پرتابه یعنی هر جسمی که فقط تحت نیروی گرانش حرکت میکنه (بدون مقاومت هوا). مثال: توپ فوتبال، تیر و کمان، آبفشان، پرتاب گلوله. کاربرد کلاسیک §۴.۱ و §۴.۲.
معادلات بنیادی
محور x افقی، y عمودی (رو به بالا مثبت). شتاب فقط رو به پایین:
\[ \vec a = -g\hat j = 0\hat i - 9.8\hat j\ \mathrm{m/s^2} \]
سرعت اولیه با اندازه v_0 و زاویه \theta_0 از افق:
\[ v_{0x} = v_0 \cos\theta_0,\quad v_{0y} = v_0 \sin\theta_0 \]
معادلات کامل:
\[ x(t) = v_{0x}\, t \]
\[ y(t) = v_{0y}\, t - \frac{1}{2} g t^2 \]
\[ v_x(t) = v_{0x}\ (\text{ثابت!}) \]
\[ v_y(t) = v_{0y} - g t \]
اصل استقلال دو حرکت
حرکت افقی: یکنواخت — v_x هرگز تغییر نمیکنه.
حرکت عمودی: سقوط آزاد — مثل §۲.۵.
زمان اوج، ارتفاع اوج
زمان اوج (وقتی v_y = 0):
\[ t_\text{اوج} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sin\theta_0}{g} \]
ارتفاع اوج:
\[ y_\text{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2\theta_0}{2g} \]
زمان کل پرواز و برد
اگه پرتابه در همون ارتفاع اولیه فرود بیاد (یعنی y = 0 در انتها):
زمان کل پرواز:
\[ T = \frac{2 v_{0y}}{g} = \frac{2 v_0 \sin\theta_0}{g} \]
برد افقی:
\[ R = v_{0x}\, T = \frac{2 v_0^2 \sin\theta_0 \cos\theta_0}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta_0)}{g} \]
نتیجهی مهم: برد وقتی بیشترین میشه که \sin(2\theta_0) = 1، یعنی 2\theta_0 = 90°، یعنی:
\[ \boxed{\theta_0 = 45°\ \text{برای بیشترین برد}} \]
معادلهی مسیر
با حذف t بین x(t) و y(t):
\[ y = x \tan\theta_0 - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta_0} \]
این پارابولاست — همون شکل هندسی که تجربه میکنی.
مثال کامل — پرتاب توپ بیسبال
سناریو: توپ با v_0 = 30 m/s در \theta_0 = 40° از ارتفاع y_0 = 1 m پرتاب میشه. کجا فرود میآد، در چه زمانی، با چه سرعتی؟
تجزیه:
v_{0x} = 30 \cos 40° \approx 22.98\ m/sv_{0y} = 30 \sin 40° \approx 19.28\ m/s
فرود در y = 0:
\[ 0 = 1 + 19.28 t - 4.9 t^2 \]
حل معادلهی درجه ۲:
\[ t = \frac{19.28 + \sqrt{19.28^2 + 4 \cdot 4.9 \cdot 1}}{2 \cdot 4.9} = \frac{19.28 + 19.78}{9.8} \approx 3.99\ s \]
برد افقی: x = 22.98 \cdot 3.99 \approx 91.7\ m
سرعت هنگام برخورد:
v_x = 22.98\ m/s(ثابت)v_y = 19.28 - 9.8 \cdot 3.99 \approx -19.82\ m/s- تندی:
\sqrt{22.98^2 + 19.82^2} \approx 30.3\ m/s(کمی بیشتر از سرعت اولیه، چون ارتفاع فرود کمتر از ارتفاع پرتاب)
نکات مهم
۱. مقاومت هوا نادیده گرفته شد. در دنیای واقعی برای اجسام سبک یا سرعت بالا، اثر مهمه.
۲. متقارن بودن مسیر: اگه فرود در همون ارتفاع پرتاب باشه، زمان بالا رفتن = زمان پایین آمدن، و سرعت فرود = سرعت پرتاب.
۳. برد بیشینه در 45° — فقط اگه ارتفاع پرتاب = ارتفاع فرود. اگه از ارتفاع بلندتر پرتاب کنی، بیشینه در زاویهی کمتر از 45° میشه.
۴. اگه هوا رو حساب کنی، ۴۵ درجه دیگه بهینه نیست — معمولاً کمتر (~۳۵-۴۰°).
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- تجزیهی سرعت اولیه به مؤلفههای
xوy - محاسبهی زمان اوج، ارتفاع اوج، زمان کل، برد افقی
- استفاده از معادلهی مسیر پارابولی
- بهینهسازی زاویه برای بیشترین برد
پیشنمایش §۴.۴
نوع دوم حرکت ۲ بعدی کلاسیک: حرکت دایرهای یکنواخت. تندی ثابت، ولی جهت دائم تغییر — پس شتاب مرکزگرا. §۴.۴.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 4, §4.3 — Projectile Motion.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.