تمرین‌ها — ۲۰ مسئله برای تسلط

بیست مسئله بدون راه‌حل قدم‌به‌قدم، در سه سطح دشواری. جواب‌های نهایی در انتها.

• ⭐ ساده — یه کاربرد مستقیم
• ⭐⭐ متوسط — چند مرحله، تفکیک، ترکیب
• ⭐⭐⭐ چالشی — ترکیب چند بخش

---

⭐ مسئله ۱ (§۳.۱)

سه کمیت از این‌ها که بردار ـن، و سه که اسکالر ـن رو انتخاب کن: چگالی، نیرو، دما، سرعت، حجم، شتاب، بار، تکانه.

⭐ مسئله ۲ (§۳.۲)

بردار \vec a طول ۵ داره و بردار \vec b طول ۳. اندازه‌ی بیشترین و کمترین ممکن |\vec a + \vec b| رو بگو.

⭐ مسئله ۳ (§۳.۳)

بردار \vec F = 100 N در 60° بالای افق. مؤلفه‌های F_x و F_y رو محاسبه کن.

⭐ مسئله ۴ (§۳.۳)

بردار در فرم مؤلفه: \vec r = 3\hat i - 4\hat j\ \mathrm{m}. اندازه و زاویه‌اش با محور +x؟

⭐⭐ مسئله ۵ (§۳.۴)

سه بردار: \vec a = 4\hat i + \hat j، \vec b = -2\hat i + 3\hat j، \vec c = \hat i - 5\hat j. مجموع \vec a + \vec b + \vec c را با فرم مؤلفه، اندازه و زاویه بده.

⭐⭐ مسئله ۶ (§۳.۴)

جسمی از نقطه‌ی (2, 5) به نقطه‌ی (-3, -1) جابه‌جا می‌شه. بردار جابه‌جایی و اندازه‌اش؟

⭐⭐ مسئله ۷ (§۳.۵)

\vec a = 3\hat i + 4\hat j و \vec b = 5\hat i - 12\hat j. \vec a \cdot \vec b و زاویه بین‌شون؟

⭐⭐ مسئله ۸ (§۳.۵)

بردارهای \vec a = 2\hat i + k\hat j و \vec b = 3\hat i + \hat j. برای چه مقدار k، این دو عمود بر هم‌ان؟

⭐⭐ مسئله ۹ (§۳.۵)

یه ماشین به مسافت 500 m روی جاده حرکت می‌کنه، در حالی که یه نیروی افقی 800 N بهش وارد می‌شه. کار انجام‌شده؟ اگه نیرو در زاویه‌ی 20° بالای حرکت باشه چه می‌شه؟

⭐⭐ مسئله ۱۰ (§۳.۶)

\hat i \times \hat j, \hat j \times \hat k, \hat k \times \hat i, \hat j \times \hat i رو بنویس (بدون محاسبه).

⭐⭐ مسئله ۱۱ (§۳.۶)

\vec a = \hat i + 2\hat j + 3\hat k، \vec b = 4\hat i + 5\hat j + 6\hat k. \vec a \times \vec b را حساب کن.

⭐⭐ مسئله ۱۲ (§۳.۶)

یه پیچ در مبدأ. نیروی \vec F = 10\hat j + 5\hat k در نقطه‌ی \vec r = 0.2\hat i وارد می‌شه. گشتاور؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۳ (§۳.۲)

یه هواپیما با سرعت 250 km/h نسبت به هوا در جهت شرق حرکت می‌کنه. باد 60 km/h به سمت جنوب‌غربی 225° می‌وزد. سرعت هواپیما نسبت به زمین؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۴ (§۳.۴)

سه نیرو روی جسمی وارد می‌شن که در حال تعادل ـه. اگه \vec F_1 = 30\hat i + 40\hat j و \vec F_2 = -50\hat i + 20\hat j، آنگاه \vec F_3 چه ـه؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۵ (§۳.۵)

بردارهای \vec a و \vec b هر دو اندازه‌ی ۵ دارن. اگه \vec a + \vec b طولش ۸ باشه، زاویه بین‌شون چقدر ـه؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۶ (§۳.۶)

مساحت مثلثی با رأس‌های A = (2, 0, 0)، B = (0, 3, 0)، C = (0, 0, 4)؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۷ (§۳.۵ + §۳.۶)

نشون بده اگه \vec a, \vec b, \vec c سه بردار دلخواه باشن:

$$
(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c)
$$

(این «حاصل‌ضرب سه‌گانه‌ی اسکالر» ـه — مساحت متوازی‌الاضلاع‌سه‌گانه.)

