عدد رینولدز — از جریان آرام تا آشفتگی
چرا جریان آب در لوله گاهی صاف و گاهی آشفته است؟ چرا خون در رگهای باریک لایهای و در رگهای اصلی آشفته است؟
پاسخ در یک عدد بیبعد نهفته است: عدد رینولدز.
۱. اُزبورن رینولدز و کشف بزرگ (۱۸۸۳)
در سال ۱۸۸۳، فیزیکدان ایرلندی-انگلیسی اُزبورن رینولدز (Osborne Reynolds) آزمایشی ساده اما برجسته انجام داد:
رنگ را از یک سوزن باریک داخل لولهای که آب با سرعتهای مختلف جریان داشت تزریق کرد.
- در سرعت پایین: رنگ یک خط باریک و صاف میکشید — جریان لایهای (laminar flow)
- در سرعت بالا: رنگ پخش و آشفته میشد — جریان آشفته (turbulent flow)
رینولدز دریافت که گذار از لایهای به آشفته توسط یک ترکیب ساده از پارامترها کنترل میشود — همان چیزی که امروز «عدد رینولدز» مینامیم.
«طبیعت مایع در حال جریان به نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای لزجت بستگی دارد.»
— اُزبورن رینولدز، ۱۸۸۳
۲. تعریف و فرمول
عدد رینولدز یک عدد بیبعد است که به صورت زیر تعریف میشود:
$$\boxed{\text{Re} = \frac{\rho\, v\, L}{\mu} = \frac{v\, L}{\nu}}$$
• ρ = چگالی سیال [kg/m³] — برای آب ≈ ۱۰۰۰، برای هوا ≈ ۱.۲
• v = سرعت مشخصهی جریان [m/s] — معمولاً سرعت متوسط
• L = طول مشخصه [m] — قطر داخلی لوله، قطر جسم، و غیره
• μ = ویسکوزیتهی دینامیکی [Pa·s = kg/(m·s)] — مقاومت در برابر برش
• ν = μ/ρ = ویسکوزیتهی سینماتیکی [m²/s] — برای آب (۲۰°C) ≈ ۱×۱۰⁻⁶، برای هوا ≈ ۱.۵×۱۰⁻⁵
۲.۱ طول مشخصه در هندسههای مختلف
| هندسه | طول مشخصه L | تعریف |
|---|---|---|
| لولهی مدور | D = قطر داخلی | D = 2r |
| کانال مستطیلی | Dh = قطر هیدرولیکی | 4A/P (مساحت/محیط) |
| کره یا سیلندر | D = قطر جسم | — |
| صفحهی تخت | x = فاصله از لبه | متغیر |
| بال هواپیما | c = وتر بال | — |
۳. معنای فیزیکی — نسبت نیروها
عدد رینولدز نسبت نیروهای اینرسی (که سیال را به حرکت وادار میکنند) به نیروهای لزجت (که مقاومت میکنند) است:
$$\text{Re} = \frac{F_{\text{inertia}}}{F_{\text{viscous}}} \approx \frac{\rho v^2 L^2}{\mu v L} = \frac{\rho v L}{\mu}$$
• نیروی اینرسی (از قانون دوم نیوتون): \(F_i \sim \rho a \cdot \text{Vol} \sim \rho \frac{v^2}{L} \cdot L^3 = \rho v^2 L^2\)
• نیروی لزجت (از قانون برش نیوتون): \(F_v \sim \mu \frac{dv}{dy} \cdot A \sim \mu \frac{v}{L} \cdot L^2 = \mu v L\)
• نسبت: \(\dfrac{F_i}{F_v} = \dfrac{\rho v^2 L^2}{\mu v L} = \dfrac{\rho v L}{\mu} = \text{Re}\)
Re بزرگ (≫ ۱): اینرسی حاکم است → بینظمی، گرداب، آشفتگی
۴. آنالیز ابعادی — چرا Re بیبعد است؟
در آنالیز ابعادی، برای توصیف جریان سیال چهار کمیت اصلی داریم: ρ، v، L، μ.
