بشه. در دنیای واقعی این نمی‌شه (چون F = ma نیازمند نیروی بی‌نهایته)، ولی در مسائل ایده‌ال گاهی به‌صورت delta function مدل می‌شه.

۳. mgh و F = ma باید هم‌ارز نتیجه بدن. سقوط آزاد یه جسم روی زمین: نیرو F = -mg (منفی چون به پایین)، پس a = -g = -9.8 m/s². مستقل از جرم! این نتیجه‌ی مستقیم F = ma است — اگر F ∝ m باشه (که در گرانش هست)، m کنسل می‌شه. §2.4 و §2.5 روی این کار می‌کنن.

۴. یکاها. a در SI: m/s². رایج در روزمره: g (شتاب گرانش سطحی، 1 g ≈ 9.8 m/s²). یه ماشین اسپورت که در ۳ ثانیه از ۰ به ۱۰۰ km/h می‌رسه:

\[ a = \frac{100/3.6 - 0}{3} \approx 9.26\ \mathrm{m/s^2} \approx 0.94\ g \]

یعنی حدود ۰.۹ برابر گرانش. راه‌های سرنشین‌دار نظامی گاهی به ۹g یا بیشتر می‌رسن.

۵. مشتق دوم چندجمله‌ای، درجه دو پایین‌تر. اگه x(t) = t^n، پس v = n t^(n-1)، a = n(n-1) t^(n-2). برای n = 2: a = 2 (ثابت). این مورد خاص «شتاب ثابت» در §2.4 اهمیت زیادی داره.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۲.۴

بیشتر مسائل مهم فیزیک با شتاب ثابت سر و کار دارن — سقوط آزاد، حرکت روی سطح شیبدار بدون اصطکاک، پرتابه‌ی افقی، ماشین با ترمز یکنواخت. برای این حالت، a = const، و می‌تونیم v(t) و x(t) رو با انتگرال ساده به‌دست بیاریم:

\[ v(t) = v_0 + a t \]

\[ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

از این دو، معادلات سینماتیک درمی‌آن که در همه‌ی مسائل عملی استفاده می‌شن. موضوع §۲.۴.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 2, §2.3 — Acceleration. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 3.3: Average and Instantaneous Acceleration. 📖 Feynman Lectures Vol I — Ch 8: Motion §8-3 (بحث فوق‌العاده روی «چرا شتاب مهم ـه، نه سرعت»).

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.