کارتهای حافظه — فصل ۹ 🃏
مرکزِ جرم و تکانه — چارچوبِ درکِ سیستمهای چندجسمی! مرکزِ جرم، تکانهٔ خطی، برخوردها، و تکانه رو حاصل کن. 🚀
🎮 چجوری کار میکنه؟
- 🎴 مرورِ کارتها — کارتها یکییکی میان. خودت جواب میدی، بعد پاسخ نشون داده میشه.
- ⚡ بازی سریع — ۱۰ سؤال در ۲۰ ثانیه. امتیاز، درخشش، رقابت!
📋 دستهی کارتها: اصطلاحات و فرمولهای کلیدی
بخش §۹.۱ — مرکزِ جرم
- مرکزِ جرم (گسسته) — \( \mathbf{r}_{\text{CM}} = \frac{1}{M}\sum m_i \mathbf{r}_i \) که \( M = \sum m_i \)؛ میانگینِ وزنداری موقعیت
- مرکزِ جرم (پیوسته) — \( \mathbf{r}_{\text{CM}} = \frac{1}{M}\int \mathbf{r} \, dm \) برای اجسام کسترده؛ انتگرالِ جای جمع
- مولفههای دکارتی — \( x_{\text{CM}} = \frac{1}{M}\sum m_i x_i \)؛ همچنین برای \( y \) و \( z \)
- جسمِ متقارن — برای اجسام متقارن (کره یکنواخت، استوانه، دیسک)، مرکز جرم در مرکزِ هندسیه
- سیستمِ مرکب — مرکزِ جرمِ جسمی متشکل از دو بخش: هر بخش رو نقطهٔ جرمای در مرکزِ جرمِ خودش عامل کن
بخش §۹.۲ — اجسام یکنواخت و مرکب
- میلهٔ یکنواخت — مرکزِ جرم در نقطهٔ میانی (طولِ \( L \)): \( x_{\text{CM}} = L/2 \)
- دیسکِ یکنواخت (۲D) — مرکزِ جرم در مرکزِ هندسی؛ همچنین برای صفحهٔ مستطیلی یکنواخت
- کره — مرکزِ جرمِ کرهٔ یکنواخت در مرکزِ هندسیش قرار دارد
- جسمِ مرکب — مرکزِ جرمِ هر جزء رو پیدا کن، سپس هر جزء رو نقطهٔ جرمای عامل کن
- حفرهٔ درون — جسمی با سوراخ: حفره رو «جرمِ منفی» عامل کن و مرکزِ جرمِ آن رو کاهش بده
بخش §۹.۳ — حرکتِ مرکزِ جرم
- سرعتِ مرکزِ جرم — \( \mathbf{v}_{\text{CM}} = \frac{d\mathbf{r}_{\text{CM}}}{dt} = \frac{1}{M}\sum m_i \mathbf{v}_i \)؛ میانگینِ سرعتِ وزنداری
- شتابِ مرکزِ جرم — \( \mathbf{a}_{\text{CM}} = \frac{d\mathbf{v}_{\text{CM}}}{dt} = \frac{1}{M}\sum m_i \mathbf{a}_i \)؛ میانگینِ شتابِ وزنداری
- قانونِ دوم برای مرکزِ جرم — \( \mathbf{F}_{\text{ext}} = M\mathbf{a}_{\text{CM}} \)؛ نیروی خارجیِ کل مرکزِ جرم رو شتاب میدهد
- لغوِ نیروهای درونی — نیروهای بین ذرات (جفتهای قانونِ سوم) تأثیری بر حرکتِ مرکزِ جرم ندارند
- تنها نیروی خارجی اهمیت دارد — تنها نیروهای خارجی حرکتِ مرکزِ جرم رو تعیین میکنند
- تکانه و مرکزِ جرم — \( \mathbf{p}_{\text{total}} = M\mathbf{v}_{\text{CM}} \)؛ تکانهٔ کل برابرِ جرمِ کل × سرعتِ مرکزِ جرم
بخش §۹.۴ — تکانهٔ خطی و تکانه
- تکانهٔ خطی — \( \mathbf{p} = m\mathbf{v} \) (کیلوگرم·متر/ثانیه)؛ معیار چقدرِ سختی برای متوقفِ کردنِ جسم
- قانونِ دوم (شکلِ تکانه) — \( \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \)؛ نیرو نرخِ تغییرِ تکانهست
- تکانه (impulse) — \( \mathbf{J} = \int \mathbf{F} \, dt \) (نیوتون·ثانیه)؛ تغییرِ تکانه از نیرویی که طیِ زمان وارد میشود
- قضیهٔ تکانه-تکانه — \( \mathbf{J} = \Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_f - \mathbf{p}_i \)؛ تکانه برابرِ تغییرِ تکانهٔ خطی
- نیروی میانگین و زمان — \( \mathbf{F}_{\text{avg}} \cdot \Delta t = \Delta \mathbf{p} \)؛ تکانهٔ یکسان از ترکیبهای مختلفِ نیرو و زمان
