سؤال ساده ولی عمیق: «سرعت»، نسبت به کی؟ هر اندازهگیری فیزیکی توی یه «قاب مرجع» انجام میشه — و همون رویداد از قابهای مختلف مقادیر متفاوتی میده. سرعت نسبی، ابزار ترجمه.
اصل نسبیت گالیله
اگه A رو نسبت به قاب مرجع O ببینی و A هم داره B رو نسبت به خودش میبینه:
\[ \vec v_{B/O} = \vec v_{B/A} + \vec v_{A/O} \]
قاعدهی حروف: B/O = «حرکت B نسبت به O». همونطور که در جمع، شاخصهای میانی حذف میشن.
مثال ۱ — قطار و مسافر
قطاری با سرعت 30 m/s نسبت به زمین به سمت شرق حرکت میکنه. مسافری داخل قطار با سرعت 2 m/s نسبت به قطار به سمت جلو (شرق) راه میره.
سرعت مسافر نسبت به زمین؟
\[ \vec v_{مسافر/زمین} = \vec v_{مسافر/قطار} + \vec v_{قطار/زمین} = 2\hat i + 30\hat i = 32\hat i\ m/s \]
اگه به عقب راه بره: -2 + 30 = 28 m/s.
مثال ۲ — قایق و رودخانه
قایقی میخواد از یه رودخانهای که با 3 m/s به سمت شرق جریان داره، به سمت شمال بره. قایق در آب آرام میتونه 5 m/s حرکت کنه.
سؤال: قایقران باید در چه جهتی هدفگیری کنه که واقعاً به سمت شمال بره؟
تحلیل: \vec v_{قایق/زمین} = \vec v_{قایق/آب} + \vec v_{آب/زمین}
قایقران با زاویهی \theta غرب از شمال هدفگیری کنه:
\[ \vec v_{قایق/آب} = -5\sin\theta\hat i + 5\cos\theta\hat j \]
\[ \vec v_{آب/زمین} = 3\hat i \]
برای اینکه \vec v_{قایق/زمین} فقط \hat j داشته باشه، x باید صفر:
\[ -5\sin\theta + 3 = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0.6 \Rightarrow \theta = 36.9° \]
سرعت واقعی به سمت شمال: v = 5\cos 36.9° = 4\ m/s
نتیجه: قایقران 36.9° غرب از شمال هدفگیری میکنه، ولی واقعاً با 4 m/s به سمت شمال میره.
مثال ۳ — سرعت باد بر روی هواپیما
هواپیمایی میخواد از A به B به سمت شرق برسه. هوا با سرعت 50 km/h به سمت شمالغرب میوزه. هواپیما در هوای آرام 300 km/h میتونه بره. چه جهتی باید هدفگیری کنه؟
تحلیل:
- بادِ شمالغربی یعنی
\vec v_{هوا/زمین} = -50\cos 45° \hat i + 50\sin 45° \hat j \approx -35.4\hat i + 35.4\hat j - هدف:
\vec v_{هواپیما/زمین}فقط\hat iمثبت داشته باشه
پس:
- مؤلفهی
yهواپیما نسبت به هوا:-35.4(برای خنثی کردن باد) \sin\phi = 35.4/300 = 0.118 \Rightarrow \phi \approx 6.8°جنوب از شرق
سرعت نهایی نسبت به زمین: \cos 6.8° \cdot 300 - 35.4 \approx 298 - 35.4 \approx 263\ km/h به سمت شرق.
مثال ۴ — دو ماشین در دو جاده
ماشین A با 20 m/s به سمت شرق، ماشین B با 15 m/s به سمت شمال. سرعت B نسبت به A چقدره؟
\[ \vec v_{B/A} = \vec v_{B/زمین} - \vec v_{A/زمین} = (0 + 15\hat j) - (20\hat i + 0) = -20\hat i + 15\hat j \]
اندازه: \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\ m/s. زاویه: \arctan(15/(-20)) — ربع دوم — \approx 143° از محور +x.
تفسیر: از دید رانندهی A، ماشین B داره با 25 m/s به سمت شمالغرب حرکت میکنه.
قاب اینرسی چیست؟
قاب اینرسی: قابی که در اون قانون اول نیوتون برقرار ـه — جسم آزاد با سرعت ثابت میمونه.
- زمین (تقریباً): یه قاب اینرسی خوب برای بیشتر مسائل روزمره
- قطار در سرعت ثابت: یه قاب اینرسی دیگه — بسته نسبت به زمین
- قطار در حال شتاب یا پیچ: قاب غیراینرسی — جسم آزاد از دید ناظر داخل، شتاب پیدا میکنه (که نیرویی رو نشون نمیده)
اصل نسبیت گالیله: قوانین فیزیک در همهی قابهای اینرسی یکسانان. تجربهی داخل هواپیمای بدون تلاطم = تجربهی ایستاده روی زمین.
نکتهی تاریخی: این ایده در نسبیت خاص اینشتین (۱۹۰۵) گسترش یافت — قوانین فیزیک شامل الکترومغناطیس رو هم پوشش داد، و به تعادل زمان-فضا رسید.
چند نکته و اشتباه رایج
۱. جهتها رو دقت کن.
\vec v_{A/B} یعنی «سرعت A نسبت به B». برعکسش \vec v_{B/A} = -\vec v_{A/B}.
۲. جمع بردار، نه اسکالر. مثال هواپیما نشون داد سرعتها رو نمیتونی ساده جمع کنی — چون جهتها فرق دارن.
۳. سرعت نسبی میتونه بیشتر یا کمتر از سرعتهای اجزا باشه.
دو ماشین با 50 km/h رو در رو: سرعت نسبی 100 km/h. اگه همجهت: 0.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- قاعدهی جمع سرعت نسبی رو استفاده کنی
- مسائل قایق در رودخانه، هواپیما در باد رو حل کنی
- قاب اینرسی و اصل نسبیت گالیله رو تشخیص بدی
- سرعت یه جسم نسبت به یه جسم دیگه رو با تفریق سرعتهای نسبت به قاب مشترک محاسبه کنی
پیشنمایش §۴.۶
مسائل حلشده — کاربرد همهی ابزارهای فصل ۴ در سناریوهای واقعی.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 4, §4.6 — Relative Motion.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.