💭 یه فکر دلپذیر: یه جرم رو فنر میکشی، رها میکنی. میره و میاد، میره و میاد. اگه اصطکاک نباشه، این کار تا ابد ادامه پیدا میکنه! چطور؟ چون انرژی فقط لباس عوض میکنه: یه لحظه «پتانسیل» میشه، یه لحظه «جنبشی». ولی مجموع همیشه ثابته. این یکی از قشنگترین مظاهرِ پایستگی انرژیه.
ابتدا یه یادآوری ⚡
از فصلهای قبل (دهم و یازدهم) یادته:
- انرژی جنبشی: $K = \dfrac{1}{2}mv^2$
- انرژی پتانسیل کشسانی فنر (تو فنر ایدهآل): $U = \dfrac{1}{2}kx^2$ که $x$ از تعادل اندازهگیری میشه.
تو SHMِ جرم-فنر، در هر لحظه:
$$\boxed{\quad E = K + U = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}kx^2 \quad}$$
معجزهی SHM: انرژی کل ثابته 🎯
از معادلهی SHM داریم $x(t) = A\cos(\omega t)$ و $v(t) = -A\omega\sin(\omega t)$. حالا حساب کنیم:
$$K = \tfrac{1}{2}m\left[A\omega\sin(\omega t)\right]^2 = \tfrac{1}{2}mA^2\omega^2 \sin^2(\omega t)$$
$$U = \tfrac{1}{2}k\left[A\cos(\omega t)\right]^2 = \tfrac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t)$$
و چون $\omega^2 = k/m$ یعنی $m\omega^2 = k$:
$$E = K + U = \tfrac{1}{2}kA^2 \left[\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)\right] = \tfrac{1}{2}kA^2$$
بله — یه عدد، کاملاً ثابت! این رقم فقط به $k$ و $A$ بستگی داره، نه به $m$، نه به $t$، نه به $\omega$.
$$\boxed{\quad E = \tfrac{1}{2}kA^2 \quad}$$
🤯 انرژی متناسب با مربع دامنهست! اگه دامنه رو دو برابر کنی، انرژی چهار برابر میشه. این اصل رو در فصلهای موج هم خواهیم دید (مثلاً شدت موج با مربع دامنهاش متناسبه).
بصریسازی: ویجت پایین 🎨
نقاطِ کلیدی نوسان 📍
| موقعیت | جابهجایی $x$ | سرعت $v$ | $K$ | $U$ | $E$ |
|---|---|---|---|---|---|
| دامنهی راست | $+A$ | $0$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}kA^2$ | $\tfrac{1}{2}kA^2$ |
| تعادل | $0$ | $\pm A\omega$ | $\tfrac{1}{2}kA^2$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}kA^2$ |
| دامنهی چپ | $-A$ | $0$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}kA^2$ | $\tfrac{1}{2}kA^2$ |
| نقطهی دلخواه | $x$ | $v$ | $\tfrac{1}{2}mv^2$ | $\tfrac{1}{2}kx^2$ | $\tfrac{1}{2}kA^2$ |
سرعت در نقطهی دلخواه — یه فرمول طلایی ✨
با پایستگی:
$$\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$$
حل برای $v$:
$$\boxed{\quad v = \pm\omega\sqrt{A^2 – x^2} \quad}$$
این فرمول رو حفظ کن. خیلی به دردت میخوره.
مثال حلشده — جرم-فنر 🧠
سؤال (ربط به مسئلهی فصل ۲ — قبلاً دیدیم): جرمی ۲۰۰ g به فنر $k = 80$ N/m بسته شده، دامنه ۵ cm.
(الف) انرژی کل نوسان رو حساب کن.
(ب) سرعت در $x = 2$ cm چقدره؟
حل (الف):
$$E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}(80)(0.05)^2 = 0.1 \ \text{J} = 100 \ \text{mJ}$$
حل (ب): $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{80/0.2} = 20$ rad/s.
$$v = \omega\sqrt{A^2 – x^2} = 20\sqrt{(0.05)^2 – (0.02)^2} = 20\sqrt{0.0021} ≈ 0.92 \ \text{m/s}$$
درس کلیدی: در $x = 0$ سرعت بیشینهست ($v_{\max} = A\omega = 1$ m/s)، در $x = \pm A$ سرعت صفره. در نقاط بینی، فرمول بالا.
آونگ ساده — همون داستان، با $U$ گرانشی 🌍
برای آونگ، $U$ از نوع پتانسیل گرانشیه. اگه نقطهی پایینترین تعادل رو مبدأ بگیریم:
$$U = mgL(1-\cos\theta) ≈ \tfrac{1}{2}mgL\,\theta^2 \quad (\text{small-amp})$$
و انرژی جنبشی $K = \tfrac{1}{2}mv^2$ که $v = L\dot\theta$.
نتیجه: برای آونگ ساده هم در دامنهی کوچک:
$$E = \tfrac{1}{2}mgL\,\theta_{\max}^2$$
مثال ۲ — انتقال انرژی 🎢
سؤال: آونگی با طول ۱ متر و جرمِ ۲۰۰ g از زاویهی ۱۰ درجه رها میشه. حداکثر سرعتش (در نقطهی پایین) چقدره؟
حل:
دامنهی زاویهای: $\theta_{\max} = 10° = 10\pi/180 ≈ 0.1745$ rad.