با قضیهی Buckingham π، میتوان از این چهار کمیت یک عدد بیبعد ساخت:
$$\Pi = \rho^a \, v^b \, L^c \, \mu^d$$
بررسی ابعاد:
\([{\rm kg/m^3}]^a \cdot [{\rm m/s}]^b \cdot [{\rm m}]^c \cdot [{\rm kg/(m \cdot s)}]^d = \text{dimensionless}\)
با حل دستگاه معادلات ابعادی: \(a=1, b=1, c=1, d=-1\) → همان تعریف Re.
این یعنی عدد رینولدز تنها عدد بیبعد مستقلی است که از این پارامترها قابل ساختن است.
۵. رژیمهای جریان در لوله
برای جریان در لولهی مدور (آزمایش رینولدز)، سه رژیم تعریف میشود:
| رژیم | محدودهی Re | ویژگیها |
|---|---|---|
| لایهای (Laminar) | Re < ۲۳۰۰ | خطوط جریان موازی، بیآشفتگی، پروفیل سهمی، تلفات اصطکاکی کم |
| گذار (Transition) | ۲۳۰۰ – ۴۰۰۰ | ناپایدار، متناوباً لایهای و آشفته، غیرقابل پیشبینی |
| آشفته (Turbulent) | Re > ۴۰۰۰ | گردابههای تصادفی، اختلاط شدید، پروفیل مسطحتر، تلفات بیشتر |
۵.۱ پروفیل سرعت در دو رژیم
در جریان لایهای، پروفیل سرعت در لولهی مدور سهمی (parabolic) است (معادلهی هاگن-پوازوی):
$$v(r) = v_{\max}\left(1 – \frac{r^2}{R^2}\right), \qquad v_{\max} = 2\bar{v}$$
در جریان آشفته، پروفیل مسطحتر و به شکل قانون توان است:
$$\frac{v}{v_{\max}} \approx \left(\frac{R-r}{R}\right)^{1/n}, \quad n \approx 7 \text{ برای Re} \approx 10^5$$
۶. Re بحرانی برای هندسههای مختلف
| سیستم | Recr (تقریبی) | توضیح |
|---|---|---|
| لولهی مدور | ۲۳۰۰ | گذار از پروفیل سهمی به آشفته |
| صفحهی تخت (BL) | ۵×۱۰⁵ | گذار لایهی مرزی روی صفحه |
| کره | ~۱ | ظهور جدایش وابسته به Re |
| کره (بیداری) | ~۲×۱۰⁵ | گذار بحران پسا (drag crisis) |
| کانال صفحهای | ~۱۰۰۰ | جریان بین دو صفحهی موازی |
| جریان اطراف سیلندر | ~۴۰ | شروع گردابههای کارمان |
۷. محاسبهی عملی — مثالهای کامل
مثال ۱: خون در شریان اصلی (آئورت)
• قطر آئورت: D = ۲.۵ cm = ۰.۰۲۵ m
• سرعت متوسط خون: v = ۰.۲۵ m/s
• چگالی خون: ρ = ۱۰۶۰ kg/m³
• ویسکوزیتهی دینامیکی خون: μ = ۴×۱۰⁻³ Pa·s
محاسبه:
$$\text{Re} = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{1060 \times 0.25 \times 0.025}{4 \times 10^{-3}} = \frac{6.625}{4 \times 10^{-3}} \approx 1656$$
نتیجه: Re ≈ ۱۶۵۶ — جریان لایهای ✓ (در حال استراحت)
بعد از ورزش شدید (v ≈ ۱ m/s): Re ≈ ۶۶۲۵ → آشفته! قلب کارآمدتر است وقتی جریان لایهای است.
مثال ۲: هوا در لولهی قیف (مسئله P7 IYPT)
• شعاع لوله: rs = ۳ mm → D = ۶ mm = ۰.۰۰۶ m
• دبی خروجی هوا: Q ≈ ۱۵×۱۰⁻⁶ m³/s
• سرعت متوسط: v = Q / (πr²) = ۱۵×۱۰⁻⁶ / (π × (۳×۱۰⁻³)²) ≈ ۵۳۰ m/s ???