- تکانه و انرژی (تفاوت) — تکانه \( m\mathbf{v} \) ـه (بردار، درجهٔ اول بر \( v \))؛ انرژی \( \frac{1}{2}m v^2 \) ـه (اسکالر، درجهٔ دوم)
بخش §۹.۵ — پایستگیِ تکانهٔ خطی
- قانونِ پایستگیِ تکانه — اگر \( \mathbf{F}_{\text{ext}} = 0 \)، آنگاه \( \mathbf{p}_{\text{total}} = \text{ثابت} \)
- سیستمِ منزوی — سیستمی که نیروی خارجی (یا ناچیزی) به آن وارد نمیشود؛ تکانهٔ کل محفوظ است
- نیروهای درونی و تکانه — نیروهای برخوردِ بین دو جسم برابرِ و معاکساند؛ تکانه تبدیل میشود ولی کل محفوظ
- تکانهٔ قبل و بعد — \( \mathbf{p}_{\text{before}} = \mathbf{p}_{\text{after}} \) در هر برخوردِ یا انفجار (اگر منزوی باشد)
- پیشرانشِ موشک — هنگامِ دفعِ سوخت (نیروی درونی)، موشک شتاب میگیرد؛ تکانهٔ سوخت دفعشده + موشک محفوظ
- انفجار — نیروهای شیمیایی درونی قطعات رو از هم جدا میکنند؛ تکانه محفوظ ولی انرژی جنبشی افزایش مییابد
بخش §۹.۶ — برخوردها در یک بُعد
- برخوردِ الاستیک — انرژی جنبشی محفوظ است: \( KE_{\text{before}} = KE_{\text{after}} \)
- برخوردِ غیرالاستیک — انرژی جنبشی تلف میشود (به تغییرِ شکل، گرما، صدا): \( KE_{\text{after}} < KE_{\text{before}} \)
- برخوردِ کاملاً غیرالاستیک — اجسام بههم میچسبند؛ حداقلِ انرژی جنبشی تلف میشود
- برخوردِ الاستیک (دو جسم) — اگر \( m_1 \) با سرعتِ \( v_1 \) به \( m_2 \) ساکن برخورد کند: سرعتهای نهایی بر نسبتِ جرم بستگیدارند
- برخوردِ الاستیک (جرمهای برابر) — اگر \( m_1 = m_2 \) و \( m_2 \) ابتدا ساکن باشد، سرعتها تعویض میشوند
- ضریبِ بازگشت (restitution) — \( e = -\frac{v_2 - v_1}{u_2 - u_1} \) (نسبتِ سرعتهای نسبی)
- برخوردِ الاستیک (ضریب) — \( e = 1 \) برای الاستیک؛ \( e = 0 \) برای کاملاً غیرالاستیک
- پایستگیِ تکانه در برخورد — \( m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \) (همیشه برقرار اگر منزوی)
بخش §۹.۷ — برخوردهای چندبُعدی و چرخش
- برخوردِ دوبُعدی — مولفههای \( x \) و \( y \) رو جداگانه تحلیل کن؛ تکانه در هر جهت محفوظ
- تکانهٔ زاویهای — \( \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \)؛ معیارِ حرکتِ چرخشی؛ محفوظ اگر گشتاور صفر باشد
- گشتاور و تکانهٔ زاویهای — \( \boldsymbol{\tau} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} \)؛ گشتاور نرخِ تغییرِ تکانهٔ زاویهایه
- ژیروسکوپ (فرقاق) — بردارِ تکانهٔ زاویهای درِ جهتِ محورِ دورانِ حرکت میکند؛ تحت نیروی گرانش تقدیم میکند
- پایستگیِ تکانهٔ زاویهای — \( \mathbf{L}_{\text{total}} = \text{ثابت} \) اگر \( \boldsymbol{\tau}_{\text{ext}} = 0 \)؛ مشابهِ پایستگیِ تکانهٔ خطی
بخش اضافی — معادلاتِ مهم
- تکانه-سرعت — \( \mathbf{p} = m\mathbf{v} \) (تکانهٔ خطی)
- تکانه-تکانه — \( \mathbf{J} = \mathbf{F}_{\text{avg}} \Delta t = \Delta \mathbf{p} \)
- تکانهٔ کل — \( \mathbf{p}_{\text{total}} = \sum m_i \mathbf{v}_i = M\mathbf{v}_{\text{CM}} \)
- مرکزِ جرم (فشرده) — موقعیتِ مرکزِ جرم \( \mathbf{r}_{\text{CM}} = \frac{\sum m_i \mathbf{r}_i}{M} \)؛ اگر تمامِ نیروی خارجی به آن وارد شود، حرکت میکنه
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.