۲.۲ — سرعت لحظه‌ای و تندی لحظه‌ای

سرعت متوسط (§2.1) خلاصه‌ی خوبیه از «به‌طور کلی چقدر سریع رفتی» — ولی اگه سرعتت در طول مسیر تغییر کنه، این عدد جزئیات رو گم می‌کنه. یه راننده که در ۶۰ ثانیه ۱۰۰۰ متر رفته، ممکنه:

هر سه، سرعت متوسطشون یکسانه ولی رفتار متفاوته. برای گفتن این‌که «در همین لحظه‌ی t = 15 s چقدر سریع می‌رفتی؟»، به مفهومی جدید نیاز داریم: سرعت لحظه‌ای.

ایده‌ی حد: کوچک، کوچک‌تر، کوچک‌ترین

فرض کن یه رباتِ آموزشی روی ریل حرکت می‌کنه و موقعیتش رو با معادله‌ی زیر می‌دونیم (اندازه‌گیری واقعی توسط encoderهای پرسرعت):

\[ x(t) = 2.5\, t^2\quad (\mathrm{m},\ t\ \text{در ثانیه}) \]

می‌خوایم بدونیم «در لحظه‌ی t = 4 s چقدر سریع بود؟». اول با سرعت متوسط تخمین می‌زنیم، و بازه‌ی زمانی رو کوچک و کوچک‌تر می‌کنیم:

بازه [4, 4+Δt] Δt x(4) x(4+Δt) Δx v_avg = Δx/Δt
[4, 5] 1 40 62.5 22.5 22.5 m/s
[4, 4.1] 0.1 40 42.025 2.025 20.25 m/s
[4, 4.01] 0.01 40 40.2003 0.2003 20.03 m/s
[4, 4.001] 0.001 40 40.02003 0.02003 20.003 m/s

الگو روشنه: با کوچک شدن Δt، سرعت متوسط داره به یه عدد ثابت نزدیک می‌شه: 20 m/s. این همون سرعت لحظه‌ای در t = 4 s ـه.

از نظر ریاضی، این «حدِ» سرعت متوسط وقتی Δt → 0:

\[ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} \]

همون تعریف مشتق! پس:

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} \]

سرعت لحظه‌ای، مشتق موقعیت نسبت به زمان ـه.

استفاده از قواعد مشتق

برای رباتِ ما با x(t) = 2.5 t²، از قاعده‌ی توان (d/dt [t^n] = n t^{n-1}) استفاده می‌کنیم:

\[ v(t) = \frac{d}{dt}(2.5\, t^2) = 2.5 \cdot 2 t = 5t\ \mathrm{m/s} \]

اگه معادله‌ی موقعیت پیچیده‌تر باشه، مثلاً x(t) = 5t + 3t² − 0.1 t³:

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = 5 + 6t - 0.3 t^2\ \mathrm{m/s} \]

تندی لحظه‌ای (Instantaneous speed)

تندی لحظه‌ای یعنی قدر مطلق سرعت لحظه‌ای:

\[ s(t) = |v(t)| \]

مثال: برای معادله‌ی سوم بالا (v(t) = 5 + 6t - 0.3 t²)، در t = 30 s:

هر دو درست‌ان — یکی می‌گه «چقدر سریع و به کدوم جهت»، اون یکی می‌گه «چقدر سریع، همین».

تفسیر گرافیکی: شیب مماس

روی نمودار x-t:

با نزدیک شدن نقطه‌ی دوم به نقطه‌ی اول (کوچک شدن Δt)، خط chord می‌چرخه و به مماس نزدیک می‌شه. این همون تصویر هندسی «حد» ـه.

نکته: روی یه منحنی صاف (بدون گوشه)، در هر نقطه یه مماس منحصربه‌فرد وجود داره — یعنی v(t) در هر لحظه دقیقاً یه مقدار داره.