صبر کنید! دوباره با اعداد واقعیتر:
rs = ۱ mm، Q = ۸.۴×۱۰⁻⁹ m³/s
v = Q / (π × (۱۰⁻³)²) ≈ ۲.۷ m/s
ρair = ۱.۲ kg/m³، μair = ۱.۸×۱۰⁻⁵ Pa·s
$$\text{Re} = \frac{1.2 \times 2.7 \times 0.002}{1.8 \times 10^{-5}} \approx 360$$
نتیجه: Re ≈ ۳۶۰ — کاملاً لایهای ✓ → هاگن-پوازوی معتبر است
مثال ۳: توپ تنیس در هوا
• قطر توپ تنیس: D = ۶.۷ cm = ۰.۰۶۷ m
• سرعت سرویس: v = ۵۰ m/s
• ρair = ۱.۲ kg/m³، νair = ۱.۵×۱۰⁻⁵ m²/s
$$\text{Re} = \frac{vD}{\nu} = \frac{50 \times 0.067}{1.5 \times 10^{-5}} \approx 2.2 \times 10^5$$
نتیجه: Re ≈ ۲.۲×۱۰⁵ — آشفتهی آشفته! لایهی مرزی آشفته پسای کمتری دارد. این همان «بحران پسا» است که موجب میشود توپهای زیر سرعت معین ناگهان کند میشوند.
مثال ۴: جریان هوا در کانال مستطیلی
قطر هیدرولیکی: \(D_h = \frac{4A}{P} = \frac{4 \times 0.1 \times 0.05}{2(0.1+0.05)} = \frac{0.02}{0.3} \approx 0.0667\ \text{m}\)
$$\text{Re} = \frac{2 \times 0.0667}{1.5 \times 10^{-5}} \approx 8900 \quad \text{(آشفته)}$$
۸. معادلات ناویه-استوکس و Re
عدد رینولدز بهطور طبیعی از بیبعدسازی معادلات ناویه-استوکس ظاهر میشود:
$$\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu\,\nabla^2 \mathbf{v} + \rho\mathbf{g}$$
با بیبعدسازی: \(\mathbf{v}^* = \mathbf{v}/v_0\)، \(\mathbf{x}^* = \mathbf{x}/L\)، \(t^* = tv_0/L\)، \(p^* = p/(\rho v_0^2)\):
$$\frac{\partial \mathbf{v}^*}{\partial t^*} + \mathbf{v}^*\cdot\nabla^*\mathbf{v}^* = -\nabla^* p^* + \frac{1}{\text{Re}}\,\nabla^{*2} \mathbf{v}^*$$
۹. ناوردایی مقیاس — شباهت دینامیکی
یکی از بزرگترین کاربردهای Re: شباهت دینامیکی. اگر دو جریان در مقیاسهای مختلف Re یکسانی داشته باشند،
الگوی جریانشان مشابه است — حتی اگر یکی مدل آزمایشگاهی ۱/۱۰ باشد.
کشتی واقعی: L = ۲۰۰m، v = ۱۰ m/s → Re = 10 × 200 / 10⁻⁶ = ۲×۱۰⁹
مدل ۱/۱۰۰: L = ۲m → برای Re برابر باید v = ۱۰۰۰ m/s → غیرممکن!
راهحل: از سیال متفاوت با ν کوچکتر استفاده میشود (مثل آب داغ تحت فشار).
۱۰. ارتباط با مقاومت (ضریب پسا)
ضریب پسا (drag coefficient) CD تابعی از Re است:
$$F_D = \frac{1}{2}\,C_D(Re)\,\rho\,v^2\,A$$
| رژیم | Re | CD برای کره | رابطه |
|---|---|---|---|
| استوکس (خزش) | Re ≪ ۱ | 24/Re | CD ∝ 1/Re |
| گذار | ۱ – ۱۰۰۰ | ≈ 0.4 – 24/Re | پیچیده |
| آشفته | ۱۰³ – ۲×۱۰⁵ | ≈ ۰.۴۴ | تقریباً ثابت |
| بحران پسا | ≈ ۲×۱۰⁵ | ↓ ناگهانی به ~۰.۱ | جدایش آشفته |
در رژیم استوکس (Re ≪ ۱): قانون استوکس: \(F_D = 6\pi\mu r v\) → C_D = 24/Re
۱۱. Re در دنیای زیستی
-
باکتریها: L ≈ ۱μm، v ≈ ۳۰μm/s → Re ≈ ۳×۱۰⁻⁵.
