عدد وِبِر (Weber Number) — رقابت اینرسی و کشش سطحی
«چرا قطرات باران کرویاند؟ چرا حبابهای صابون نمیشکنند؟ چرا جوهر چاپگر جت دقیقاً روی کاغذ مینشیند؟ پاسخ همه در عدد وِبِر نهفته است — نسبتی که تعیین میکند اینرسی یا کشش سطحی فرمانروای سیال است.»
۱. مقدمه — وقتی سطح مهم میشود
در اغلب مسائل مکانیک سیالات کلاسیک، کشش سطحی (Surface Tension) نادیده گرفته میشود؛ در مقیاسهای بزرگ مثل رودخانه یا دریا، این تقریب خوب است. اما هنگامی که با قطرات ریز، حبابها، اسپری، جوهر چاپ، یا رگهای مویین درمان پزشکی سروکار داریم، کشش سطحی نیروی غالب میشود.
عدد وِبِر (Weber Number، نماد We) نسبت نیروی اینرسی به نیروی کشش سطحی را بیان میکند. این عدد پاسخ میدهد: «آیا جریان به اندازه کافی قوی است که رابط سیال (Interface) را بشکند؟»
تعریف ریاضی عدد وِبِر
$$We = rac{
ho v^2 L}{sigma}$$
که در آن:
- $
ho$ = چگالی سیال (kg/m³) - $v$ = سرعت مشخصۀ جریان (m/s)
- $L$ = طول مشخصه — معمولاً قطر قطره یا اندازۀ جت (m)
- $sigma$ = ضریب کشش سطحی (N/m = J/m²)
بررسی ابعادی: $[
ho v^2 L / sigma] = ( ext{kg/m}^3)( ext{m/s})^2( ext{m}) / ( ext{N/m}) = ext{Pa·m}/( ext{N/m}) = ext{بیبُعد}$
۲. تاریخچه — مورتیمر وِبِر
مورتیمر وِبِر (Moritz Weber, 1871–1951) مهندس آلمانی بود که در ۱۹۱۹ در تحلیل جریانهای ویسکوز و اثرات کشش سطحی این عدد را معرفی کرد. وِبِر استاد هیدرولیک در موسسۀ فنی برلین بود و تلاش کرد قوانین تشابه سیالات را به طور کامل سیستماتیک کند. عدد بیبُعدی که به نامش ثبت شده امروز در کاربردهایی از ریزسیالات (Microfluidics) تا شکستن موجهای اقیانوس به کار میرود.
۳. معنای فیزیکی — دو نیرو در رقابت
نیروی اینرسی روی یک قطره یا جتِ سیال با قطر $L$ تقریباً برابر است با:
$$F_{inertia} sim
ho v^2 L^2$$
نیروی کشش سطحی که تمایل دارد قطره را کروی نگه دارد (یا جت را از جدا شدن باز دارد):
$$F_{surface} sim sigma L$$
پس نسبت:
$$We = rac{F_{inertia}}{F_{surface}} sim rac{
ho v^2 L^2}{sigma L} = rac{
ho v^2 L}{sigma}$$
| We | رژیم | توصیف | مثال |
|---|---|---|---|
| We < 1 | کشش سطحی غالب | قطره کروی باقی میماند، جت پایدار | قطرۀ صبح روی برگ، حباب صابون |
| We ~ 1 | انتقال | قطره تغییر شکل میدهد | باران ملایم |
| We > 1 | اینرسی غالب | قطره تغییر شکل داده و میشکند | اسپری، پاشش، آتومیزاسیون |
| We >> 1 | اینرسی بسیار غالب | جت به ریزقطرات تبدیل میشود | سوخت موتور دیزل، ساچمهپاشی |
۴. بیثباتی ریلی-تیلور و شکست قطره (Droplet Breakup)
یکی از مهمترین کاربردهای عدد وِبِر، بیثباتی ریلی-پلاتو (Rayleigh-Plateau Instability) در جت سیال است. یک جت استوانهای از مایع ذاتاً ناپایدار است: اختلالات کوچک در قطر رشد میکنند تا جت به قطرات کروی تجزیه شود.
