۳.۶ — ضرب خارجی (برداری)

نوع دوم ضرب برداری — و شگفت‌ترین. برخلاف ضرب داخلی که اسکالر می‌ده، ضرب خارجی یه بردار می‌ده — با جهتی که با قاعده‌ی دست راست تعیین می‌شه. برای گشتاور، تکانه‌ی زاویه‌ای، نیروی لورنتز، و همه‌ی چرخش‌ها لازمه.

تعریف

برای دو بردار \vec a و \vec b با زاویه‌ی \phi بین‌شون:

\[ \boxed{\vec a \times \vec b = |a||b|\sin\phi\ \hat n} \]

که:

قاعده‌ی دست راست

دست راستت رو بذار به این شکل:

اگه ترتیب رو عکس کنی (\vec b \times \vec a)، جهت شست معکوس می‌شه.

تفاوت مهم — ضد جابه‌جایی‌پذیر

\[ \vec a \times \vec b = -(\vec b \times \vec a) \]

ترتیب مهم ـه! برخلاف ضرب داخلی (که \vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a)، در ضرب خارجی ترتیب اندازه یکسان می‌ده ولی جهت مخالف.

علامت‌ها و حالت‌های خاص

نکته‌ی مهم: اگه دو بردار موازی باشن (هم‌جهت یا مخالف)، ضرب خارجی‌شون صفر ـه.

فرم مؤلفه‌ای — دترمینان ۳×۳

از بردارهای یکه شروع می‌کنیم:

قاعده‌ی چرخه‌ای: i → j → k → i → .... حرکت جلو مثبت، حرکت عقب منفی.

فرمول کامل:

\[ \vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \]

بسط:

\[ \vec a \times \vec b = (a_y b_z - a_z b_y)\hat i + (a_z b_x - a_x b_z)\hat j + (a_x b_y - a_y b_x)\hat k \]

مثال عددی

سناریو: \vec a = 2\hat i + 3\hat j + \hat k، \vec b = \hat i - \hat j + 2\hat k. \vec a \times \vec b رو حساب کن.

مؤلفه‌ی x: a_y b_z - a_z b_y = 3(2) - 1(-1) = 6 + 1 = 7

مؤلفه‌ی y: a_z b_x - a_x b_z = 1(1) - 2(2) = 1 - 4 = -3

مؤلفه‌ی z: a_x b_y - a_y b_x = 2(-1) - 3(1) = -2 - 3 = -5

\[ \vec a \times \vec b = 7\hat i - 3\hat j - 5\hat k \]

تست: ضرب داخلی این نتیجه با هر یک از \vec a یا \vec b باید صفر باشه (چون عمود بر هر دوی اون‌هاست).

\[ (\vec a \times \vec b) \cdot \vec a = 7(2) + (-3)(3) + (-5)(1) = 14 - 9 - 5 = 0\ ✓ \]

کاربرد فیزیکی ۱ — گشتاور

گشتاور یه نیرو حول یه محور:

\[ \vec \tau = \vec r \times \vec F \]

که \vec r بردار موقعیت (از محور تا نقطه‌ی اعمال نیرو) و \vec F نیرو ـه.

تفسیر: فقط مؤلفه‌ی نیرو عمود بر \vec r گشتاور می‌سازه. مؤلفه‌ی موازی، بی‌اثره.

مثال روزمره: کلید فرانسه. اگه نیرو رو عمود بر دسته بذاری، حداکثر گشتاور. اگه در امتداد دسته بکشی، صفر گشتاور (فقط کشش، نه پیچش).

کاربرد فیزیکی ۲ — تکانه‌ی زاویه‌ای

\[ \vec L = \vec r \times \vec p \]

که \vec p = m\vec v تکانه‌ی خطی. برای ذره‌ای در مدار، \vec L عمود بر صفحه‌ی مدار ـه — و پایسته ـه (اگه نیروی مرکزی باشه).

کاربرد فیزیکی ۳ — نیروی مغناطیسی

\[ \vec F = q\vec v \times \vec B \]

نیروی وارد بر یه بار q که با سرعت \vec v در میدان مغناطیسی \vec B حرکت می‌کنه. همیشه عمود بر سرعت — پس فقط جهت رو تغییر می‌ده، نه تندی. نتیجه: مدار دایره‌ای در میدان مغناطیسی یکنواخت.

چند نکته و اشتباه رایج

۱. جهت رو با قاعده‌ی دست راست، نه دست چپ. عمومی‌ترین اشتباه. تمرین کن با دست راست. اگه فیزیک‌دان چپ‌دست هستی، مهم نیست — «دست راست» رو استفاده کن، نه دست غالبت.

۲. اگه دو بردار هم‌جهت (یا موازی)، ضرب خارجی صفر. \vec a \times \vec a = 0 همیشه. \vec a \times (2\vec a) = 0 هم.

۳. ضرب خارجی جابه‌جایی‌پذیر نیست. \vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a. علامت رو دقت کن.

۴. اندازه‌ی ضرب خارجی = مساحت متوازی‌الاضلاع. تفسیر هندسی: |a||b|\sin\phi مساحت متوازی‌الاضلاعی ـه که دو بردار ضلع‌هاش ـن. برای مثلث: نصفش.

۵. ضرب خارجی فقط در ۳ بعد ـه. در ۲ بعد، «صفحه»ای که بردارها می‌سازن یگانه‌ست، پس ضرب خارجی معنی نداره. (تعمیم انتزاعی به بعدهای بالاتر با «wedge product» ممکنه ولی خارج از این فصل.)

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۳.۷

هفت مسئله‌ی حل‌شده که همه‌ی ابزارهای فصل ۳ رو تست می‌کنن: تجزیه، جمع، ضرب داخلی، ضرب خارجی، کار، گشتاور. §۳.۷ می‌آد.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 3, §3.6 — Multiplying Vectors: Vector Product.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.