مشتق بردار موقعیت \vec r(t) نسبت به زمان، بردار سرعت رو میده. مشتق دوم، بردار شتاب. همهی معادلات کینماتیک فصل ۲ حالا برداری میشن.
سرعت متوسط
\[ \vec v_\text{avg} = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\vec r_2 - \vec r_1}{t_2 - t_1} \]
تفسیر: بردار — هم اندازه هم جهت. جهتش، جهت جابهجایی ـه.
سرعت لحظهای
\[ \vec v = \frac{d\vec r}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat i + \frac{dy}{dt}\hat j + \frac{dz}{dt}\hat k = v_x \hat i + v_y \hat j + v_z \hat k \]
نکته: هر مؤلفه مستقل مشتق گرفته میشه. سرعت لحظهای، مماس بر مسیر در هر نقطهست.
تفسیر هندسی: با کاهش \Delta t → 0، بردار \Delta \vec r/\Delta t میچرخه و به مماس بر مسیر میرسه.
تندی (Speed) در مقابل سرعت
- تندی (speed):
|\vec v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}(اسکالر، همیشه مثبت) - سرعت (velocity):
\vec v(بردار، اندازه + جهت)
تندی متوسط: کل مسافت تقسیم بر زمان. سرعت متوسط: بردار جابهجایی تقسیم بر زمان. این دو متفاوتان (§۲.۱).
شتاب متوسط
\[ \vec a_\text{avg} = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \]
شتاب لحظهای
\[ \vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d^2 \vec r}{dt^2} \]
مؤلفهای:
\[ \vec a = a_x \hat i + a_y \hat j + a_z \hat k \]
نکتهی کلیدی: شتاب میتونه از دو دلیل بیاد:
- تغییر اندازهی سرعت (تندتر یا کندتر)
- تغییر جهت سرعت (حتی اگه تندی ثابت باشه!)
مثال: ماشین در پیچ با تندی ثابت. سرعت (بردار) داره تغییر میکنه، پس شتاب داره.
معادلات کینماتیک برداری با شتاب ثابت
اگه \vec a = const، معادلات فصل ۲ بهطور برداری برقرارن:
\[ \vec v(t) = \vec v_0 + \vec a\, t \]
\[ \vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{1}{2}\vec a\, t^2 \]
قدرت این فرم: هر مؤلفه (x, y, z) یه معادلهی مستقل داده — هر کدوم دقیقاً مثل فصل ۲.
اصل استقلال مؤلفهها
اگر شتاب فقط در یه جهت باشه، حرکت در جهتهای دیگه یکنواخته.
مثال کلاسیک: پرتابه. شتاب فقط رو به پایین (\vec a = -g\hat j). پس:
- حرکت افقی (
x):a_x = 0→ یکنواخت —v_x = const = v_{0x}—x = v_{0x} t - حرکت عمودی (
y):a_y = -g→ معادلات سقوط آزاد —y = v_{0y} t - \frac{1}{2}g t^2
دو حرکت مستقل، همزمان. این اصل، گالیله رو به کشف قانون جهانی سقوط کمک کرد.
مثال — پرتاب یه توپ
توپی از (0, 0) با سرعت اولیهی \vec v_0 = 15\hat i + 20\hat j\ \mathrm{m/s} پرتاب میشه. \vec a = -9.8\hat j\ \mathrm{m/s^2}.
سرعت در t = 2 s:
\[ \vec v(2) = (15\hat i + 20\hat j) + (-9.8\hat j)(2) = 15\hat i + 0.4\hat j \]
موقعیت در t = 2 s:
\[ \vec r(2) = 0 + (15\hat i + 20\hat j)(2) + \frac{1}{2}(-9.8\hat j)(4) = 30\hat i + 40\hat j - 19.6\hat j = 30\hat i + 20.4\hat j \]
توپ در (30 m, 20.4 m) قرار داره و سرعتش تقریباً افقی (چون v_y ≈ 0 — تقریباً در نقطهی اوج).
چند نکته و اشتباه رایج
۱. سرعت مماس بر مسیر ـه، نه لزوماً افقی. اگه ذره روی پارابولا حرکت میکنه، سرعت مماس بر پارابولا در هر نقطهست.
۲. شتاب میتونه عمود بر سرعت باشه.
در حرکت دایرهای یکنواخت، \vec a \perp \vec v. تندی ثابت، ولی جهت داره عوض میشه.
۳. تندی ثابت لزوماً یعنی شتاب صفر نیست. اگه فقط جهت عوض میشه، شتاب مخالف صفره — و همیشه به سمت مرکز چرخش.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
\vec v = d\vec r/dtو\vec a = d\vec v/dtرو با فرم مؤلفهای استفاده کنی- تفاوت تندی و سرعت رو تشخیص بدی
- معادلات کینماتیک برداری با شتاب ثابت رو بشناسی
- اصل استقلال مؤلفهها رو در مسائل پرتابه بهکار ببری
- دو دلیل شتاب (تغییر اندازه یا جهت) رو تشخیص بدی
پیشنمایش §۴.۳
نمونهی کلاسیک از حرکت ۲ بعدی: پرتابه. §۴.۳ روی این تمرکز میکنه — با شتاب ثابت \vec g رو به پایین، حرکت افقی یکنواخت، و همهی معادلات لازم.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 4, §4.2 — Velocity and Acceleration.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.