یکی از نتایج شگفتانگیز مکانیک کلاسیک این است که مرکز جرم سیستمی مثل یک ذره عمل میکند که تمام جرم سیستم در آن متمرکز باشد و تمام نیروهای خارجی بر آن وارد شوند. این بخش این اصل قدرتمند را اثبات میکند و کاربردهای آن را نشان میدهد.
تکانه مرکز جرم
تکانه کل سیستم را نهتنها جمع تکانههای ذرات فردی، بلکه تکانه مرکز جرم نیز میتوانیم بیان کنیم:
\[ \mathbf{P} = \sum_i \mathbf{p}_i = \sum_i m_i \mathbf{v}_i \]
اما از تعریف مرکز جرم:
\[ \mathbf{r}_{\text{cm}} = \frac{\sum_i m_i \mathbf{r}_i}{M} \]
مشتقگیری نسبت به زمان:
\[ \mathbf{v}_{\text{cm}} = \frac{d\mathbf{r}_{\text{cm}}}{dt} = \frac{\sum_i m_i \mathbf{v}_i}{M} \]
بنابراین:
\[ M\mathbf{v}_{\text{cm}} = \sum_i m_i \mathbf{v}_i = \mathbf{P} \]
نتیجه: تکانه کل سیستم برابر است با جرم کل ضربدر سرعت مرکز جرم.
قانون دوم نیوتون برای مرکز جرم
شتاب مرکز جرم را از مشتقگیری سرعت:
\[ \mathbf{a}_{\text{cm}} = \frac{d\mathbf{v}_{\text{cm}}}{dt} = \frac{\sum_i m_i \mathbf{a}_i}{M} \]
حالا از قانون دوم نیوتون برای هر ذره \( i \):
\[ \mathbf{F}_{i,\text{net}} = m_i \mathbf{a}_i \]
جمع تمام ذرات:
\[ \sum_i \mathbf{F}_{i,\text{net}} = \sum_i m_i \mathbf{a}_i = M\mathbf{a}_{\text{cm}} \]
اما نیروهای درونی (بین ذرات) بهصورت جفتهای عمل و عکسالعمل ظاهر میشوند و یکدیگر را خنثی میکنند. تنها نیروهای خارجی باقی میمانند:
\[ \mathbf{F}_{\text{ext}} = M\mathbf{a}_{\text{cm}} \]
یا معادل:
\[ \mathbf{F}_{\text{ext}} = \frac{d\mathbf{P}}{dt} \]
این قانون دوم نیوتون برای مرکز جرم است.
معنی فیزیکی
مرکز جرم سیستم مانند یک ذره فرضی رفتار میکند:
- جرم: کل جرم سیستم \( M \)
- نیرو: فقط نیروهای خارجی (نیروهای درونی نادیدهگرفته میشوند)
- شتاب: \( \mathbf{a}_{\text{cm}} = \mathbf{F}_{\text{ext}} / M \)
نیروهای درونی ممکن است باعث دوران یا تغییر شکل سیستم شوند، اما حرکت انتقالی مرکز جرم را تغییر نمیدهند.
مثال ۱: دو جسم متصل به فنر
دو جسم بهصورت افقی که فقط فنری بین آنها وجود دارد:
- جسم A: جرم \( m_A = 2 \) kg
- جسم B: جرم \( m_B = 3 \) kg
- فنر بین آنها فشرده است و سپس آزاد میشود
سؤال: حرکت مرکز جرم چگونه است؟
پاسخ: نیروهای داخلی فنری (A و B یکدیگر را هل میدهند) نیروهای درونی هستند. اگر سیستم ایزولهشده باشد (هیچ نیروی خارجی)، آنگاه \( \mathbf{F}_{\text{ext}} = 0 \). بنابراین:
\[ \mathbf{a}_{\text{cm}} = 0 \]
مرکز جرم با سرعت ثابت (یا ساکن) میماند. دو جسم در جهتهای مخالف حرکت میکنند، اما مرکز جرم حرکت نمیکند.
مثال ۲: توپ پرتابشده در میدان گرانشی
فردی توپ را بهصورت مایل پرتاب میکند. نادیده بگیرید مقاومت هوا.
سؤال: مسیر مرکز جرم توپ چگونه است؟
پاسخ: تنها نیروی خارجی وزن است:
\[ \mathbf{F}_{\text{ext}} = M\mathbf{g} \]
(جاییکه \( \mathbf{g} = -9.8\hat j \) m/s²)
بنابراین:
\[ \mathbf{a}_{\text{cm}} = \mathbf{g} \]
مرکز جرم دقیقاً مثل یک ذره ساده تحت ثقل شتاب مییابد. مسیر یک سهمی است — دقیقاً همان که در فصل ۴ برای پرتابهای داشتیم! این درست است حتی اگر توپ بچرخد.
مثال ۳: دو ستاره دوتایی
دو ستاره:
- ستاره A: جرم \( M_A = 2 M_{\odot} \) (دو برابر خورشید)
- ستاره B: جرم \( M_B = 3 M_{\odot} \)
آنها یکدیگر را دور میزنند در مدارهای دایروی.
سؤال: مرکز جرم دستگاه کجا قرار دارد و چه میکند؟
پاسخ: اگر سیستم ایزولهشده باشد (هیچ ستارهی دیگری نزدیک نیست)، تنها نیروهای داخلی (جاذبهی متقابل) عمل میکنند. بنابراین:
\[ \mathbf{F}_{\text{ext}} = 0 \implies \mathbf{v}_{\text{cm}} = \text{const} \]
مرکز جرم با سرعت ثابت حرکت میکند (یا ساکن است). در کادری که مرکز جرم ساکن است، هر دو ستاره در مدار دایروی حول مرکز جرم میگردند.
بقای تکانه (فصل ۹)
از آنجاییکه \( \mathbf{F}_{\text{ext}} = \frac{d\mathbf{P}}{dt} \)، اگر \( \mathbf{F}_{\text{ext}} = 0 \) (سیستم ایزولهشده)، آنگاه:
\[ \mathbf{P} = \text{const} \]
تکانه کل حفظ میشود. این یکی از اساسیترین اصول فیزیک است و از قانون دوم نیوتون برای مرکز جرم نتیجه میگیرد.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- تکانه کل برابر است با \( M\mathbf{v}_{\text{cm}} \)
- قانون دوم برای مرکز جرم: \( \mathbf{F}_{\text{ext}} = M\mathbf{a}_{\text{cm}} \)
- نیروهای درونی حرکت مرکز جرم را تغییر نمیدهند
- اگر \( \mathbf{F}_{\text{ext}} = 0 \)، تکانه حفظ میشود
پیشنمایش §۹.۳
مرکز جرم تنها برای حرکت انتقالی مهم نیست. برای اجسام صلب که میچرخند (مثل چرخ ماشین)، باید حرکت حول مرکز جرم را نیز درک کنیم. این موضوع گشتاور و تکانهی زاویهای را معرفی میکند.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 9, §9.2.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.