§۸.۲ — انرژی پتانسیل گرانشی

انرژی پتانسیل گرانشی دو شکل بنیادی‌اً متفاوت می‌گیره بسته به مقیاس سیستم. نزدیک سطح زمین (جایی‌که \( h \ll R_E \)، شعاع زمین)، گرانش یکنواخت به‌نظر می‌رسه و ما از \( U = mgh \) استفاده می‌کنیم. در فاصله‌های سیاره‌ای یا کیهانی، گرانش به‌صورت \( 1/r^2 \) ضعیف می‌شه و ما از \( U = -GMm/r \) استفاده می‌کنیم. این بخش هر دو رژیم رو توسعه می‌ده و عواقب فیزیکی‌شون رو کاوش می‌کنه: سرعت فرار، انرژی اتصال، و مکانیک مداری.

میدان یکنواخت: \( U_{\text{grav}} = mgh \)

وقتی جسم به‌صورت عمودی نزدیک سطح زمین از طریق ارتفاع \( h \) بلند بشه، کار انجام‌شده در برابر گرانش است:

\[ W = mgh \]

این کار به‌عنوان انرژی پتانسیل گرانشی ذخیره می‌شه. نقطه‌ی مرجع (جایی‌که \( U = 0 \)) دل‌خواه است؛ ما معمولاً سطح دریا یا سطح زمین رو انتخاب می‌کنیم.

بازی نیرو

از §۸.۱، نیرو رو از طریق بازیابی می‌کنیم:

\[ F = -\frac{dU}{dh} = -\frac{d(mgh)}{dh} = -mg \]

درست: نیروی ثابت رونده مستقل از ارتفاع (دست‌کم برای \( h \ll R_E \)).

مثال: بلند کردن بلاک

بلاک ۵۰ kg از سطح زمین به ارتفاع ۱۰ m در میدان گرانشی یکنواخت (\( g = 9.8 \) m/s²) بلند می‌شه. چقدر انرژی پتانسیل گرانشی ذخیره می‌شه؟

\[ \Delta U = mgh = 50 \times 9.8 \times 10 = 4{,}900 \text{ J} \]

این انرژی دستیاب است اگه بلاک دوباره سقوط کنه؛ گرانش دقیقاً ۴۹۰۰ J کار رو روی بلاک انجام می‌ده.

میدان غیریکنواخت: \( U_{\text{grav}} = -\frac{GMm}{r} \)

در فاصله‌های کافی بزرگ‌تر که گرانش زمین به‌وضوح غیریکنواخت است (ماهواره‌ها، ماه‌ها، فضاپیمای بین‌سیاره‌ای)، ما باید از قانون گرانش نیوتن استفاده کنیم. نیروی گرانشی بین جرم مرکزی \( M \) و جرم آزمایش \( m \) است:

\[ \mathbf{F}_{\text{grav}} = -\frac{GMm}{r^2} \hat{r} \]

جایی‌کـه G ثابت گرانشی است \( 6.674 \times 10^{-11} \) N·m²/kg² و r فاصله‌ی بین مراکز است.

برای یافتن انرژی پتانسیل، نیرو رو انتگرال می‌گیریم:

\[ U(r) = -\int_{\infty}^{r} F(r') \, dr' = -\int_{\infty}^{r} \left( -\frac{GMm}{r'^2} \right) dr' = -\frac{GMm}{r} \]

توجه به قرارداد علامت: نقطه‌ی مرجع در بی‌نهایت قرار داده شده: \( U(\infty) = 0 \). از آن‌جایی‌که گرانش همیشه جاذب است، \( U(r) < 0 \) برای تمام \( r \) متناهی. این انرژی منفی طبیعت اتصال سیستم‌های گرانشی رو منعکس می‌کنه — باید انرژی اضافه کنی برای فرار.

بازی نیرو

\[ F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr}\left( -\frac{GMm}{r} \right) = -\frac{GMm}{r^2} \]

درست: قانون نیوتن.

سرعت فرار

کاربرد کلیدی انرژی پتانسیل گرانشی یافتن سرعت فرار است — حداقل سرعت‌ی که جسم باید از سطح زمین برای فرار به بی‌نهایت با سرعت نهایی صفر داشته باشه.

استدلال پایستاری انرژی

در سطح زمین (شعاع \( R_E \)):

در بی‌نهایت (فراری):

توسط پایستاری انرژی مکانیکی (بدون نیروهای غیرمحافظ‌کار):

\[ E_i = E_f \]

\[ \frac{1}{2}mv_{\text{esc}}^2 - \frac{GMm}{R_E} = 0 \]

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R_E}} \]

مثال: سرعت فرار زمین

برای زمین: \( M_E = 5.972 \times 10^{24} \) kg، \( R_E = 6.371 \times 10^6 \) m.

