نیوتون در ۱۶۸۷، در کتاب Principia، شکل قانون گرانش رو نوشت:
\[ F = G\,\frac{M m}{r^2} \]
ولی چطور به این رسید؟ نه با یه ضربهی الهامی یهویی (سیب یه استعارهست، نه دلیل واقعی)، بلکه با یه استدلال ریاضی روشن: قوانین کِپلر + قانون دوم نیوتون + تقریب مدار دایرهای = قانون 1/r². در این پیوست همون استدلال رو دنبال میکنیم.
نقطهی شروع: قوانین کِپلر (~۱۶۰۹-۱۶۱۹)
کِپلر ۷۰ سال قبل از نیوتون، سه قانون تجربی دربارهی مدار سیارهها دور خورشید کشف کرده بود:
- مدار سیارهها بیضیست، خورشید در یکی از کانونهاست.
- خطی که سیاره رو به خورشید وصل میکنه، در زمانهای مساوی، مساحتهای مساوی میپیمایه. (قانون سرعت متغیر — سیاره نزدیک خورشید سریعتره)
- مربع دورهی تناوب مدار متناسب با مکعب نیمقطر بزرگ ـه:
\[ T^2 = k\, a^3 \]
که
kبرای همهی سیارههای خورشید یکسان ـه. یعنی همهشون از یه قانون تبعیت میکنن — این نشونهی نیرویی مرکزیه.
قانون سوم مهمترین ورودی نیوتون بود. بذار ببینیم چرا.
سادهسازی: مدار دایرهای
مدار بیشتر سیارهها (بهجز عطارد و مریخ) تقریباً دایرهایست — خارج از مرکزی (eccentricity) کوچیکه. برای زمین، e ≈ 0.017 — تقریباً دایره. برای سادگی، مدار دایرهای با شعاع r میگیریم؛ نتیجه رو بعداً برای بیضی هم میشه نشون داد که همونطور میمونه.
در مدار دایرهای، سیاره با تندی ثابت v دور خورشید میچرخه. طول مدار 2πr ـه و دورهاش T:
\[ v = \frac{2\pi r}{T} \]
سیاره در مدار دایرهای، به سمت مرکز (خورشید) شتاب مرکزگرا داره:
\[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(2\pi r/T)^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \]
ترکیب: قانون سوم کِپلر با شتاب مرکزگرا
از قانون سوم کِپلر: T² = k·r³. جایگذاری در فرمول شتاب:
\[ a_c = \frac{4\pi^2 r}{k\, r^3} = \frac{4\pi^2}{k}\cdot \frac{1}{r^2} \]
نتیجهی ستونشکن:
\[ \boxed{a_c \propto \frac{1}{r^2}} \]
شتاب یه سیاره به سمت خورشید، با مربع فاصله معکوس ـه. این همون قانون 1/r² ـه — قبل از اینکه حتی از «نیرو» حرف بزنیم، فقط از هندسهی مدار و کِپلر درش آوردیم.
گذار به «نیرو»: قانون دوم نیوتون
از F = ma (قانون دوم)، اگه سیاره جرم m داره و شتاب a_c میگیره، نیرویی که خورشید بهش وارد میکنه:
\[ F = m a_c \propto \frac{m}{r^2} \]
پس نیروی جاذبهی خورشید بر سیارهای به جرم m و فاصلهی r، متناسب با m/r² ـه.
سوم شخص: چرا M (جرم خورشید) هم توش هست؟
استدلال بالا فقط m (جرم سیاره) رو داد. کجای عبارت GMm/r²، M میآد؟
جواب زیبای نیوتون — قانون سومش (کنش-واکنش):
- خورشید سیاره رو با نیرویی
F = GMm/r²میکشه. - طبق قانون سوم، سیاره هم خورشید رو با همون بزرگی نیرو میکشه.
- ولی اگه استدلال بالا رو از دید خورشید بازی کنی (خورشید تحت جاذبهی سیاره)، نیرو باید متناسب با
Mباشه (جرم چیزی که داره کشیده میشه — یعنی خورشید).
هر دو جمله باید همزمان درست باشن:
F ∝ m/r²(خورشید روی سیاره)F ∝ M/r²(سیاره روی خورشید)
تنها راه: F ∝ Mm/r². یعنی هر دو جرم توش باشن، متقارن. یه ثابت تناسب لازمه — نیوتون اسمشو G گذاشت:
\[ F = G\,\frac{Mm}{r^2} \]
ولی نیوتون G رو نداشت
توجه کن که در استدلال بالا هیچوقت عدد G رو محاسبه نکردیم. کِپلر ثابت k رو داد، شتاب مرکزگرا 4π²r/T² رو داد، ولی نسبت بین اینها فقط شکل قانون رو مشخص کرد، نه مقدار.
نیوتون ۱۱۱ سال قبل از اینکه کاوندیش عدد G رو پیدا کنه، مُرد. در دورهی نیوتون، عدد G مجهول بود — و بنابراین جرم مطلق خورشید یا زمین هم مجهول بود. فقط نسبتها معلوم بود (M_Sun/M_Earth ≈ 330000).