عدد وِبِر آستانۀ این شکست را تعیین میکند. برای شکستن قطره در جریان هوا (به دلیل فشار آیرودینامیکی)، اگر عدد وِبِر از یک مقدار بحرانی تجاوز کند قطره میشکند:
$$We_{cr} pprox 12 quad ext{(برای قطرۀ تکی در جریان)}$$
زیر این مقدار، کشش سطحی قطره را کروی نگه میدارد؛ بالای آن قطره ابتدا به شکل کیسه (Bag Breakup) سپس به ریزقطرات (Catastrophic Breakup) تبدیل میشود.
مثال ۱: آیا قطرۀ باران در هوا میشکند؟
یک قطرۀ باران با قطر $d = 4$ mm = 0.004 m با سرعت $v = 9$ m/s در هوا سقوط میکند. آیا میشکند؟
دادهها: $
ho_{air} = 1.2$ kg/m³، $sigma_{water} = 0.073$ N/m
$$We = rac{
ho_{air} v^2 d}{sigma} = rac{1.2 imes 9^2 imes 0.004}{0.073} = rac{1.2 imes 81 imes 0.004}{0.073} = rac{0.389}{0.073} pprox 5.3$$
چون $We = 5.3 < 12$، قطره نمیشکند — اما تغییر شکل میدهد (به شکل گوشوارهای درمیآید). قطرههای باران با قطر بیشتر از حدود ۶ mm در هوا ناپایدار میشوند و میشکنند؛ به همین دلیل قطرههای طبیعی باران کمتر از این اندازهاند.
۵. چاپ جوهرافشان (Inkjet Printing) — کنترل We
در چاپ جوهرافشان (Inkjet Printing)، نازلهای ریز جوهر را با سرعت و قطر دقیق پرتاب میکنند. هدف این است که هر قطره به اندازۀ درست کاغذ را بزند، بدون اینکه بشکند یا پراکنده شود.
برای این کار باید:
- $We$ به اندازۀ کافی بالا باشد که قطره از نازل جدا شود ($We > 4$ تقریباً)
- $We$ به اندازۀ کافی پایین باشد که قطره پس از برخورد با کاغذ پراکنده نشود ($We < 50$ تقریباً)
پنجرۀ بهینۀ عملیاتی اغلب با ترکیب We و عدد اوهنزورگ (Ohnesorge Number) طراحی میشود.
مثال ۲: قطرۀ جوهر در چاپگر جوهرافشان
قطرۀ جوهر: $d = 30; mu ext{m} = 3 imes10^{-5}$ m، سرعت $v = 8$ m/s، چگالی $
ho = 1050$ kg/m³، کشش سطحی $sigma = 0.030$ N/m.
$$We = rac{1050 imes 8^2 imes 3 imes10^{-5}}{0.030} = rac{1050 imes 64 imes 3 imes10^{-5}}{0.030} = rac{2.016}{0.030} = 67.2$$
این $We$ نسبتاً بالا است؛ مهندسان با کاهش سرعت یا انتخاب جوهر با کشش سطحی بالاتر عدد وِبِر را در پنجرۀ بهینه ($We pprox 4$–$50$) نگه میدارند.
۶. عدد اوهنزورگ (Ohnesorge Number) — اثر ویسکوزیته
وقتی ویسکوزیته هم مهم است (نه فقط کشش سطحی)، از عدد اوهنزورگ (Ohnesorge Number, Oh) استفاده میکنیم که رابطهاش با We و عدد رینولدز (Re) این است:
$$Oh = rac{mu}{sqrt{
ho sigma L}} = rac{sqrt{We}}{Re}$$
که $mu$ ویسکوزیته دینامیکی سیال است. عدد اوهنزورگ نسبت نیروی ویسکوز به ریشۀ دوم حاصلضرب نیروی اینرسی و کشش سطحی را بیان میکند.