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{6.371 \times 10^6}} \]

\[ = \sqrt{\frac{7.963 \times 10^{14}}{6.371 \times 10^6}} = \sqrt{1.250 \times 10^8} \approx 11{,}200 \text{ m/s} = 11.2 \text{ km/s} \]

هر جسمی که از سطح زمین سریع‌تر از ۱۱.۲ km/s پرتاب بشه، از گرانش زمین فراری می‌شه و در فضا شناور می‌شه.

انرژی اتصال

انرژی اتصال سیستم انرژی مکانیکی کل لازم برای تجزیه‌کردن آن است — برای جابه‌جایی تمام بخش‌ها به‌صورت نامحدود به علی‌رغم نسبی صفر است.

برای سیستم دو‌ذره‌ای (به‌عنوان مثال، زمین و ماهواره)، اگه کل انرژی باشه:

\[ E = KE + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} \]

مدار اتصال: اگه \( E < 0 \)، جسم در مدار اتصال است. نمی‌تونه فرار کنه؛ انرژی پتانسیل گرانشی بر انرژی جنبشی غلبه می‌کنه. انرژی اتصال است:

\[ E_{\text{bind}} = -E = \frac{GMm}{r} - \frac{1}{2}mv^2 \]

مثال: ماهواره در شعاع \( r = 7.0 \times 10^6 \) m (حدود ۶۰۰ km ارتفاع) درمدار زمین است. انرژی اتصالش چقدره؟

سرعت مدار دایره‌ای: برای مدار دایره‌ای، گرانش نیروی مرکز‌طلب رو فراهم می‌کنه:

\[ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]

\[ v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{7.0 \times 10^6}} = \sqrt{5.71 \times 10^7} \approx 7{,}560 \text{ m/s} \]

کل انرژی ماهواره:

\[ E = KE + U = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{GMm}{r} \]

برای مدار دایره‌ای، \( v^2 = GM/r \)، بنابراین:

\[ KE = \frac{1}{2}m \frac{GM}{r} = \frac{GMm}{2r} \]

\[ U = -\frac{GMm}{r} \]

\[ E = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} \]

انرژی اتصال (انرژی لازم برای فرار) است:

\[ E_{\text{bind}} = \frac{GMm}{2r} = \frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times m}{2 \times 7.0 \times 10^6} \]

\[ = \frac{3.99 \times 10^{14} m}{1.4 \times 10^7} \approx 2.85 \times 10^7 m \text{ J/kg} \]

برای ماهواره‌ی ۱۰۰۰ kg: \( E_{\text{bind}} = 2.85 \times 10^{10} \) J.

انتقال بین رژیم‌ها

تقریب میدان یکنواخت کی معتبر است؟

فرمول میدان یکنواخت \( U = mgh \) فرض می‌کنه \( h \ll R_E \). اجازه بده خطای کسری رو بررسی کنیم:

\[ U_{\text{uniform}} = mgh \]

\[ U_{\text{inverse-square}} = -\frac{GMm}{R_E + h} + \frac{GMm}{R_E} = \frac{GMm h}{R_E(R_E + h)} \]

برای کوچک \( h \)، این تقریباً است:

\[ U_{\text{inverse-square}} \approx \frac{GMm}{R_E^2} h = g h \]

جایی‌کـه ما \( g = GM/R_E^2 \) استفاده کردیم (تعریف گرانش سطح).

تفاوت کسری:

\[ \frac{U_{\text{inverse-square}} - U_{\text{uniform}}}{U_{\text{uniform}}} \approx \frac{h}{R_E} \]

ارتباط با فصل ۵ (قوانین نیوتن)

یاد داشته باش که قانون دوم نیوتن در جهت شعاعی (برای مدارهای دایره‌ای) است:

\[ \sum F_r = -\frac{GMm}{r^2} = m a_r = -m\frac{v^2}{r} \]

این سرعت مداری \( v = \sqrt{GM/r} \) رو می‌ده، که با استدلال انرژی بالا سازگار است. فرمالیسم انرژی پتانسیل مسیر جایگزینی برای همان نتایج با جبر کمتر فراهم می‌کنه.

چه چیزی رو باید یاد بگیری

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۸.۳: انرژی پتانسیل الاستیکی

فنرها انرژی رو در تغییرشکل‌شان ذخیره می‌کنن، قانون هوک رو اطاعت می‌کنن. §۸.۳ انرژی پتانسیل الاستیکی \( U = \frac{1}{2}kx^2 \) رو تفصیلی توسعه می‌ده، نوسان‌گر هارمونیک رو کاوش می‌کنه، و بررسی می‌کنه چطور فنرها و گرانش می‌تونن در سیستم‌های واقعی ترکیب بشن (بنجی جهش، سیستم‌های جرم‌فنر).

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 8, §8.2 — Gravitational Potential Energy. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 8.3: Gravitational Potential Energy. 🎓 ویدیو: MIT 8.01 Lecture 12 (Walter Lewin) — "Gravitational Potential Energy and Escape Velocity".

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.