بیست مسئله بدون راهحل قدمبهقدم، در سه سطح. جوابهای نهایی در انتها.
⭐ ۱ (§۴.۱) — ذره در (-2, 3, 5). بردار موقعیت و اندازهاش؟
⭐ ۲ (§۴.۱) — از (1, 1) به (4, -3). جابهجایی، اندازه، زاویه؟
⭐ ۳ (§۴.۲) — \vec r(t) = 2t\hat i + t^2 \hat j. \vec v(t) و \vec a(t)؟
⭐ ۴ (§۴.۳) — پرتاب افقی از ارتفاع 20 m با v_0 = 15 m/s. زمان فرود، برد؟
⭐⭐ ۵ (§۴.۳) — پرتاب با v_0 = 30 m/s در \theta = 60°. حداکثر ارتفاع، برد؟
⭐⭐ ۶ (§۴.۳) — دو پرتاب همزمان از پنجرهی همون ارتفاع، یکی افقی با v = 5 m/s، یکی رها. کدوم زودتر فرود؟
⭐⭐ ۷ (§۴.۳) — پرتاب توپ به ارتفاع سقف 4 m بالای ارتفاع اولیه. زاویهی حداقل با v_0 = 12 m/s؟
⭐⭐ ۸ (§۴.۴) — ماشین با تندی 54 km/h روی پیچی به شعاع 50 m. a_c؟
⭐⭐ ۹ (§۴.۴) — کرهای با شعاع 0.3 m که ۳ بار در ثانیه دور میزنه. تندی نقطهی روی سطح؟ a_c؟
⭐⭐ ۱۰ (§۴.۵) — هواپیما 200 km/h به سمت شمال. باد 50 km/h از شرق. سرعت نسبت به زمین؟
⭐⭐ ۱۱ (§۴.۵) — دو دوچرخهسوار: A با 10 m/s شرق، B با 10 m/s شمال. سرعت B نسبت به A؟
⭐⭐ ۱۲ (§۴.۳) — پرتاب از ارتفاع H با سرعت اولیهی صفر. با استفاده از v = \sqrt{2gH}، سرعت برخورد از H = 45 m؟
⭐⭐⭐ ۱۳ (§۴.۳) — پرتاب با v_0 = 40 m/s در \theta = 30° از پرتگاه 50 m بالای دشت. برد افقی روی دشت؟
⭐⭐⭐ ۱۴ (§۴.۳) — نشون بده حداکثر برد در پرتاب از ارتفاع h بالای سطح در زاویهی \theta^* = \arctan(v_0/\sqrt{v_0^2 + 2gh}) میشه.
⭐⭐⭐ ۱۵ (§۴.۴) — ماهوارهای که هر 95 min یه بار دور زمین میچرخه. شعاع مدار (به کیلومتر)؟ (GM = 4 \times 10^{14} m^3/s^2)
⭐⭐⭐ ۱۶ (§۴.۵) — قایقی میتونه 5 m/s رو حرکت کنه، رودخانه 3 m/s. برای رسیدن به نقطهای دقیقاً روبهرو و 100 m عرض، حداقل زمان چقدر ـه؟ (پیشآمد: در چه زاویهای؟)
⭐⭐⭐ ۱۷ (§۴.۳) — سرباز با تانک روبروش با فاصلهی 1 km میبینه. توپ تفنگش میتونه گلوله رو با v_0 = 500 m/s در هر زاویهای شلیک کنه. برای زدن تانک با کدوم زاویه (بیمقاومت هوا)؟
⭐⭐⭐ ۱۸ (§۴.۴) — کرهای که آویزون از یه ریسمان L = 1 m روی سطح افقی میچرخه (مثل آونگ کِپلر). زاویهی ریسمان 30° از عمود ـه. تندی چقدر ـه؟
⭐⭐⭐ ۱۹ (§۴.۲) — ذرهای با \vec v(t) = \omega(-\sin\omega t\hat i + \cos\omega t \hat j). مسیرش چه شکلی ـه؟ شتاب رو بگیر و ببین جهتش کجاست.