در نمودار $We$–$Oh$ (نمودار Ohnesorge) سه ناحیۀ اصلی وجود دارد: ناحیۀ قطره (Dripping)، ناحیۀ جت (Jetting)، و ناحیۀ آتومیزاسیون (Atomization). این نمودار برای طراحی نازلهای اسپری اساسی است.
سهگانۀ اعداد بیبُعد در دینامیک قطره
$$We = rac{
ho v^2 L}{sigma}, quad Re = rac{
ho v L}{mu}, quad Oh = rac{sqrt{We}}{Re} = rac{mu}{sqrt{
ho sigma L}}$$
- $We$ بزرگ + $Oh$ کوچک: آتومیزاسیون (سوخت پاش دیزل)
- $We$ کوچک + $Oh$ کوچک: قطرهسازی منظم (Dripping Faucet)
- $We$ متوسط: جتپایدار (Jetting Regime)
۷. پایداری جت مایع — بیثباتی ریلی-پلاتو
یک جت استوانهای از مایع با شعاع $r_0$ وقتی ناپایدار میشود که اختلال با طول موج $lambda > 2pi r_0$ رشد کند. این بیثباتی که ریلی در ۱۸۷۹ تجزیهوتحلیل کرد، رشدی با نرخ $omega$ دارد:
$$omega^2 = rac{sigma}{
ho r_0^3} k r_0 (1 – k^2 r_0^2) quad (k = 2pi/lambda)$$
بیشینۀ رشد در $kr_0 pprox 0.697$ است که اندازۀ قطرههای تولیدشده را تعیین میکند:
$$d_{drop} pprox 1.89 imes d_{jet}$$
این رابطه با دقت عالی قطر قطرات آب از شیر آب معمولی را پیشبینی میکند.
مثال ۳: قطر قطرات از یک جت آب
یک جت آب با قطر $d_{jet} = 2$ mm از نازل خارج میشود. اندازۀ قطرات تشکیلشده را تخمین بزنید.
$$d_{drop} pprox 1.89 imes 2 ext{ mm} = 3.78 ext{ mm}$$
این با مشاهدۀ تجربی — قطرات تقریباً ۴ mm — خوب مطابقت دارد.
حال عدد وِبِر جت را محاسبه کنید: $v_{jet} = 1$ m/s، $
ho = 1000$ kg/m³، $sigma = 0.073$ N/m:
$$We_{jet} = rac{1000 imes 1^2 imes 0.002}{0.073} = rac{2}{0.073} pprox 27.4$$
این در ناحیۀ جت پایدار (Jetting) است — جت قبل از شکست به اندازۀ چند سانتیمتر حرکت میکند.
۸. عدد وِبِر در تشکیل حباب (Bubble Formation)
هنگامی که گاز از یک دهانه در مایع تزریق میشود (مثل حبابهای هوا در آب یا حبابهای دیاکسید کربن در نوشابه)، عدد وِبِر بر اساس سرعت گاز و اندازۀ حباب تعریف میشود. برای حبابسازی منظم (Bubbling):
$$We_{bubble} < 1 quad Rightarrow quad ext{حبابهای کوچک و منظم}$$ $$We_{bubble} > 10 quad Rightarrow quad ext{جت گاز، حبابهای نامنظم بزرگ}$$
در طراحی بیوراکتورها، کورههای مذاب فلزی، و سیستمهای هواده، کنترل عدد وِبِر برای تعیین اندازۀ بهینۀ حباب بسیار مهم است.
