ویسکوزیته — نرخ برش، تنش برشی و قانون نیوتن

چرا ویسکوزیته مهم است؟

عسل آرام می‌ریزد، آب تند. روغن موتور گرم‌شده جاری‌تر از روغن سرد است. توپ حلزونی (IYPT P3) روی شیب به‌طرز شگفت‌انگیزی کند می‌غلتد — چون مایع لزج داخلش انرژی را از پوسته «می‌دزدد». تمام این پدیده‌ها یک نقطه اشتراک دارند: ویسکوزیته.

تنش برشی و نرخ برش

تصور کنید لایه‌های موازی سیال روی هم می‌لغزند (مثل ورق‌های کاغذ). لایه بالایی با سرعت $v_0$ حرکت می‌کند و لایه پایینی ثابت است.

تنش برشی $tau$

نیرویی که لایه بالایی به لایه پایینی وارد می‌کند، به ازای واحد سطح:

$$tau = frac{F}{A} quad [text{Pa} = text{N/m}^2]$$

نرخ برش (گرادیان سرعت) $dot{gamma}$

سرعت تغییر سرعت در جهت عمود بر جریان:

$$dot{gamma} = frac{dv}{dy} quad [text{s}^{-1}]$$

برای پروفایل سرعت خطی: $dot{gamma} = v_0/h$

قانون نیوتن برای سیالات

برای سیالات نیوتنی (آب، روغن، هوا)، رابطه تنش برشی و نرخ برش خطی است:

$$boxed{tau = eta cdot dot{gamma} = eta ,frac{dv}{dy}}$$

ضریب $eta$ همان ویسکوزیته دینامیکی است با واحد $text{Pa·s}$.

ویسکوزیته دینامیکی در مقابل سینماتیکی

ویسکوزیته سینماتیکی در عدد رینولدز مستقیماً ظاهر می‌شود: $Re = vL/nu$ — ببینید: عدد رینولدز — از جریان آرام تا آشفتگی

جریان کوئت — مدل پایه

جریان کوئت ساده‌ترین حالت برشی است: دو صفحه موازی، یکی ثابت، دیگری با سرعت $V$ حرکت می‌کند.

• پروفایل سرعت: $v(y) = V cdot y/h$ (خطی)
• نرخ برش یکنواخت: $dotgamma = V/h$
• تنش برشی یکنواخت: $tau = eta V/h$

این همان چیزی است که درون توپ حلزونی (P3) اتفاق می‌افتد: مایع لزج بین پوسته چرخان و توپ سنگین داخل، تنش برشی تولید می‌کند که انرژی دورانی را منتقل (و اتلاف) می‌کند.

شبیه‌سازی: جریان کوئت با Python

[pyodide]
import numpy as np
import matplotlib
matplotlib.use(‘Agg’)
import matplotlib.pyplot as plt

h = 0.01 # فاصله بین دو صفحه (متر)
V = 0.05 # سرعت صفحه بالایی (m/s)

fluids = [
(‘آب’, 0.001, ‘#42a5f5’),
(‘روغن زیتون’, 0.084, ‘#ffa726’),
(‘عسل’, 5.0, ‘#ab47bc’),
]

y = np.linspace(0, h, 100)

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(10, 5), sharey=True)
fig.suptitle(‘جریان کوئت — پروفایل سرعت برای سیالات مختلف’, fontsize=12, fontweight=’bold’)

for ax, (name, eta, color) in zip(axes, fluids):
v_profile = V * y / h
tau = eta * V / h
for i in range(10):
yi = i * h / 10
vi = V * yi / h
ax.annotate(”, xy=(vi, yi), xytext=(0, yi),
arrowprops=dict(arrowstyle=’->’, color=color, lw=1.5))
ax.plot(v_profile, y, ‘-‘, color=color, lw=2.5)
ax.axhline(0, color=’gray’, lw=2)
ax.axhline(h, color=’red’, lw=2)
ax.set_xlim(-0.002, V * 1.15)
ax.set_xlabel(‘سرعت (m/s)’, fontsize=9)
ax.set_title(f'{name}nη = {eta} Pa·snτ = {tau:.3f} Pa’, fontsize=9, color=color)
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.text(V*0.5, h*1.05, ‘صفحه متحرک’, ha=’center’, fontsize=7, color=’red’)
ax.text(V*0.5, -h*0.08, ‘صفحه ثابت’, ha=’center’, fontsize=7, color=’gray’)

axes[0].set_ylabel(‘ارتفاع y (m)’)
plt.tight_layout()
plt.savefig(‘/tmp/couette_fa.png’, dpi=120, bbox_inches=’tight’)
print(“نمودار ذخیره شد”)
for name, eta, _ in fluids:
print(f”τ_{name} = {eta*V/h:.4f} Pa”)
[/pyodide]

جدول ویسکوزیته سیالات رایج (۲۵°C)

منبع: Lide, D.R., CRC Handbook of Chemistry and Physics, 89th ed.

ارتباط با توپ حلزونی (IYPT P3)

درون توپ حلزونی، مایع لزج بین پوسته چرخان و توپ سنگین داخل:

• نیروی برشی $F = tau cdot A$ به توپ داخلی وارد می‌کند
• انرژی دورانی از پوسته به توپ منتقل می‌کند
• توپ مثل آونگ نوسان می‌کند → انرژی انتقالی می‌گیرد → حرکت کند
• ویسکوزیته بیشتر = جفت‌شدگی قوی‌تر = اثر توپ حلزونی قوی‌تر

ببینید: توپ حلزونی — P3 IYPT 2027

منابع و مطالعه بیشتر

• 🌐 HyperPhysics — Viscosity: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu
• 📖 Munson, Young, Okiishi — Fundamentals of Fluid Mechanics
• 📖 Bird, Stewart, Lightfoot — Transport Phenomena
• 🎬 کانال یوتیوب Veritasium: آزمایش‌های سیال لزج
• 🎬 کانال Physics Girl: آزمایش‌های ویسکوزیته خانگی
• 📄 Gualtieri et al. (2006) “Golfer’s dilemma” — Am. J. Phys. 74, 497