ارتفاع پایینترین حالت نسبت به نقطهی رهایی:
$$h = L(1 – \cos\theta_{\max}) = 1 \times (1 – \cos 10°) ≈ 1 – 0.9848 = 0.0152 \ \text{m}$$
پایستگی انرژی:
$$\tfrac{1}{2}mv_{\max}^2 = mgh \quad\Rightarrow\quad v_{\max} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.0152} ≈ 0.546 \ \text{m/s}$$
🔗 ربط به فصل قبل (مسئلهی فصل ۲ — قانون انرژی): این همون پایستگی انرژی مکانیکیـه که در فصل ۲ بحث میکردیم — فقط اینجا کاربردش برای حرکت دورهایه. هیچ فرمول جدیدی لازم نیست!
یه آزمایش مهم: تغییر $A$ ⚙️
اگه روی همون جرم-فنر، دامنه رو دو برابر کنی:
- بسامد و دوره: بدون تغییر (چون به $A$ بستگی ندارن)
- حداکثر سرعت: $v_{\max} = A\omega$ → دو برابر
- حداکثر شتاب: $a_{\max} = A\omega^2$ → دو برابر
- انرژی کل: $E = \tfrac{1}{2}kA^2$ → چهار برابر
این الگو خیلی پرکاربرده. در ویجت بالا، اسلایدر دامنه رو حرکت بده و ببین چطور همهی این میلهها رشد میکنن.
جالبه که بدونی 💡
🎻 انرژی صدای ویولن: وقتی نوازندهی ویولن قویتر مینوازه، دامنهی نوسان تار بیشتر میشه. ولی نه دو برابر، بلکه چهار برابر صدا قویتر میشه! این رو در بخش «شدت موج» میبینیم. سرعت آرشه × ۲ = شدت صدا × ۴.
🌌 انرژی موجهای گرانشی LIGO: وقتی دو سیاهچاله بههم برخورد میکنن، یه «سوت» موجِ گرانشی ساطع میشه. حداکثر دامنهی این موج وقتی به زمین میرسه، حدوداً $10^{-21}$ ـه. ولی چون انرژی $\propto A^2$، میتونیم با تجهیزات فوقالعاده دقیق این رو دستکاری کنیم. لیزر LIGO، طول ۴ کیلومتر، تغییری برابر با $10^{-18}$ متر رو حس میکنه — یعنی $1/10000$ قطر یه پروتون! کشف ۲۰۱۵ این موجها، نوبل ۲۰۱۷ رو برد.
🔗 منابع و لینکهای بیشتر
- 📚 ویکیپدیا: انرژی نوسان
- 📚 ویکیپدیا (en): Simple Harmonic Motion — Energy
- 🎥 Veritasium — این کفشنوسان: جستجوی Veritasium SHM
- 🎥 MIT 8.01 Lewin — انرژی در SHM: Energy in SHM
- 🎬 آپارات: انرژی در حرکت هماهنگ — جستجو
- 🧪 PhET — Energy Skate Park: Energy Skate Park — تبادل K و U
- 📖 HyperPhysics — Energy in SHM: SHM Energy
- 🌌 LIGO/NASA: What are Gravitational Waves?
خودتو بسنج 📝
۱. اگه دامنهی نوسان جرم-فنر رو ۳ برابر کنیم، انرژی کل چند برابر میشه؟
چون $E \propto A^2$، انرژی **۹ برابر** میشه. این یکی از مهمترین نکات SHM ـه.
۲. جرم-فنر با $k=200$ N/m و دامنه ۸ cm. انرژی کل؟
$E = \tfrac{1}{2}(200)(0.08)^2 = 0.64$ J = ۶۴۰ mJ.
۳. در یک نوسان SHM، در چه نقطهای $K = U$ ـه؟
وقتی $\tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2}kA^2$ یعنی $x = A/\sqrt{2} ≈ 0.707 A$. در این لحظه نصف انرژی پتانسیل، نصف جنبشیـه.
۴. آونگ از زاویهی ۲۰ درجه رها بشه (نقصِ تقریبِ کوچک)، انرژی کل دقیق چقدره؟ ($L=1$ m, $m=0.1$ kg)
$h = L(1-\cos 20°) = 1 \times (1 – 0.9397) ≈ 0.0603$ m. پس $E = mgh = 0.1 \times 9.8 \times 0.0603 ≈ 0.059$ J = ۵۹ mJ.
تو بخشِ بعدی میریم سراغ یه پدیدهی خیلی ترسناک: تشدید. وقتی فرکانس ضربه برابر فرکانس طبیعی بشه، چه اتفاقی میافته؟ 👋
💬 جواب بهتری داری؟ یا یه سؤال جدید؟
اگه به سؤالای بالا پاسخی داری که فکر میکنی روشنتر یا کاملتر از مال منه، یا یه سؤال جدید برای دانشآموزای دیگه داری — تو بخش نظرات پایین صفحه ارسال کن. هر پیامی رو میخونم، تأیید میکنم و منتشر میشه. اینجوری همه از تجربهی همدیگه استفاده میکنیم. 🌱