۹. عدد وِبِر در IYPT 2027 — مسئلۀ P7: قیف غرقشونده
IYPT 2027 – P7 قیف غرقشونده (Sinking Funnel)
مسئلۀ P7 میپرسد: وقتی یک قیف با دهانه به پایین در آب فرو میرود و بیرون کشیده میشود، چه الگویی از تبادل هوا-آب مشاهده میشود؟
نقش عدد وِبِر: هنگامی که قیف از زیر آب خارج میشود و هوا میخواهد داخل شود، رابط هوا-آب (Air-Water Interface) باید در برابر فشار هیدرواستاتیک پایدار بماند. کشش سطحی این رابط را تثبیت میکند. عدد وِبِر تعیین میکند:
- $We < 1$: رابط پایدار است — حبابهای منفرد و منظم وارد میشوند
- $We pprox 1$: انتقال — نوسان در الگوی ورود هوا
- $We > 1$: رابط ناپایدار — جت هوا و حبابهای نامنظم
فرمول کلیدی: سرعت بحرانی برای ناپایداری رابط:
$$v_{cr} = sqrt{ rac{sigma}{{
ho L}}} quad Rightarrow quad We_{cr} = 1$$
۱۰. آتومیزاسیون (Atomization) — سوخت موتور
در موتورهای احتراقی (دیزل، بنزینی مستقیم)، سوخت باید به قطرات بسیار ریز تبدیل شود تا سطح تماس با هوا برای احتراق کافی باشد. این فرآیند آتومیزاسیون نام دارد و هنگامی رخ میدهد که:
$$We gg 1 quad ext{(معمولاً } We > 100 ext{)}$$
در یک انژکتور دیزل معمولی: $v pprox 200$–$400$ m/s، $d_{nozzle} pprox 0.1$–$0.3$ mm، $
ho_{fuel} pprox 850$ kg/m³، $sigma pprox 0.025$ N/m:
$$We = rac{850 imes 300^2 imes 2 imes10^{-4}}{0.025} = rac{850 imes 90000 imes 2 imes10^{-4}}{0.025} = rac{15300}{0.025} pprox 612000$$
این We بسیار بالا (>>100) تضمین میکند که سوخت به قطرات بسیار ریز (10–50 µm) تبدیل میشود.
مثال ۴: اندازۀ قطرات سوخت دیزل
سوخت دیزل با سرعت $v = 300$ m/s از نازلی با قطر $d_0 = 0.2$ mm پاشیده میشود. قطر بهینۀ قطرات را تخمین بزنید. (از رابطۀ ریلی: $d_{drop} pprox 1.89, d_0$ وقتی We کوچک است؛ برای We بزرگ از مدل آتومیزاسیون استفاده میکنیم.)
برای آتومیزاسیون ثانویه (Secondary Atomization)، اندازۀ قطرات نهایی با رابطۀ تجربی تخمین زده میشود:
$$d_{drop} pprox rac{C cdot sigma}{
ho_{air} v^2}$$
با $C pprox 10$، $
ho_{air} = 15$ kg/m³ (هوای فشرده در موتور)، $v = 300$ m/s، $sigma = 0.025$ N/m:
$$d_{drop} pprox rac{10 imes 0.025}{15 imes 300^2} = rac{0.25}{1350000} pprox 1.85 imes10^{-7} ext{ m} pprox 0.2 ;mu ext{m}$$
در عمل قطرات دیزل ۱۰–۱۰۰ µm هستند چون فرآیند آتومیزاسیون پیچیدهتر است، اما We کنترلکنندۀ اصلی است.
۱۱. عدد وِبِر در پزشکی — دارورسانی استنشاقی
اسپریهای استنشاقی (Inhalers) باید قطراتی در اندازۀ ۱–۵ µm تولید کنند تا به آلوئولهای ریه برسند. عدد وِبِر در طراحی نازلهای استنشاقکننده تعیین میکند چه اندازهای از قطرات تولید میشود. قطرات بزرگتر (We کوچک) در راههای هوایی فوقانی مینشینند؛ قطرات ریزتر (We بالاتر در مرحلۀ آتومیزاسیون) به عمق ریه میرسند.
