هفت مسئلهی حلشده که تمام ابزارهای فصل ۱۱ را تست میکنند — از غلتش تا ژیروسکوپ.
مسئله ۱ (§۱۱.۱) — استوانه روی صفحهٔ شیبدار
استوانهٔ جامد (جرم M = 2 kg، شعاع R = 0.1 m) بدون لغزش روی صفحهٔ شیبداری (\( \theta = 30° \)) رها میشود.
الف) شتاب مرکز جرم؟
ب) سرعت در پایینتر رفتن h = 0.5 m؟
حل:
الف) شتاب:
\[ a = \frac{g\sin\theta}{1 + \frac{I}{MR^2}} \]
برای استوانهٔ جامد: \( I = \frac{1}{2}MR^2 \)
\[ a = \frac{g\sin\theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2g\sin\theta}{3} = \frac{2 \times 10 \times 0.5}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ m/s}^2 \]
ب) سرعت از انرژی:
\[ mgh = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \]
جایگذاری \( I = \frac{1}{2}MR^2 \) و \( v_{cm} = \omega R \):
\[ mgh = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}MR^2 \times \left(\frac{v_{cm}}{R}\right)^2 \]
\[ mgh = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{4}Mv_{cm}^2 = \frac{3}{4}Mv_{cm}^2 \]
\[ v_{cm} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} = \sqrt{\frac{4 \times 10 \times 0.5}{3}} = \sqrt{\frac{20}{3}} \approx 2.58 \text{ m/s} \]
مسئله ۲ (§۱۱.۱) — مسابقهٔ سه جسم
سه جسم (استوانهٔ جامد، کره، حلقه) — همه جرم m = 1 kg، شعاع R = 0.1 m — از یک صفحهٔ شیبدار رها میشوند.
سؤال: کدام یک اول به پایین میرسد؟
حل:
شتاب هر جسم:
\[ a = \frac{g\sin\theta}{1 + k} \]
جاییکه \( k = \frac{I}{mR^2} \):
- استوانهٔ جامد: \( k = \frac{1}{2} \) → \( a = \frac{2g\sin\theta}{3} \)
- کره: \( k = \frac{2}{5} \) → \( a = \frac{5g\sin\theta}{7} \) ✓ بیشترین
- حلقه: \( k = 1 \) → \( a = \frac{g\sin\theta}{2} \) ✗ کمترین
نتیجه: کره اول، سپس استوانه، بعد حلقه.
مسئله ۳ (§۱۱.۲) — نیروی اصطکاک در غلتش
دیسکی (جرم m = 3 kg، شعاع R = 0.2 m) روی سطح افقی غلتش میکند. اگر نیروی F = 10 N به صورت افقی و عمودی بر محور وارد شود:
سؤال: شتاب مرکز جرم و نیروی اصطکاک؟
حل:
شرط بدونلغزش: \( v = \omega R \) → \( a = \alpha R \)
معادلهٔ انتقالی: \[ F - f = ma \]
معادلهٔ دورانی: \[ \tau = fR = I\alpha = I\frac{a}{R} \]
\[ f = \frac{Ia}{R^2} \]
برای دیسک: \( I = \frac{1}{2}mR^2 \)
\[ f = \frac{\frac{1}{2}mR^2 \times a}{R^2} = \frac{1}{2}ma \]
جایگذاری در معادلهٔ انتقالی:
\[ F - \frac{1}{2}ma = ma \]
\[ F = \frac{3}{2}ma \]
\[ a = \frac{2F}{3m} = \frac{2 \times 10}{3 \times 3} = \frac{20}{9} \approx 2.22 \text{ m/s}^2 \]
\[ f = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{20}{9} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ N} \]
مسئله ۴ (§۱۱.۳) — بقاء تکانهٔ زاویهای
اسکیتبازی با دستان باز میچرخد:
- ممان اینرسی:
I₁ = 1.5 kg·m² - سرعت زاویهای:
ω₁ = 4 rad/s
دستان را به تنه فشار میدهد:
- ممان اینرسی:
I₂ = 0.4 kg·m²
سؤال: سرعت زاویهای نهایی؟
حل:
تکانهٔ زاویهای ثابت است:
\[ L_1 = L_2 \]
\[ I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \]
\[ \omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\omega_1 = \frac{1.5}{0.4} \times 4 = 3.75 \times 4 = 15 \text{ rad/s} \]
سرعت زاویهای ۳.۷۵ برابر زیاد میشود!
