هفت مسئلهٔ کاملِ تعادل و کشسانی. هر مسئله مفهوم متفاوتی میتاباند.
مسئلهٔ 1: نردبان دیوارنشین
صورت:
نردبانی یکنواختِ جرمِ M = 10 kg و طولِ L = 4 m دیوارنشین است. دیوار بدون اصطکاک (بدون اصطکاکِ جانبی)؛ زمین ضریبِ اصطکاکِ μ = 0.4 دارد. نردبان زاویهٔ θ = 60° با زمین میسازد.
سؤال: نیروی عادی دیوار و زمین کدام است؟ آیا نردبان لغزش میکند؟
حل:
نیروهای اعمالشده:
- وزنِ نردبان:
W = Mg = 10 × 10 = 100 Nدر مرکز نردبان - نیروی عادی دیوار:
N_w(افقی، بدون اصطکاک) - نیروی عادی زمین:
N_g(عمودی) - اصطکاکِ زمین:
f(افقی، برخلافِ تمایلِ لغزش)
شرطِ اول: نیروهای افقی
\[ N_w = f \]
شرطِ دوم: نیروهای عمودی
\[ N_g = W = 100 \text{ N} \]
شرطِ سوم: گشتاورها (حول نقطهٔ تماسِ زمین)
موقعیتهای نقاط:
- نقطهٔ تماسِ زمین: مبدأ
- مرکزِ نردبان: در فاصلهٔ
L/2 = 2 mاز نقطهٔ تماس - نقطهٔ تماسِ دیوار: در ارتفاعِ
L sin(60°) = 4 × (√3/2) ≈ 3.46 m
گشتاورِ وزن (ساعتگرد):
\[ \tau_W = W \times (L/2) \cos(60°) = 100 \times 2 \times 0.5 = 100 \text{ N·m} \]
گشتاورِ نیروی دیوار (پادساعتگرد):
\[ \tau_{N_w} = N_w \times L \sin(60°) = N_w \times 4 \times 0.866 = 3.46 N_w \]
موازنه:
\[ 3.46 N_w = 100 \]
\[ N_w ≈ 28.9 \text{ N} \]
بررسیِ اصطکاک:
اصطکاکِ ایستایی حداکثر:
\[ f_{\text{max}} = \mu N_g = 0.4 \times 100 = 40 \text{ N} \]
اصطکاکِ لازم:
\[ f = N_w ≈ 28.9 \text{ N} \]
چون 28.9 < 40، نردبان تعادل دارد و لغزش نمیکند.
مسئلهٔ 2: تیرِ چندباری
صورت:
تیرِ یکنواختِ جرمِ M = 50 kg و طولِ L = 6 m روی دو تکیهگاه. تکیهگاهِ A در x = 0، تکیهگاهِ B در x = 6 m.
بارهای اضافی:
F₁ = 200 Nدرx = 1 mF₂ = 300 Nدرx = 4 m
سؤال: نیروهای عادی در A و B؟
حل:
وزنِ تیر: W = 50 × 10 = 500 N در x = 3 m
شرطِ نیروهای عمودی:
\[ N_A + N_B = 200 + 300 + 500 = 1000 \text{ N} \]
شرطِ گشتاورها (حول A):
\[ N_A \times 0 + N_B \times 6 = 200 \times 1 + 500 \times 3 + 300 \times 4 \]
\[ N_B \times 6 = 200 + 1500 + 1200 = 2900 \]
\[ N_B = 483.3 \text{ N} \]
حل:
\[ N_A = 1000 - 483.3 = 516.7 \text{ N} \]
مسئلهٔ 3: کشتنِ سیمِ فولادی
صورت:
سیمِ فولادی:
- طولِ اصلی:
L₀ = 2 m - قطر:
d = 2 mm = 0.002 m - سطحِ مقطع:
A = π(d/2)² = π × (0.001)² ≈ 3.14 × 10⁻⁶ m² - مدول یانگ:
E = 200 GPa = 200 × 10⁹ Pa
نیروی کشش: F = 500 N
سؤال: تغیرِ طول؟
حل:
تنش:
\[ \sigma = \frac{F}{A} = \frac{500}{3.14 \times 10^{-6}} ≈ 159.2 \times 10^6 \text{ Pa} = 159.2 \text{ MPa} \]
کرنش:
