ضرب داخلی (اسکالر)

دو راه ضرب دو بردار وجود داره — و از نظر فیزیکی هر دو مفیدن. ضرب داخلی (اسکالر) نتیجه‌ای عدد می‌ده — اسکالر. برای کارها که به «مقدار پروجکشن» یا «مؤلفه‌ی موازی» می‌ره — از کار (نیرو در مسافت) تا شار (میدان در مساحت) — از این استفاده می‌شه.

تعریف

برای دو بردار \vec a و \vec b با زاویه‌ی \phi بین‌شون:

$$
\boxed{\vec a \cdot \vec b = |a||b|\cos\phi}
$$

نکته: نتیجه یه اسکالر ـه (نه بردار). و می‌تونه مثبت، منفی، یا صفر باشه.

علامت‌ها:
– \phi < 90°: نتیجه مثبت (بردارها «هم‌جهت» ـن)
– \phi = 90°: نتیجه صفر (بردارها متعامد)
– \phi > 90°: نتیجه منفی (بردارها «واگرا» ن)

چرا «داخلی»؟

\vec a \cdot \vec b رو می‌شه به‌شکل هندسی تعبیر کرد: \vec a ضرب در مؤلفه‌ی \vec b که موازی \vec a ـه.

مؤلفه‌ی \vec b روی \vec a: b \cos\phi (پروجکشن).

$$
\vec a \cdot \vec b = a \times (\text{پروجکشن } \vec b \text{ روی } \vec a)
$$

فرم مؤلفه‌ای

اگه \vec a = a_x \hat i + a_y \hat j + a_z \hat k و \vec b = b_x \hat i + b_y \hat j + b_z \hat k:

$$
\boxed{\vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}
$$

فوق‌العاده ساده. فقط ضرب متناظر بعد جمع. توجه: هیچ عدد پیوسته‌ای نیست — مؤلفه‌ها جبری‌ان.

چرا این با تعریف اصلی سازگاره؟

استفاده از خواص بردارهای یکه:

• \hat i \cdot \hat i = 1 (چون cos 0° = 1 و اندازه‌ی هر یکه = ۱)
• \hat i \cdot \hat j = 0 (چون cos 90° = 0)

بسط \vec a \cdot \vec b:
$$
(a_x \hat i + a_y \hat j) \cdot (b_x \hat i + b_y \hat j) = a_x b_x (\hat i \cdot \hat i) + a_x b_y (\hat i \cdot \hat j) + a_y b_x (\hat j \cdot \hat i) + a_y b_y (\hat j \cdot \hat j)
$$

$$
= a_x b_x + 0 + 0 + a_y b_y = a_x b_x + a_y b_y\ ✓
$$

خواص

۱. جابه‌جایی‌پذیر:
$$
\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a
$$

۲. توزیع‌پذیر:
$$
\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c
$$

۳. با ثابت‌ها سازگار:
$$
(k \vec a) \cdot \vec b = k(\vec a \cdot \vec b)
$$

۴. با خود ضرب داخلی = مربع اندازه:
$$
\vec a \cdot \vec a = a^2
$$

که مفید برای تست تعامد: اگه \vec a \cdot \vec b = 0 و هیچ‌کدوم صفر نیستن، دو بردار عمود بر هم‌ان.

کاربرد فیزیکی ۱ — کار

اگه یه نیروی \vec F جسمی رو با جابه‌جایی \vec d جابه‌جا کنه، کار انجام‌شده:

$$
W = \vec F \cdot \vec d = F d \cos\phi
$$

تفسیر: فقط مؤلفه‌ی نیرو که موازی جابه‌جایی ـه کار می‌کنه. مؤلفه‌ی عمود، کار صفر.

مثال: یه بار 100 kg رو با نیروی 500 N در زاویه‌ی 30° بالای افق 10 m می‌کشی:

$$
W = 500 \cdot 10 \cdot \cos 30° = 5000 \cdot 0.866 \approx 4330\ \mathrm{J}
$$

اگه نیرو کاملاً افقی می‌بود (\phi = 0°): W = 5000 J. کشیدن با زاویه، کار مفید کمتر می‌ده.

کاربرد فیزیکی ۲ — زاویه بین دو بردار

از \vec a \cdot \vec b = |a||b|\cos\phi، می‌شه زاویه رو استخراج کرد:

$$
\cos\phi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|a||b|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}
$$

مثال: \vec a = 3\hat i + 4\hat j, \vec b = -2\hat i + 1\hat j.

$$
\vec a \cdot \vec b = 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
$$

$$
|a| = \sqrt{9 + 16} = 5,\quad |b| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
$$

$$
\cos\phi = \frac{-2}{5\sqrt{5}} \approx -0.179 \Rightarrow \phi \approx 100.3°
$$

تست تعامد

اگه دو بردار عمود بر هم باشن، ضرب داخلی‌شون صفر ـه. مثال: \vec a = 2\hat i + \hat j, \vec b = -\hat i + 2\hat j.

$$
\vec a \cdot \vec b = -2 + 2 = 0
$$

پس عمود بر هم. ابزار سریع برای بررسی تعامد.

چند نکته و اشتباه رایج

۱. ضرب داخلی نتیجه‌ی برداری نمی‌ده.
\vec a \cdot \vec b اسکالر ـه. اگه توی محاسبه بردار درآوردی، اشتباه کردی.

۲. صفر لزوماً به‌معنی صفر بودن یکی نیست.
\vec a \cdot \vec b = 0 می‌تونه یعنی: (الف) \vec a = 0، (ب) \vec b = 0، یا (پ) \vec a \perp \vec b. برای بردارهای غیرصفر، معنی سوم رو دارین.

۳. علامت اهمیت داره.
اگه ضرب داخلی منفی، بردارها زاویه‌ی تیزتر از 90° دارن. مثبت، تندتر از 90°.

۴. برای کار، فقط مؤلفه‌ی موازی مهمه.
اگه یه ماشین رو افقی هل می‌دی و ماشین هم افقی می‌ره، همه‌ی نیرو کار می‌کنه. اگه نیرو کاملاً عمود بر حرکت، هیچ کاری انجام نمی‌شه.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این بخش باید بتونی:

• تعریف ضرب داخلی رو با |a||b|\cos\phi بنویسی
• فرم مؤلفه‌ای a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z رو استفاده کنی
• کار مکانیکی رو با W = \vec F \cdot \vec d محاسبه کنی
• زاویه بین دو بردار رو از مؤلفه‌ها به دست بیاری
• تست تعامد رو انجام بدی
• علامت (+, -, 0) رو به رابطه‌ی زاویه‌ای مربوط کنی

پیش‌نمایش §۳.۶

نوع دوم ضرب: ضرب خارجی (برداری). برخلاف ضرب داخلی، این نتیجه یه بردار می‌ده — با جهتی که با قاعده‌ی دست راست مشخص می‌شه. برای گشتاور، تکانه‌ی زاویه‌ای، نیروی لورنتز روی الکترون — از این استفاده می‌شه. §۳.۶ می‌آد.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 3, §3.5 — Multiplying Vectors: Scalar Product.