با ابزار مؤلفهها (§۳.۳)، جمع برداری به جمع اسکالر ساده روی هر محور تبدیل میشه. این روش، هم دقیقتر از هندسی و هم قابل مقیاسپذیر برای تعداد زیاد بردار.
قاعدهی طلایی
اگه \vec a = a_x \hat i + a_y \hat j و \vec b = b_x \hat i + b_y \hat j، آنگاه:
\[ \boxed{\vec a + \vec b = (a_x + b_x)\hat i + (a_y + b_y)\hat j} \]
در سه بعد: یه معادلهی سومی برای z اضافه کن. همین.
استدلال: \hat i و \hat j مستقلان (متعامد). پس مؤلفههای x و y رو جدا جمع میکنیم.
استراتژی ۴ مرحلهای
برای هر مسئلهی جمع برداری:
- محورها رو انتخاب کن — معمولاً
xافقی،yعمودی. برای مسائل با سطح شیبدار، ممکنه محور مایل بهتر باشه. - هر بردار رو به مؤلفه تجزیه کن —
a_x = a \cos\theta_a,a_y = a \sin\theta_aو همین برای\vec b. - مؤلفهها رو جمع کن —
c_x = a_x + b_x,c_y = a_y + b_y. - از مؤلفهها برگرد به اندازه و زاویه —
c = \sqrt{c_x^2 + c_y^2},\theta_c = \arctan(c_y / c_x).
مثال ۱ — سه نیرو روی یه جسم
سناریو: یه جسم تحت سه نیرو:
\vec F_1 = 30 Nدر0°(به سمت شرق)\vec F_2 = 40 Nدر90°(به سمت شمال)\vec F_3 = 20 Nدر150°(شمالغربی)
نیروی خالص چقدر ـه؟
تجزیه:
\[ F_{1x} = 30 \cos 0° = 30,\quad F_{1y} = 30 \sin 0° = 0 \]
\[ F_{2x} = 40 \cos 90° = 0,\quad F_{2y} = 40 \sin 90° = 40 \]
\[ F_{3x} = 20 \cos 150° = -17.3,\quad F_{3y} = 20 \sin 150° = 10 \]
جمع:
\[ F_x = 30 + 0 - 17.3 = 12.7\ \mathrm{N} \]
\[ F_y = 0 + 40 + 10 = 50\ \mathrm{N} \]
اندازه:
\[ F = \sqrt{12.7^2 + 50^2} = \sqrt{161 + 2500} = \sqrt{2661} \approx 51.6\ \mathrm{N} \]
زاویه:
\[ \theta = \arctan(50 / 12.7) \approx 75.7° \]
نتیجه: نیروی خالص ~51.6 N در ~75.7° (تقریباً شمال، کمی شرق).
مثال ۲ — بازیابی از مؤلفهها
سناریو: جابهجایی کلی جسم \vec d = -4\hat i + 3\hat j\ \mathrm{m}. اندازه و زاویه چقدر ـه؟
\[ d = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{m} \]
\[ \tan\theta = 3 / (-4) = -0.75 \]
ماشینحساب میده \theta \approx -36.9°. ولی مؤلفهها میگن d_x < 0, d_y > 0 — یعنی ربع دوم. پس زاویهی درست:
\[ \theta = 180° - 36.9° = 143.1° \]
درس: همیشه با علامتها زاویه رو دوباره بررسی کن.
تفریق
\[ \vec a - \vec b = (a_x - b_x)\hat i + (a_y - b_y)\hat j \]
قاعدهی مؤلفه یکسان — فقط علامت \vec b عوض میشه.
ضرب اسکالر
اگه k یه اسکالر باشه (عدد ساده)، k \vec a یه بردار میده:
\[ k \vec a = (k a_x) \hat i + (k a_y) \hat j \]
- اگه
k > 0: جهت حفظ، اندازه ضرب در|k| - اگه
k < 0: جهت معکوس، اندازه ضرب در|k| - اگه
k = 0: بردار صفر
چند نکته و اشتباه رایج
۱. با علامتها دقیق باش.
cos(120°) = -0.5 نه +0.5. تنظیمات ماشینحساب (درجه یا رادیان) رو دوباره چک کن.
۲. برای مسائل با سطح شیبدار، محور مایل بگیر.
اگه جسم روی سطح شیبدار حرکت میکنه، محور x رو در امتداد سطح و y عمود بر سطح بگیر. نیروی جاذبه رو با mg\sin\theta و mg\cos\theta تجزیه کن.
۳. مؤلفهی صفر یعنی چی؟
اگه \vec c = 0\hat i + 3\hat j، بردار در راستای y ـه. اگه هر دو صفر: بردار صفر.
۴. سه بعد به سختی نیست.
اضافه کردن مؤلفهی z هیچ چیز رو پیچیده نمیکنه. فقط یه معادلهی اضافی: c_z = a_z + b_z.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
بعد از این بخش باید بتونی:
- قاعدهی جمع مؤلفهها رو با فرمول بنویسی و توضیح بدی چرا کار میکنه
- استراتژی ۴ مرحلهای رو روی مسائل ۳-۵ بردار پیاده کنی
- تشخیص بدی که کدوم ربع، زاویهی درست رو میده
- ضرب اسکالر بردار رو محاسبه کنی و بدونی چه اثری بر جهت و اندازه داره
پیشنمایش §۳.۵
با ابزار جمع، حالا سؤال بعدی: چطور دو بردار رو ضرب کنیم؟ دو نوع ضرب برداری وجود داره:
- ضرب داخلی (اسکالر): نتیجه یه اسکالر میده. برای «مقدار پروجکشن» و کار استفاده میشه
- ضرب خارجی (برداری): نتیجه یه بردار میده. برای گشتاور و تکانهی زاویهای استفاده میشه
§۳.۵ ضرب داخلی رو معرفی میکنه.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 3, §3.4 — Adding Vectors by Components.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.