در ۱ بعد، موقعیت رو با یه عدد x توصیف کردیم. در ۲ یا ۳ بعد، به بردار موقعیت نیاز داریم که موقعیت جسم رو از یه مبدأ به نقطهی جسم میبره.
بردار موقعیت \vec r
\[ \vec r = x\hat i + y\hat j + z\hat k \]
تفسیر: دم بردار در مبدأ، سرش روی نقطهای که جسم توش قرار داره.
مثال: ذرهای در (3, 4, 5) m قرار داره. بردار موقعیتش:
\[ \vec r = 3\hat i + 4\hat j + 5\hat k\ \mathrm{m} \]
اندازه: r = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.07 m.
بردار جابهجایی \Delta \vec r
اگه جسمی از موقعیت \vec r_1 به \vec r_2 بره:
\[ \Delta \vec r = \vec r_2 - \vec r_1 = (x_2 - x_1)\hat i + (y_2 - y_1)\hat j + (z_2 - z_1)\hat k \]
تفسیر: بردار مستقیم از موقعیت اولیه به موقعیت نهایی — بدون توجه به مسیر پیمودهشده.
مثال: ذرهای از (1, 2, 3) به (4, 6, 2) میره. جابهجایی:
\[ \Delta \vec r = 3\hat i + 4\hat j - \hat k\ \mathrm{m} \]
اندازه: |\Delta \vec r| = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26} \approx 5.1 m.
مسافت vs جابهجایی
مثل ۱ بعد (§۲.۱)، مسافت طول مسیر واقعی ـه، جابهجایی مستقیم از ابتدا به انتها.
مثال: یه ذره از (0,0) به (3,0) میره، بعد به (3,4) میرسه.
- مسافت:
3 + 4 = 7 m - جابهجایی:
\Delta \vec r = 3\hat i + 4\hat j, اندازه\sqrt{9+16} = 5 m
اگه مسیر خیلی چرخنده باشه، مسافت بسیار بیشتر از اندازهی جابهجایی میشه.
مسیر — تابع بردار زمان
اگه جسمی حرکت میکنه، موقعیتش تابع زمانه:
\[ \vec r(t) = x(t)\hat i + y(t)\hat j + z(t)\hat k \]
هر مؤلفه یه تابع مستقل از زمان ـه. این کلید بزرگ: حرکت ۲/۳ بعدی رو میشه به سه حرکت مستقل ۱ بعدی تجزیه کرد.
مثال: پرتابهای در گرانش:
x(t) = v_{0x} t(حرکت افقی یکنواخت)y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2(حرکت عمودی با شتاب ثابت)
هر دو از فصل ۲ آشناست — فقط با هم روی یه ذره جمع میشن.
تفسیر گرافیکی — مسیر (Trajectory)
اگه بردار موقعیت رو در طول زمان رسم کنی، مسیر حرکت رو میکشی — یه منحنی در فضا.
نمونهها:
- حرکت خطی یکنواخت: خط راست
- پرتابه (بیمقاومت هوا): پارابولا
- حرکت دایرهای: دایره
- الکترون در میدان مغناطیسی: مارپیچ (helix)
چند نکته و اشتباه رایج
۱. بردار موقعیت وابسته به مبدأ ـه.
اگه مبدأ رو جابهجا کنی، \vec r عوض میشه ولی \Delta \vec r نه.
۲. مؤلفهها میتونن منفی باشن.
اگه جسم در ربع سوم (-5, -3) قرار داره، \vec r = -5\hat i - 3\hat j. علامتها مهمن.
۳. جابهجایی میتونه صفر باشه، ولی مسافت نه.
اگه جسمی حرکت کنه و برگرده به همون نقطه، \Delta \vec r = 0 ولی مسافت > 0.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- بردار موقعیت رو با مؤلفهها بنویسی
- جابهجایی رو با تفریق دو موقعیت محاسبه کنی
- مسافت vs جابهجایی رو تفکیک کنی
- مسیر رو بهعنوان مجموعهی نقاط
\vec r(t)در فضا تصور کنی - تجزیهی حرکت به مؤلفههای مستقل رو بشناسی
پیشنمایش §۴.۲
مشتق \vec r(t) نسبت به زمان، بردار سرعت رو میده. مشتق دوم، بردار شتاب. §۴.۲ میآد.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 4, §4.1 — Position and Displacement.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.