⭐⭐⭐ مسئله ۱۸ (§۳.۶)

یه ذره‌ی باردار q = 1.6 \times 10^{-19} C با سرعت \vec v = 10^6\hat i\ \mathrm{m/s} در میدان مغناطیسی \vec B = 0.5\hat k\ \mathrm{T} حرکت می‌کنه. نیروی لورنتز روش؟

⭐⭐⭐ مسئله ۱۹ (§۳.۳)

بردار در مختصات کروی با اندازه‌ی ۵، زاویه‌ی \theta = 60° از محور z، و زاویه‌ی \phi = 30° روی صفحه‌ی xy. مؤلفه‌های x, y, z؟

⭐⭐⭐ مسئله ۲۰ (چالش — §۳.۴ + §۳.۵)

اگه \vec a + \vec b = \vec c و \vec a \cdot \vec b = 0، اثبات کن که c^2 = a^2 + b^2 (فیثاغورث برداری).

---

جواب‌های نهایی

۱) بردار: نیرو، سرعت، شتاب، تکانه. اسکالر: چگالی، دما، حجم، بار.
۲) بیشترین: 8. کمترین: 2.
۳) F_x = 50 N, F_y = 86.6 N.
۴) r = 5 m, \theta = -53.1° (یا 306.9° — ربع چهارم).
۵) 3\hat i - \hat j, اندازه: \sqrt{10} \approx 3.16, زاویه: -18.4°.
۶) جابه‌جایی: -5\hat i - 6\hat j, اندازه: \sqrt{61} \approx 7.81 m.
۷) \vec a \cdot \vec b = 15 - 48 = -33, \cos\phi = -33/(5 \cdot 13) = -0.508, \phi \approx 120.5°.
۸) k = -6.
۹) افقی: 400,000 J. زاویه‌دار: 800 \cdot 500 \cos 20° \approx 375,900 J.
۱۰) \hat k, \hat i, \hat j, -\hat k.
۱۱) \vec a \times \vec b = -3\hat i + 6\hat j - 3\hat k.
۱۲) \vec \tau = -\hat j + 2\hat k\ \mathrm{N \cdot m}.
۱۳) مؤلفه‌ی هوا: 250\hat i. باد: 60 \cos 225° \hat i + 60 \sin 225° \hat j = -42.4\hat i - 42.4\hat j. مجموع: 207.6\hat i - 42.4\hat j, اندازه: 212 km/h, زاویه: -11.6° (کمی به سمت جنوب از شرق).
۱۴) \vec F_3 = 20\hat i - 60\hat j (چون مجموع باید صفر باشه).
۱۵) \cos\phi = (64 - 25 - 25)/(2 \cdot 5 \cdot 5) = 14/50 = 0.28, \phi \approx 73.7°.
۱۶) \vec{AB} = -2\hat i + 3\hat j, \vec{AC} = -2\hat i + 4\hat k. \vec{AB} \times \vec{AC} = 12\hat i + 8\hat j + 6\hat k, | \cdot | = \sqrt{244} \approx 15.6. مساحت: ~7.8.
۱۷) اثبات با فرم مؤلفه‌ای — هر دو طرف به a_x(b_y c_z - b_z c_y) + a_y(b_z c_x - b_x c_z) + a_z(b_x c_y - b_y c_x) می‌رسن.
۱۸) \vec F = q\vec v \times \vec B = 1.6 \times 10^{-19} \cdot 10^6 \cdot 0.5 (\hat i \times \hat k) = -8 \times 10^{-14}\hat j\ \mathrm{N}.
۱۹) x = 5 \sin 60° \cos 30° = 3.75, y = 5 \sin 60° \sin 30° = 2.17, z = 5 \cos 60° = 2.5.
۲۰) c^2 = |\vec a + \vec b|^2 = (\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) = a^2 + 2\vec a \cdot \vec b + b^2 = a^2 + b^2 (چون \vec a \cdot \vec b = 0).

پیش‌نمایش §۳.۹

منابع تکمیلی برای عمق‌بخشی به بردارها — کتاب‌ها، دوره‌های آنلاین، ابزارهای تعاملی.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 3 — Problems.