۱۲. کشش سطحی در مقیاسهای مختلف
مقادیر ضریب کشش سطحی برای سیالات رایج در دمای ۲۰°C:
| سیال | $sigma$ (N/m) | We در v=1 m/s، L=1 mm |
|---|---|---|
| آب (خالص) | 0.073 | 13.7 |
| آبصابون | 0.025 – 0.040 | 25 – 40 |
| اتانول | 0.022 | 36.0 |
| جیوه | 0.487 | 27.7 |
| بنزین | 0.021 | 33.3 |
| سوخت دیزل | 0.025 | 34.0 |
۱۳. ارتباط با سایر اعداد بیبُعد
عدد وِبِر در کنار سایر اعداد ظاهر میشود:
| ارتباط | فرمول | معنا |
|---|---|---|
| We و Re | $Oh = sqrt{We}/Re$ | اوهنزورگ — ویسکوزیته در برابر کشش سطحی |
| We و Fr | $Bo = We/Fr^2 = ho g L^2 / sigma$ |
عدد بوند — گرانش در برابر کشش سطحی |
| We و Ca | $We = Re cdot Ca$ | عدد مویینگی $Ca = mu v/sigma$ |
۱۴. برخورد قطره با سطح (Impact Dynamics)
وقتی یک قطره با سطح جامد برخورد میکند، دو نتیجۀ ممکن است:
- Spreading (پخش شدن): اگر We بزرگ باشد، قطره پخش میشود و یک لایۀ نازک ایجاد میکند
- Bouncing (جهش): اگر We کوچک باشد و سطح آبگریز (Hydrophobic) باشد، قطره میپرد
- Splashing (پاشش): اگر We بسیار بزرگ باشد ($We > We_{cr} pprox 80$–$200$)، قطره پاشیده میشود
ضریب پخش (Spreading Factor) با عدد وِبِر و رینولدز رابطه دارد:
$$eta_{max} pprox 0.61 left(We + 12
ight)^{0.333}$$
مثال ۵: آیا قطرۀ باران روی برگ ماء میپرد یا پخش میشود؟
قطرۀ باران: $d = 2$ mm، $v_{impact} = 5$ m/s (سقوط آزاد تقریبی). برگ آبگریز است.
$$We = rac{1000 imes 5^2 imes 0.002}{0.073} = rac{50}{0.073} pprox 685$$
$We = 685 gg 1$: قطره پخش میشود و احتمالاً پاشیده میشود (چون $We > 200$). این چرا برگهای آبگریز مانند نیلوفر آبی (Lotus Effect) جالباند: ساختار ریزسطح آنها We مؤثر را کاهش میدهد و قطرات میغلتند.
۱۵. خلاصه و جدول مرجع
عدد وِبِر خطالرأس دنیای قطرات و حبابهاست. هر کجا که یک سطح مشترک بین دو سیال وجود داشته باشد — چه در مقیاس اقیانوس، چه در مقیاس تک قطرۀ جوهر — We تعیین میکند که آیا کشش سطحی یا اینرسی شکل آن سطح را کنترل میکند.
| کاربرد | We تقریبی | توضیح |
|---|---|---|
| قطرۀ باران (d≈2mm) | 5 – 15 | پایدار، تغییرشکل جزئی |
| قطرۀ باران (d≈5mm) | 30 – 80 | پایدار ولی تغییرشکل زیاد |
| شیر آب معمولی (jetting) | 20 – 60 | جت پایدار، ریلی شکستن |
| چاپگر جوهرافشان | 10 – 100 | پنجرۀ طراحی |
| اسپری کشاورزی | 50 – 200 | قطرات ۱۰۰–۵۰۰ µm |
| انژکتور دیزل | $10^5$ – $10^6$ | آتومیزاسیون کامل |
| حباب هوا در آب آرام | < 0.1 | حباب کروی کامل |
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.
💬 جواب بهتری داری؟ یا یه سؤال جدید؟
اگه به سؤالای بالا پاسخی داری که فکر میکنی روشنتر یا کاملتر از مال منه، یا یه سؤال جدید برای دانشآموزای دیگه داری — تو بخش نظرات پایین صفحه ارسال کن. هر پیامی رو میخونم، تأیید میکنم و منتشر میشه. اینجوری همه از تجربهی همدیگه استفاده میکنیم. 🌱