هفت مسئلهی حلشده که تمام ابزارهای فصل ۱۰ را تست میکنند — از کینماتیک تا ژیروسکوپ.
مسئله ۱ (§۱۰.۱) — چرخ شتابگیر
چرخی شروع از سکون با شتاب زاویهای ثابت α = 3 rad/s² میچرخد. بعد از 5 ثانیه:
- سرعت زاویهای نهایی؟
- کل زاویه چرخش (برحسب دور)؟
حل:
سرعت زاویهای: \[ \omega_f = \omega_0 + \alpha t = 0 + 3 \times 5 = 15 \text{ rad/s} \]
زاویه: \[ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 3 \times 25 = 37.5 \text{ rad} \]
تعداد دور: \[ N = \frac{37.5}{2\pi} = \frac{37.5}{6.28} \approx 5.97 \text{ دور} \]
مسئله ۲ (§۱۰.۲) — مقایسه ممان اینرسی
سه استوانهٔ یکسان جرم (M = 2 kg) و شعاع (R = 0.4 m):
- استوانهٔ جامد: \( I_1 = \frac{1}{2}MR^2 \)
- استوانهٔ توخالی: \( I_2 \approx 0.9MR^2 \)
- حلقه: \( I_3 = MR^2 \)
کدام یک سختترین است برای چرخاندن؟
حل:
\[ I_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.4)^2 = 0.16 \text{ kg·m}^2 \]
\[ I_2 = 0.9 \times 2 \times (0.4)^2 = 0.288 \text{ kg·m}^2 \]
\[ I_3 = 2 \times (0.4)^2 = 0.32 \text{ kg·m}^2 \]
حلقه (\( I_3 = 0.32 \)) سختترین است! چون جرم تمام در فاصله \( R \) است.
مسئله ۳ (§۱۰.۳) — دینامیک دورانی
دیسکی با ممان اینرسی I = 0.5 kg·m² تحت سه گشتاور:
- \( \tau_1 = +8 \) N·m (پادساعتگرد)
- \( \tau_2 = -3 \) N·m (ساعتگرد)
- \( \tau_3 = +2 \) N·m (پادساعتگرد)
شتاب زاویهای؟
حل:
گشتاور خالص: \[ \tau_{\text{net}} = 8 - 3 + 2 = 7 \text{ N·m} \]
شتاب زاویهای: \[ \alpha = \frac{\tau_{\text{net}}}{I} = \frac{7}{0.5} = 14 \text{ rad/s}^2 \]
مسئله ۴ (§۱۰.۴) — انرژی دورانی
استوانهٔ جامد: M = 3 kg، R = 0.2 m، سرعت زاویهای ω = 10 rad/s.
- انرژی جنبشی دورانی؟
- اگر این انرژی تبدیل شود به انرژی جنبشی خطی، چه سرعتی لازم است؟
حل:
ممان اینرسی: \[ I = \frac{1}{2} \times 3 \times (0.2)^2 = 0.06 \text{ kg·m}^2 \]
انرژی دورانی: \[ K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} \times 0.06 \times 10^2 = 3 \text{ J} \]
سرعت معادل خطی: \[ \frac{1}{2}mv^2 = 3 \implies v^2 = \frac{6}{3} = 2 \implies v \approx 1.41 \text{ m/s} \]
مسئله ۵ (§۱۰.۵) — غلتش بدون لغزش
توپ بیلیارد: R = 0.028 m (شعاع)، سرعت مرکز جرم v = 2 m/s.
- سرعت زاویهای برای غلتش بدون لغزش؟
- تعداد دور بر ثانیه؟
حل:
سرعت زاویهای (بدون لغزش): \[ \omega = \frac{v}{R} = \frac{2}{0.028} \approx 71.4 \text{ rad/s} \]
دور بر ثانیه: \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{71.4}{6.28} \approx 11.4 \text{ Hz} \]
توپ ۱۱.۴ دور بر ثانیه میچرخد!
مسئله ۶ (§۱۰.۵) — کره پایینرونده
کرهای به جرم M = 1 kg و شعاع R = 0.1 m بدون لغزش از شیب با زاویه θ = 30° میلغزد.
شتاب خطی مرکز جرم؟
حل:
برای کره: \( I = \frac{2}{5}MR^2 \)
شتاب: \[ a = \frac{g\sin\theta}{1 + I/(MR^2)} = \frac{g\sin\theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g\sin\theta}{1.4} \]
جایگذاری: \[ a = \frac{9.8 \times \sin 30°}{1.4} = \frac{9.8 \times 0.5}{1.4} = \frac{4.9}{1.4} \approx 3.5 \text{ m/s}^2 \]
(برای مقایسه، لغزش بدون چرخش 9.8 × 0.5 = 4.9 m/s² است!)
مسئله ۷ (§۱۰.۶) — پیشفصال ژیروسکوپ
جیروسکوپ:
- ممان اینرسی:
I = 0.01 kg·m² - سرعت زاویهای:
ω = 50 rad/s - جرم:
m = 0.2 kg - فاصله محور تا مرکز:
r = 0.25 m
سرعت پیشفصال؟ دوره پیشفصال؟
حل:
سرعت پیشفصال: \[ \Omega_p = \frac{mgr}{I\omega} = \frac{0.2 \times 9.8 \times 0.25}{0.01 \times 50} = \frac{0.49}{0.5} = 0.98 \text{ rad/s} \]
دوره: \[ T_p = \frac{2\pi}{\Omega_p} = \frac{6.28}{0.98} \approx 6.4 \text{ ثانیه} \]
جیروسکوپ هر ۶.۴ ثانیه یک دور پیشفصال میکند.
خلاصهی کلیدی
| موضوع | معادله | مثال |
|---|---|---|
| کینماتیک | \( \omega = \omega_0 + \alpha t \) | مسئله ۱ |
| ممان اینرسی | \( I = \int r^2 dm \) | مسئله ۲ |
| دینامیک | \( \tau = I\alpha \) | مسئله ۳ |
| انرژی | \( K = \frac{1}{2}I\omega^2 \) | مسئله ۴ |
| غلتش | \( v = R\omega \) | مسئله ۵، ۶ |
| پیشفصال | \( \Omega_p = \frac{mgr}{I\omega} \) | مسئله ۷ |
سه نکتهٔ عملی
۱. علامتها مهم هستند: پادساعتگرد + است، ساعتگرد −.
۲. واحدها: رادیان، نه درجه: هیچوقت فرموستها را با درجه نزن!
۳. فاصله از محور تکان میدهد: ممان اینرسی و گشتاور هردو به فاصله بستگی دارند.
پیشنمایش §۱۰.۸
دهها مسئله بدون راهحل قدمبهقدم برای تمرین.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 10 — کل فصل دوران.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.