مسئله ۵ (§۱۱.۳) — برخورد دو دیسک
دیسک A: \( I_A = 0.5 \) kg·m²، \( \omega_A = 8 \) rad/s (در حال چرخش) دیسک B: \( I_B = 0.3 \) kg·m²، \( \omega_B = 0 \) (ساکن)
دیسکها برخورد میکنند و به هم میچسبند.
سؤال: سرعت زاویهای نهایی و انرژی از دست رفته؟
حل:
تکانهٔ زاویهای:
\[ L_{\text{قبل}} = I_A\omega_A + I_B\omega_B = 0.5 \times 8 + 0 = 4 \text{ kg·m}^2\text{/s} \]
\[ L_{\text{بعد}} = (I_A + I_B)\omega_f = 0.8\omega_f \]
\[ \omega_f = \frac{4}{0.8} = 5 \text{ rad/s} \]
انرژی:
\[ K_{\text{قبل}} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 8^2 = 16 \text{ J} \]
\[ K_{\text{بعد}} = \frac{1}{2} \times 0.8 \times 5^2 = 10 \text{ J} \]
\[ \Delta K = 16 - 10 = 6 \text{ J} \text{ (تبدیل به گرما)} \]
مسئله ۶ (§۱۱.۴) — ژیروسکوپ در حال تقدم
ژیروسکوپی:
- ممان اینرسی:
I = 0.01 kg·m² - سرعت چرخش:
ω = 200 rad/s - جرم:
m = 0.5 kg - فاصلهٔ مرکز جرم تا تکیه:
r = 0.3 m
سؤال: سرعت تقدم؟
حل:
تکانهٔ زاویهای: \[ L = I\omega = 0.01 \times 200 = 2 \text{ kg·m}^2\text{/s} \]
سرعت تقدم: \[ \Omega = \frac{mgr}{L} = \frac{0.5 \times 10 \times 0.3}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 \text{ rad/s} \]
دوره تقدم: \[ T = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{2\pi}{0.75} \approx 8.38 \text{ ثانیه} \]
مسئله ۷ (§۱۱.۳) — کره بر روی نقطهٔ تماس
کرهٔ جامد (جرم m = 2 kg، شعاع R = 0.15 m) بر روی یک نقطهٔ تماس میچرخد (مثل بالا). اگر سرعت زاویهای ابتدایی ω₀ = 10 rad/s باشد و اصطکاک آن را متوقف کند:
سؤال: زمان توقف و تعداد دورهای انجامشده؟
حل:
گشتاور اصطکاک: \[ \tau = -f \cdot R = I\alpha \]
برای کره: \( I = \frac{2}{5}mR^2 = \frac{2}{5} \times 2 \times (0.15)^2 = 0.018 \) kg·m²
فرض: \( f = 0.1 \) N
\[ \alpha = \frac{-0.1 \times 0.15}{0.018} = \frac{-0.015}{0.018} \approx -0.83 \text{ rad/s}^2 \]
زمان توقف (\( \omega_f = 0 \)): \[ \omega_f = \omega_0 + \alpha t \implies 0 = 10 - 0.83t \implies t \approx 12 \text{ ثانیه} \]
تعداد دور: \[ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 10 \times 12 - \frac{1}{2} \times 0.83 \times 144 \approx 60 \text{ rad} \]
\[ N = \frac{60}{2\pi} \approx 9.5 \text{ دور} \]
مقایسهٔ فصلهای ۱۰ و ۱۱
| کمیت | خطی (فصل ۷) | دورانی (فصل ۱۰) | غلتش (فصل ۱۱) |
|---|---|---|---|
| تعریف | \( F = ma \) | \( \tau = I\alpha \) | \( F = ma + \) شرط بدونلغزش |
| تکانه | \( p = mv \) | \( L = I\omega \) | \( L + p \) ترکیب |
| انرژی | \( K = \frac{1}{2}mv^2 \) | \( K = \frac{1}{2}I\omega^2 \) | \( K = \frac{1}{2}m(v^2 + \omega^2R^2) \) |
| بقاء | \( p \) (اگر \( F_{\text{net}}=0 \)) | \( L \) (اگر \( \tau_{\text{net}}=0 \)) | \( E + L \) ترکیب |
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 11, §11.5 — Worked problems on rolling, torque, and angular momentum. 🔗 مرجع متقاطع: فصلهای ۷–۱۰ برای مقایسه.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.