کِی سرعت لحظه‌ای «تعریف‌نشده» می‌شه؟

اگه موقعیت گوشه داشته باشه (مثل زمانی که ربات یهو جهت‌ش رو عوض کنه)، شیب چپ و راست فرق می‌کنه — یعنی مماس یکتا وجود نداره:

\[ x(t) = \begin{cases} 2t & \text{اگه } t < 3 \\ 12 - 2t & \text{اگه } t \geq 3 \end{cases} \]

فیزیکاً این یعنی «تغییر جهت آنی» — که یه ایده‌سازی ـه. در دنیای واقعی، این تغییر همیشه در یه بازه‌ی خیلی کوچیک ولی مثبت انجام می‌شه (رباتِ واقعی نمی‌تونه در صفر ثانیه از +2 به −2 پرش کنه — چون شتاب بی‌نهایت لازم داره).

چند نکته و اشتباه رایج

۱. سرعت لحظه‌ای ≠ سرعت متوسط در بازه‌ی خیلی کوچیک. دو چیز رو با هم اشتباه نگیر: v_avg = Δx/Δt برای یه Δt مشخص و کوچیک، یه عدد تخمینی ـه که با کوچک‌تر کردن Δt به مقدار حقیقی نزدیک می‌شه. v(t) = dx/dt حد این تخمین ـه — یه مقدار دقیق در یه لحظه.

۲. «سرعت در لحظه» یه امر ذاتی طبیعت ـه. بعضی‌ها فکر می‌کنن «چطوری در یه لحظه‌ی صفرثانیه‌ای می‌شه سرعت داشت — که هیچ فاصله‌ای طی نشده؟» جواب اینه: سرعت لحظه‌ای مثل «قد» نیست — یه نرخِ لحظه‌ای تغییر ـه. مثل نرخ ضربان قلب: در «همین لحظه»، معنی داره.

۳. یکاها ثابت می‌مونن. مشتق تغییر در واحد نمی‌ده. x بر حسب m، t بر حسب s، پس v = dx/dt بر حسب m/s. اگه معادله‌ای دادن که v بر حسب km/h باشه، اول تبدیل کن به m/s (§1.9)، بعد کار کن.

۴. مشتق ثابت = صفر. اگه x(t) = 5 m (ثابت)، پس v = 0. جسم ساکنه. این تریویاله ولی گاهی توی مسائل ترکیبی فراموش می‌شه.

۵. اگه x(t) خطی بود، v ثابته. x(t) = a + b t → v = b برای همه‌ی زمان‌ها. یعنی سرعت لحظه‌ای = سرعت متوسط برای این حالت خاص (حرکت یکنواخت). §2.1 هم روی همین اشاره کردیم.

۶. علامت سرعت مهمه. v = −20 m/s یعنی جسم داره در جهت منفی محور حرکت می‌کنه — نه این‌که «آهسته‌تر» ـه. تندی‌اش 20 m/s ـه.

تفسیر عکس: از v(t) به x(t) (پیش‌نگاه)

اگه سرعت رو داشته باشیم و بخوایم موقعیت رو دربیاریم، عکس مشتق لازمه — یعنی انتگرال:

\[ x(t) = x(0) + \int_0^t v(t')\, dt' \]

از نظر گرافیکی، Δx بین t=0 و t=T = مساحت زیر منحنی v−t بین این دو زمان (اگه v مثبت باشه؛ اگه منفی، مساحت با علامت منفی حساب می‌شه).

این ایده رو بعداً در §2.6 عمیق‌تر می‌بینیم؛ الان فقط بدون که مشتق و انتگرال، همدیگه رو معکوس می‌کنن.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۲.۳

سرعت لحظه‌ای به ما گفت «چقدر سریع در این لحظه». حالا سؤال بعدی: سرعت خودش چطور تغییر می‌کنه؟ نرخ تغییر سرعت رو شتاب می‌گیم:

\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2} \]

شتاب دومین مشتق موقعیت ـه — و هسته‌ی همه‌ی مسائل دینامیک ـه (چون از قانون دوم نیوتون، F = ma، شتاب مستقیماً به نیرو گره می‌خوره).

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 2, §2.2 — Instantaneous Velocity and Speed. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 3.2: Instantaneous Velocity and Speed. 📖 Feynman Lectures Vol I — Ch 8: Motion §8-2 (بحث عمیق روی «سرعت در یک لحظه» و پارادوکس‌های مربوطه).

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.