اگه با کِپلر و a_c = 4π²r/T² بازی کنی، حاصلضرب GM_Sun رو میتونی حساب کنی (پارامتر گرانشی استاندارد خورشید):
\[ G M_\odot = 4\pi^2 r^3 / T^2 \approx 1.33 \times 10^{20}\ \mathrm{m^3/s^2} \]
ولی G و M_Sun جدا از هم بیرون نمیآن. برای جدا کردنشون، باید G رو مستقل اندازه گرفت — کاری که کاوندیش ۱۰۰ سال بعد کرد (پیوست ۲).
«تست ماه»: نقطهی پیروزی نیوتون
نیوتون به این نقطه که رسید، یه چالش شخصی داشت: آیا این «نیروی مرکزی» که سیارهها رو دور خورشید نگه میداره، همون نیروی گرانش ـه که سیب رو میکشه؟ اگه بله، پس یه قانون جهانی داریم.
استدلال نیوتون:
اگه قانون 1/r² صحیح باشه، شتاب گرانشی روی جسمی به فاصلهی r از مرکز زمین باید متناسب با 1/r² باشه. پس اگه سیبی روی سطح زمین شتاب g رو تجربه میکنه، ماه در فاصلهی r_moon باید شتاب کوچیکتری داشته باشه:
\[ \frac{a_\text{moon}}{g} = \frac{R_E^2}{r_\text{moon}^2} \]
اعداد در دسترس نیوتون:
g ≈ 9.8 m/s²(از گالیله — روش اندازهگیریش رو ببین)R_E ≈ 6.37 × 10⁶ m(از اراتوستنس و اندازهگیریهای بعدی)r_moon ≈ 3.84 × 10⁸ m(از پارالاکس ستارهشناسی)T_moon ≈ 27.3 روز ≈ 2.36 × 10⁶ s(از رصد)
پیشبینی از قانون 1/r²:
\[ \frac{r_\text{moon}}{R_E} \approx 60.3 \]
\[ a_\text{moon}^\text{predicted} = \frac{g}{60.3^2} \approx \frac{9.8}{3636} \approx 2.70 \times 10^{-3}\ \mathrm{m/s^2} \]
اندازهگیری مستقیم از مدار ماه (فرض دایرهای):
\[ a_\text{moon}^\text{measured} = \frac{4\pi^2\, r_\text{moon}}{T_\text{moon}^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 3.84 \times 10^8}{(2.36 \times 10^6)^2} \approx 2.72 \times 10^{-3}\ \mathrm{m/s^2} \]
تطابق! پیشبینی 2.70، اندازهگیری 2.72 — تفاوت کمتر از ۱٪. این یعنی همون نیرویی که سیب رو میکشه، ماه رو در مدار نگه میداره. قانون جهانی ثابت شد.
نیوتون خودش گفته که این نتیجه رو در ۱۶۶۶ (وقتی ۲۳ ساله بود) دید — ولی برای انتشار ۲۰ سال منتظر موند تا هم ریاضیش رو کامل کنه و هم اندازهگیری بهتری از R_E بهدست بیاره.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
بعد از این پیوست باید بتونی:
- قانون سوم کِپلر (
T² ∝ r³) رو با شتاب مرکزگرا (4π²r/T²) ترکیب کنی و بهa ∝ 1/r²برسی - توضیح بدی چرا در
F = G·Mm/r²، دو جرم ظاهر میشن — نه فقط یکی (استدلال از قانون سوم نیوتون) - تفاوت «شکل قانون» (که نیوتون داد) و «ثابت G» (که کاوندیش داد) رو تشخیص بدی
- بگی چرا
M_Eتا ۱۷۹۸ مجهول بود - تست ماه رو با اعداد بسازی — پیشبینی از
1/r²و مقایسه با اندازهگیری مستقیم
پیشنمایش پیوست ۲
حالا که قانون داریم، ولی هنوز عدد G نداریم، تنها راهش اینه که مستقیماً در آزمایشگاه، نیروی گرانشی بین دو جرم معلوم رو اندازه بگیریم. مشکل: این نیرو خیلی کوچیکه — برای دو گلولهی ۱ کیلوگرمی به فاصلهی ۱ متر، حدود 10⁻¹⁰ N. چطور میشه یه نیروی اینقدر ضعیف رو در حضور اصطکاک، جریان هوا، و ارتعاش زمین اندازه گرفت؟
جواب کاوندیش: ترازوی پیچشی — یه ایدهی خلاقانه که در پیوست ۲ میبینیم.
📚 مرجع اصلی: Isaac Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687 — Book III, Propositions 1-8. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — §13.1: Newton's Law of Universal Gravitation. 📖 Feynman Lectures Vol I — Ch 7: The Theory of Gravitation (§7-4 تست ماه با جزئیات خواندنی).
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.