\[ \epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{159.2 \times 10^6}{200 \times 10^9} ≈ 7.96 \times 10^{-4} = 0.0796\% \]
تغیرِ طول:
\[ \Delta L = \epsilon \times L_0 = 7.96 \times 10^{-4} \times 2 ≈ 0.00159 \text{ m} = 1.59 \text{ mm} \]
مسئلهٔ 4: خمیدگیِ تیر
صورت:
تیرِ فولادی:
- طولِ L = 3 m
- قطرِ دایروی:
d = 5 cm = 0.05 m - لحظهٔ دوم:
I = π d⁴/64 ≈ 3.07 × 10⁻⁶ m⁴ - مدول یانگ:
E = 200 GPa
نیرویِ عمودی وسط: F = 1000 N
سؤال: خمیدگی تیر؟
حل:
\[ y = \frac{F L^3}{3 E I} = \frac{1000 \times 3^3}{3 \times 200 \times 10^9 \times 3.07 \times 10^{-6}} \]
\[ y = \frac{27000}{1.842 \times 10^6} ≈ 0.01466 \text{ m} = 14.66 \text{ mm} \]
مسئلهٔ 5: فشار در سنگ
صورت:
قطعهٔ سنگ مکعبی:
- ضلع:
a = 0.1 m - فشار اعمالی:
P = 2 × 10⁷ Pa - مدول دکلیتی:
K = 50 GPa = 50 × 10⁹ Pa
سؤال: تغیرِ حجم؟
حل:
حجمِ اصلی:
\[ V_0 = a^3 = (0.1)^3 = 0.001 \text{ m}^3 = 10^{-3} \text{ m}^3 \]
کرنش حجمی:
\[ \epsilon_v = \frac{\Delta P}{K} = \frac{2 \times 10^7}{50 \times 10^9} = 4 \times 10^{-4} \]
تغیرِ حجم:
\[ \Delta V = \epsilon_v \times V_0 = 4 \times 10^{-4} \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}^3 \]
یا 0.0004 L.
مسئلهٔ 6: گشتاورِ پیچی
صورت:
میلهٔ فولادی:
- قطر:
d = 10 mm = 0.01 m - طول:
L = 1 m - مدول برشی:
G = 80 GPa
گشتاورِ پیچی: τ = 100 N·m
سؤال: زاویهٔ پیچ (بر حسب درجه یا رادیان)?
حل:
فرمولِ پیچ:
\[ \theta = \frac{\tau L}{G I_p} \]
جاییکه I_p لحظهٔ قطبی است (برای دایره):
\[ I_p = \frac{\pi d^4}{32} = \frac{\pi × (0.01)^4}{32} ≈ 9.82 \times 10^{-9} \text{ m}^4 \]
\[ \theta = \frac{100 \times 1}{80 \times 10^9 \times 9.82 \times 10^{-9}} = \frac{100}{785.6} ≈ 0.1273 \text{ rad} \]
یا تقریباً 7.3°.
مسئلهٔ 7: سیستمِ قرقره
صورت:
سه جرم m₁ = 2 kg, m₂ = 3 kg, m₃ = 5 kg روی قرقرههای ایدهآل.
m₁
|
(قرقره A)
/ \
m₂ m₃سؤال: شتابِ هر جرم و کششِ هر طناب؟
حل:
فرض کنید سیستم با شتاب a حرکت کند:
برای m₁ (بالای قرقره):
\[ m_1 a = T_1 - m_1 g \]
برای m₂ و m₃ (سطح افقی، فرض):
\[ m_2 a = T_2 \]
\[ m_3 a = T_3 \]
توازنهٔ قرقره: \[ T_1 = T_2 + T_3 \]
(نیروی درکشِ قرقره).
حل این سیستم (بدون جزئیات کامل):
- شتاب:
aاز توازنِ نیروهای کل - کششها: از معادلات فردی
📚 تمرین بیشتر برای دانشجو:
- هر مسئله را مجدد حل کنید بدون نگاهکردن
- اعدادِ متفاوت را امتحان کنید
- حالتِ حدی (اگر نیرو صفر باشد، وغیره) بررسی کنید
📖 منبع: Halliday Vol 1, Ch 12, Examples §12.6–12.8.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.