⭐⭐⭐ ۲۰ (§۴.۵ + §۴.۳) — قایقی روی رودخانهای که با v_R = 2 m/s جریان داره. توپی رو داخل قایق به بالا با v = 8 m/s پرتاب میکنی. کجا فرود میآد؟
جوابها
۱) \vec r = -2\hat i + 3\hat j + 5\hat k, اندازه \sqrt{38} \approx 6.16.
۲) 3\hat i - 4\hat j, اندازه ۵, زاویه -53.1°.
۳) \vec v = 2\hat i + 2t\hat j, \vec a = 2\hat j.
۴) t \approx 2.02 s, x \approx 30.3 m.
۵) y_\text{max} \approx 34.4 m, R \approx 79.5 m.
۶) همزمان — سرعت افقی روی سقوط عمودی اثر نداره.
۷) حساب: \sin\theta \geq \sqrt{2gh}/v_0. با h=4, v_0=12: \sin\theta \geq 0.744 \Rightarrow \theta \geq 48.1°.
۸) v = 15 m/s, a_c = 225/50 = 4.5 m/s^2.
۹) v = 2\pi(0.3)(3) \approx 5.65 m/s, a_c = v^2/r \approx 106.6 m/s^2.
۱۰) \vec v_{هواپیما/زمین} = 0\hat i + 200\hat j + (-50\hat i + 0\hat j)/(\text{از شرق باد یعنی به غرب}). مجموع: -50\hat i + 200\hat j. اندازه \sqrt{2500+40000}=\sqrt{42500} \approx 206 km/h, زاویه ~104°.
۱۱) \vec v_{B/A} = -10\hat i + 10\hat j, اندازه 10\sqrt{2} \approx 14.1 m/s.
۱۲) v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 45} = 29.7 m/s.
۱۳) v_{0x}=34.6, v_{0y}=20. حل درجه ۲: 0 = 50 + 20t - 4.9t^2 \Rightarrow t \approx 5.83s, R \approx 202 m.
۱۴) اثبات با گرفتن مشتق R(\theta) نسبت به \theta و صفر گذاشتن.
۱۵) T = 5700 s. از T = 2\pi\sqrt{r^3/GM} \Rightarrow r^3 = GMT^2/4\pi^2 \Rightarrow r \approx 6.9 \times 10^6 m \approx 6900 km.
۱۶) حداقل زمان با هدفگیری عمود بر جریان: t = 100/5 = 20 s. ولی جریان 2 m/s منحرف میکنه — 40 m پاییندست. اگه بخوای دقیقاً روبهرو برسی، هدفگیری با \sin\theta = 3/5 \Rightarrow \theta = 36.9° بالادست، سرعت واقعی 4 m/s, زمان 25 s.
۱۷) x = 1000 = v_0^2\sin(2\theta)/g = 500^2\sin(2\theta)/9.8. \sin(2\theta) = 9800/250000 = 0.0392 \Rightarrow 2\theta \approx 2.25°, \theta \approx 1.12°.
۱۸) T\cos 30° = mg, T\sin 30° = mv^2/r که r = L\sin 30° = 0.5 m. تقسیم: \tan 30° = v^2/(gr), v = \sqrt{gr\tan 30°} \approx 1.68 m/s.
۱۹) مسیر دایرهای (اندازهی \vec v ثابت). \vec a = \omega^2(-\cos\omega t\hat i - \sin\omega t\hat j) = -\omega^2 \vec r/|\vec r| — به سمت مرکز.
۲۰) توپ در قاب قایق مستقیم بالا و پایین میآد، از دید ناظر روی ساحل پارابولا میکشه. زمان کل T = 2v/g = 1.63 s. جابهجایی افقی قایق: 2 \cdot 1.63 = 3.27 m. توپ در همون نقطهی قایق فرود میآد (مثل پرتابه از داخل قطار).
پیشنمایش §۴.۸
منابع تکمیلی برای عمقبخشی به کینماتیک ۲/۳ بعدی.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 4 — Problems.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.