یک جسمِ ساکن لذتبخش است. اما چه زمانی یک جسم ساکن میماند؟ وقتی تمام نیروهای بیرونی متوازن باشند.
تعریف تعادل
جسمی در تعادل ایستایی (static equilibrium) است اگر:
- تعادلِ انتقالی: مجموع تمام نیروهای بیرونی صفر باشد
- تعادلِ دورانی: مجموع تمام گشتاورهای بیرونی صفر باشد
ریاضیاتی:
\[ \sum \vec F = 0 \]
\[ \sum \vec \tau = 0 \]
شرط اول: موازنهٔ نیروها
اگر مجموع نیروها صفر نباشد، جسم تسریع میکند (از قانونِ دوم نیوتون):
\[ \sum \vec F = m\vec a \]
اگر میخواهیم \( \vec a = 0 \)، آنگاه:
\[ \sum \vec F = 0 \]
شرط دوم: موازنهٔ گشتاورها
اگر مجموع گشتاورها صفر نباشد، جسم چرخشگیری میکند:
\[ \sum \vec \tau = I\vec \alpha \]
اگر میخواهیم \( \vec \alpha = 0 \)، آنگاه:
\[ \sum \vec \tau = 0 \]
مهم: گشتاور به انتخابِ محور بستگی دارد. لکن اگر مجموع گشتاورها حول یک محور صفر باشد، و تمام نیروهای دیگر متوازن باشند، آنگاه مجموع گشتاورها حول هر محورِ دیگری نیز صفر است.
مثال ساده: یک کتاب روی میز
یک کتاب وزن W = mg = 10 N روی میزِ افقی ایستاده است.
نیروهای عملکننده:
- نیروی گرانش: \( W \) (پایین)
- نیروی عمودی میز: \( N \) (بالا)
شرط اول (نیروها): \[ \sum F_y = N - W = 0 \] \[ N = W = 10 \text{ N} \]
شرط دوم (گشتاورها):
هر دوی نیروها از مرکزِ جرمِ کتاب عبور میکنند (اگر میز کاملاً یکنواخت فشار دهد). پس گشتاورهای آنها:
\[ \tau_W = 0 \quad (\text{از محور میگذرد}) \] \[ \tau_N = 0 \]
بنابراین کتاب تعادل دارد.
مثال دشوارتر: سیم و وزنه
دو سیم از سقفِ آویخته شدند. یک وزنهٔ W = 100 N از سیمها آویخته است. هر دو سیم عمودی هستند.
نیروهای عملکننده (روی وزنه):
- وزن: \( W = 100 \) N (پایین)
- کشش سیمِ چپ: \( T_L \) (بالا)
- کشش سیمِ راست: \( T_R \) (بالا)
شرط اول: \[ T_L + T_R - W = 0 \] \[ T_L + T_R = 100 \text{ N} \]
اگر سیمها برابر باشند: \[ T_L = T_R = 50 \text{ N} \]
شرط دوم:
اگر محورِ دورانی را مرکزِ وزنه انتخاب کنیم، هر سه نیرو از محور میگذرند:
\[ \sum \tau = 0 \]
(گشتاور صفر است!)
تفاوتِ انتخابِ محور
نکتهٔ اساسی: اگر از \( \sum \vec F = 0 \) و یک محورِ خاص استفاده کنید و \( \sum \vec \tau = 0 \) را پیدا کنید، این برای همهٔ محورهای دیگری نیز درست است.
اثبات: فرض کنید \( \sum \vec F = 0 \). حول دو محورِ متفاوت A و B:
\[ \sum \tau_A = \sum \vec r_A \times \vec F \] \[ \sum \tau_B = \sum \vec r_B \times \vec F \]
اگر \( \sum \vec F = 0 \): \[ \sum \tau_B = \sum (\vec r_B - \vec r_A + \vec r_A) \times \vec F \] \[ = \sum (\vec r_B - \vec r_A) \times \vec F + \sum \vec r_A \times \vec F \] \[ = (\vec r_B - \vec r_A) \times \sum \vec F + \sum \tau_A \] \[ = 0 + \sum \tau_A \]
پس: اگر \( \sum F = 0 \)، آنگاه \( \sum \tau_A = 0 \) اگر و تنها اگر \( \sum \tau_B = 0 \) برای هرِ محورِ B.
استراتژیِ حل مسائل
برای حل یک مسئلهٔ تعادل:
- نیروها را شناسایی کن: تمام نیروهای بیرونی را لیست کن
- اجزا: نیروها را به اجزایِ x و y تقسیم کن
- معادلات: \( \sum F_x = 0 \) و \( \sum F_y = 0 \)
- محور را انتخاب کن: معمولاً نقطهٔ ناشناختهٔ نیرو را انتخاب کن تا گشتاورِ آن صفر شود
- معادلهٔ گشتاور: \( \sum \tau = 0 \)
- حل: از معادلات استفاده کرده غیرشناختهها را پیدا کن
خطاهای رایج
- فراموشی محور: هنگام استفاده از \( \sum \tau = 0 \)، محورِ دورانی را مشخص کن
- نادیده انگاشتن واحد: تمام بازوهای گشتاور را از یک نقطهٔ مرجع اندازه بگیر
- علامتها: نیروهای بالارو مثبت و پایینرو منفی (یا برعکس)؛ گشتاورهای پادساعتگرد مثبت و ساعتگرد منفی
چه چیزی باید یاد گرفته باشی
- دو شرطِ تعادل: \( \sum \vec F = 0 \) و \( \sum \vec \tau = 0 \)
- تعادل هم انتقالی و هم دورانی است
- انتخابِ محور اختیاری است (اگر \( \sum \vec F = 0 \) و یک محور برابر است، همه برابراند)
- استراتژی: نیروها را بشمار، اجزا، معادلات، حل
پیشنمایش §۱۲.۲
اکنون میدانیم چه زمانی یک جسم تعادل دارد. اما کجا این تعادل عمل میکند؟ پاسخ: مرکزِ جرم (یا مرکزِ ثقل). بیایید ببینیم این نقطهٔ خاص کجاست و چرا مهم است.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 12, §12.1 — Equilibrium conditions. 🔗 پیوند پیشین: §4.2 (قانونِ دوم نیوتون)، §10.6 (گشتاور) — پایهٔ این بخش.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.