فلشکارتها — فصل ۱۱ 🃏
تکانهٔ زاویهای و دینامیکِ دورانی — قانونِ پایستگی و آنچه آن انجام میدهد! ⚙️
🎮 نحوهٔ کار
- 🎴 حالتِ مطالعه — یک کارتِ در هر زمان. فکر کن، بعد پاسخ ببین.
- ⚡ مسابقهٔ سریع — ۱۰ سؤال در ۲۰ ثانیه. نمره، رکورد، رقابت!
📋 دسته کارتها: شرایط و فرمولهای کلیدی
بخش §۱۱.۱ — تکانهٔ زاویهای
- تکانهٔ زاویهای (تعریف) — \( L = I\omega \) (kg·m²/s)؛ میزانِ دورانِ جسم
- تکانهٔ زاویهای برای ذره تک — \( \vec L = \vec r \times \vec p = m\vec r \times \vec v \) (حاصلضربِ خارجی موضع و تکانهٔ خطی)
- یکایِ تکانهٔ زاویهای — kg·m²/s یا J·s (واحدِ انرژی × زمان)
- تکانهٔ زاویهای نسبتِ مرجع — بستگی به انتخابِ محورِ دوران دارد
- سرعتِ زاویهای و تکانهٔ زاویهای — در یک محور ثابت، \( \omega = L/I \)
بخش §۱۱.۲ — رابطهٔ گشتاور و تکانهٔ زاویهای
- معادلهٔ حرکتِ (دورانی) — \( \frac{dL}{dt} = \sum \tau \) (نرخِ تغییرِ تکانهٔ زاویهای = گشتاور خالص)
- قانونِ دوم نیوتون (شکلِ تکانهٔ زاویهای) — اگر گشتاورِ خارجی باشد، تکانهٔ زاویهای تغییر میکند
- بدونِ گشتاور خارجی — اگر \( \tau_{\text{ext}} = 0 \)، آنگاه \( \frac{dL}{dt} = 0 \) و
Lثابت است
بخش §۱۱.۳ — پایستگیِ تکانهٔ زاویهای
- قانونِ پایستگیِ تکانهٔ زاویهای — اگر گشتاورِ خارجیِ خالص صفر باشد، تکانهٔ زاویهایِ کل پایسته است: \( L_{\text{initial}} = L_{\text{final}} \)
- سیستمِ منزوی — بدونِ نیروهای بیرونی (یا نیروهایِ صرفاً مرکزی)، تکانهٔ زاویهای حفظ میشود
- مثالِ اسکیتبازی — اسکیتباز بازوهاش را میکشد درون؛ \( I \) کاهش مییابد؛ \( \omega \) افزایش مییابد (زیرا
Lپایسته است) - سرعتِ زاویهایِ اسکیتبازی — \( \omega_{\text{final}} = \frac{L}{I_{\text{final}}} = \frac{I_{\text{initial}} \omega_{\text{initial}}}{I_{\text{final}}} \)
بخش §۱۱.۴ — اسپین و مداری
- تکانهٔ زاویهایِ اسپین — دورانِ درون جسم حول محورِ خودش
- تکانهٔ زاویهایِ مداری — حرکتِ حول یک مرکزِ خارجی (مثلاً سیارهٔ حول خورشید)
- تکانهٔ زاویهایِ کل — \( L_{\text{total}} = L_{\text{spin}} + L_{\text{orbital}} \) (جمع برداری دو)
- الکترون در اتم — هم اسپینی \( L_s \) دارد (چرخشِ درون) و هم تکانهٔ مداریِ \( L_l \) (حول هسته)
بخش §۱۱.۵ — ژیروسکوپ و پیشفرش
- ژیروسکوپ — جسمِ دورانی سریع تحتِ گشتاورِ خارجی
- انتظارِ ساده — اگر گشتاور اعمال شود، جسم باید در آن جهت تغییر کند (مثلاً بیافتد)
- پیشفرش — درعوض، بردارِ تکانهٔ زاویهای تغییرِ جهت میدهد تدریجاً (نه فوری)
- نرخِ پیشفرش — \( \Omega = \frac{\tau}{L} \) (گشتاور / تکانهٔ زاویهای = سرعتِ تغییرِ جهت)
- ژیروسکوپ ثابتشده — چرخِ ژیروسکوپی کثیر دورِ با \( L \) بزرگ، \( \Omega \) کوچک است؛ تقریباً ثابت میایستد
- اثرِ ژیروسکوپ در عملی — چرخِ دوچرخه، چرخِ موتور سیکلت، کمپاسِ ژیروسکوپی در هواپیما
بخش §۱۱.۶ — سیستمهای برخورد و چسبندگی
- برخورد غیرکشسان دورانی — دو جسمِ دورانی برخورد و میچسبند؛ تکانهٔ زاویهای پایسته است
- سرعتِ زاویهایِ نهایی — \( I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega_{\text{final}} \) (از پایستگی)
- انرژی در برخورد دورانی — برخلافِ تکانهٔ زاویهای، انرژیِ جنبشیِ دورانی ممکن است پایسته نباشد
بخش §۱۱.۷ — تعادلِ و ثبات
- تعادلِ دورانی (شرطِ اول) — \( \sum F = 0 \) (بدونِ نیروی خالص)
- تعادلِ دورانی (شرطِ دوم) — \( \sum \tau = 0 \) (بدونِ گشتاورِ خالص)
- تعادلِ ایستا — هردو شرط برقرار (بدونِ حرکتِ خطی و دورانی)
- تعادلِ پویا — نیروی خالص و گشتاورِ خالص صفرند، اما جسم میتواند حرکت کند
بخش §۱۱.۸ — کاربردهای طبیعی
- سیارهها و قانونِ کپلر دوم — مساحتِ برابر در زمانهای برابر ⟺ پایستگیِ تکانهٔ زاویهای مداری
- سیاهچالهها — تکانهٔ زاویهای مسلح شده (جرمی به چرخش) مشخصِ آنها را تعریف میکند
- اسطرلاب و ستارهیابی — ژیروسکوپِ بالا ثابت میایستد تقریباً در فضا؛ برای جهتیابی
- اثرِ کوریولیس — در فریمِ دورانی (مثلاً زمین)، اجسام انحرافِ ظاهری مییابند
- حرکتِ سیاهچاله و شکارِ اختری — تکانهٔ زاویهایِ مداری تعیین میکند چه قدر نزدیک میتواند بیافتد
📊 موضوعاتِ پوششدادهشده
- تکانهٔ زاویهای — تعریف، یکا، محاسبه
- رابطهٔ گشتاور و تکانهٔ زاویهای — معادلهٔ حرکت
- پایستگیِ تکانهٔ زاویهای — هنگام و چرا
- اسپین و مداری — تفکیک و ترکیب
- ژیروسکوپ و پیشفرش — دینامیک 3D
- سیستمهای برخورد — غیرکشسان، دورانی
- کاربردهای طبیعی — سیارات، اسطرلاب، سیاهچالهها
چه اتفاقی میافتد بعد:
👉 §۱۱.۱–§۱۱.۳ — مسائل حلشده (نمونههای مرحلهبهمرحله)
👉 §۱۱.۴–§۱۱.۶ — مسائل تمرینی (تمرینها)
👉 §۱۱.۷–§۱۱.۸ — پرسش و پاسخ (پاسخهای ناشی از غلطفهمیهای رایج)
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.