برای باکتری آب مثل عسل است! هرگاه شناکردن را متوقف کنند، فوری میایستند (بدون اینرسی). - ماهی بزرگ: L = ۱m، v = ۲ m/s → Re ≈ ۲×۱۰⁶. جریان آشفته، شنا از گردابها سود میبرد.
- مویرگهای خونی: D ≈ ۸μm، v ≈ ۱mm/s → Re ≈ ۰.۰۰۸. عمیقاً لایهای — انتشار اکسیژن به روش دیفیوژن.
- ریهها (نای): D ≈ ۱.۸cm، v ≈ ۱ m/s → Re ≈ ۱۲۰۰. نزدیک گذار — طراحی دقیق برای تبادل O₂/CO₂.
۱۲. Re در مسائل IYPT 2027
| مسئله | Re کجا اهمیت دارد؟ | مقدار تقریبی |
|---|---|---|
| P7: قیف غرقشونده | جریان هوا در لولهی قیف — اعتبارسنجی H-P | Re ≈ ۲۰۰–۶۰۰۰ (بسته به r) |
| P10: گرداب هوا | گردابهی رینگ هوا — جریان آشفته | Re ≈ ۱۰⁴ – ۱۰⁵ |
| P14: کرمهای غیرنیوتونی | Re تعمیمیافته برای سیال غیرنیوتونی | Reeff متغیر |
| P3: توپ حلزونی | جریان اطراف توپ در غلتش | Re ≈ ۱۰³ – ۱۰⁴ |
| P13: آونگ گردابهای | القای گردابه در سیال | Re > ۴۰ (گردابههای کارمان) |
۱۳. خلاصه و نکات کلیدی
- Re = ρvL/μ = vL/ν — عدد بیبعد نسبت نیروهای اینرسی به لزجت
- Re کوچک → لایهای (آرام، پیشبینیپذیر، پروفیل سهمی)
- Re بزرگ → آشفته (گرداب، اختلاط، پروفیل مسطح)
- مقدار بحرانی وابسته به هندسه است (لوله: ~۲۳۰۰)
- شباهت دینامیکی: دو جریان با Re برابر رفتار مشابه دارند (بنیاد تونل باد)
- در معادلات N-S بیبعد، Re ضریب جملهی لزجت را کنترل میکند (1/Re)
- در مهندسی زیستی: Re از ~10⁻⁵ (باکتری) تا ~10⁶ (کوسه) تغییر میکند
شبیهساز تعاملی عدد رینولدز
پارامترها را تنظیم کنید و «محاسبه» را بزنید تا نمودارها رسم شوند.
مراجع
- Reynolds, O. (1883). "An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 174, 935–982.
- White, F.M. (2016). Fluid Mechanics, 8th ed. McGraw-Hill. (فصل ۶: جریان لزج در داکتها)
- Munson, B.R., Okiishi, T.H., Huebsch, W.W., & Rothmayer, A.P. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics, 7th ed. Wiley. (فصل ۸: جریان درونی)
- Landau, L.D. & Lifshitz, E.M. (1987). Fluid Mechanics, 2nd ed. Pergamon Press. §27: Turbulent Flow.
- Tritton, D.J. (1988). Physical Fluid Dynamics, 2nd ed. Oxford University Press. Chapter 2: Laminar and Turbulent Flow.
- Purcell, E.M. (1977). "Life at low Reynolds number." American Journal of Physics, 45(1), 3–11. — مقالهی کلاسیک دربارهی جریان باکتریها
- Denn, M.M. (1980). Process Fluid Mechanics. Prentice-Hall. (آنالیز ابعادی و شباهت)
- Cengel, Y.A. & Cimbala, J.M. (2018). Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications, 4th ed. McGraw-Hill. (فصل ۸: عدد رینولدز و ضریب اصطکاک)
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.
💬 جواب بهتری داری؟ یا یه سؤال جدید؟
اگه به سؤالای بالا پاسخی داری که فکر میکنی روشنتر یا کاملتر از مال منه، یا یه سؤال جدید برای دانشآموزای دیگه داری — تو بخش نظرات پایین صفحه ارسال کن. هر پیامی رو میخونم، تأیید میکنم و منتشر میشه. اینجوری همه از تجربهی همدیگه استفاده میکنیم. 🌱