جمع برداری با مؤلفه‌ها

با ابزار مؤلفه‌ها (§۳.۳)، جمع برداری به جمع اسکالر ساده روی هر محور تبدیل می‌شه. این روش، هم دقیق‌تر از هندسی و هم قابل مقیاس‌پذیر برای تعداد زیاد بردار.

قاعده‌ی طلایی

اگه \vec a = a_x \hat i + a_y \hat j و \vec b = b_x \hat i + b_y \hat j، آنگاه:

$$
\boxed{\vec a + \vec b = (a_x + b_x)\hat i + (a_y + b_y)\hat j}
$$

در سه بعد: یه معادله‌ی سومی برای z اضافه کن. همین.

استدلال: \hat i و \hat j مستقل‌ان (متعامد). پس مؤلفه‌های x و y رو جدا جمع می‌کنیم.

استراتژی ۴ مرحله‌ای

برای هر مسئله‌ی جمع برداری:

1. محورها رو انتخاب کن — معمولاً x افقی، y عمودی. برای مسائل با سطح شیبدار، ممکنه محور مایل بهتر باشه.
2. هر بردار رو به مؤلفه تجزیه کن — a_x = a \cos\theta_a, a_y = a \sin\theta_a و همین برای \vec b.
3. مؤلفه‌ها رو جمع کن — c_x = a_x + b_x, c_y = a_y + b_y.
4. از مؤلفه‌ها برگرد به اندازه و زاویه — c = \sqrt{c_x^2 + c_y^2}, \theta_c = \arctan(c_y / c_x).

مثال ۱ — سه نیرو روی یه جسم

سناریو: یه جسم تحت سه نیرو:
– \vec F_1 = 30 N در 0° (به سمت شرق)
– \vec F_2 = 40 N در 90° (به سمت شمال)
– \vec F_3 = 20 N در 150° (شمال‌غربی)

نیروی خالص چقدر ـه؟

تجزیه:

$$
F_{1x} = 30 \cos 0° = 30,\quad F_{1y} = 30 \sin 0° = 0
$$

$$
F_{2x} = 40 \cos 90° = 0,\quad F_{2y} = 40 \sin 90° = 40
$$

$$
F_{3x} = 20 \cos 150° = -17.3,\quad F_{3y} = 20 \sin 150° = 10
$$

جمع:

$$
F_x = 30 + 0 – 17.3 = 12.7\ \mathrm{N}
$$

$$
F_y = 0 + 40 + 10 = 50\ \mathrm{N}
$$

اندازه:

$$
F = \sqrt{12.7^2 + 50^2} = \sqrt{161 + 2500} = \sqrt{2661} \approx 51.6\ \mathrm{N}
$$

زاویه:

$$
\theta = \arctan(50 / 12.7) \approx 75.7°
$$

نتیجه: نیروی خالص ~51.6 N در ~75.7° (تقریباً شمال، کمی شرق).

مثال ۲ — بازیابی از مؤلفه‌ها

سناریو: جابه‌جایی کلی جسم \vec d = -4\hat i + 3\hat j\ \mathrm{m}. اندازه و زاویه چقدر ـه؟

$$
d = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m}
$$

$$
\tan\theta = 3 / (-4) = -0.75
$$

ماشین‌حساب می‌ده \theta \approx -36.9°. ولی مؤلفه‌ها می‌گن d_x < 0, d_y > 0 — یعنی ربع دوم. پس زاویه‌ی درست:

$$
\theta = 180° – 36.9° = 143.1°
$$

درس: همیشه با علامت‌ها زاویه رو دوباره بررسی کن.

تفریق

$$
\vec a – \vec b = (a_x – b_x)\hat i + (a_y – b_y)\hat j
$$

قاعده‌ی مؤلفه یکسان — فقط علامت \vec b عوض می‌شه.

ضرب اسکالر

اگه k یه اسکالر باشه (عدد ساده)، k \vec a یه بردار می‌ده:

$$
k \vec a = (k a_x) \hat i + (k a_y) \hat j
$$

• اگه k > 0: جهت حفظ، اندازه ضرب در |k|
• اگه k < 0: جهت معکوس، اندازه ضرب در |k|
• اگه k = 0: بردار صفر

چند نکته و اشتباه رایج

۱. با علامت‌ها دقیق باش.
cos(120°) = -0.5 نه +0.5. تنظیمات ماشین‌حساب (درجه یا رادیان) رو دوباره چک کن.

۲. برای مسائل با سطح شیبدار، محور مایل بگیر.
اگه جسم روی سطح شیبدار حرکت می‌کنه، محور x رو در امتداد سطح و y عمود بر سطح بگیر. نیروی جاذبه رو با mg\sin\theta و mg\cos\theta تجزیه کن.

۳. مؤلفه‌ی صفر یعنی چی؟
اگه \vec c = 0\hat i + 3\hat j، بردار در راستای y ـه. اگه هر دو صفر: بردار صفر.

۴. سه بعد به سختی نیست.
اضافه کردن مؤلفه‌ی z هیچ چیز رو پیچیده نمی‌کنه. فقط یه معادله‌ی اضافی: c_z = a_z + b_z.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این بخش باید بتونی:

• قاعده‌ی جمع مؤلفه‌ها رو با فرمول بنویسی و توضیح بدی چرا کار می‌کنه
• استراتژی ۴ مرحله‌ای رو روی مسائل ۳-۵ بردار پیاده کنی
• تشخیص بدی که کدوم ربع، زاویه‌ی درست رو می‌ده
• ضرب اسکالر بردار رو محاسبه کنی و بدونی چه اثری بر جهت و اندازه داره

پیش‌نمایش §۳.۵

با ابزار جمع، حالا سؤال بعدی: چطور دو بردار رو ضرب کنیم؟ دو نوع ضرب برداری وجود داره:
– ضرب داخلی (اسکالر): نتیجه یه اسکالر می‌ده. برای «مقدار پروجکشن» و کار استفاده می‌شه
– ضرب خارجی (برداری): نتیجه یه بردار می‌ده. برای گشتاور و تکانه‌ی زاویه‌ای استفاده می‌شه

§۳.۵ ضرب داخلی رو معرفی می‌کنه.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 3, §3.4 — Adding Vectors by Components.