جسمی که با تندی ثابت روی یه دایره حرکت میکنه — اما در هر لحظه، جهت سرعت تغییر میکنه. پس شتاب داره! این «شتاب مرکزگرا» ـه — به سمت مرکز دایره.
تعریف
- تندی ثابت:
|\vec v| = v = const - مسیر: دایره با شعاع
r - دورهی تناوب (
T): زمان یک دور کامل - تندی:
v = 2\pi r / T
چرا شتاب وجود داره؟
سرعت بردار ـه — هم اندازه هم جهت. اگه جهت داره تغییر میکنه (حتی با اندازهی ثابت)، بردار سرعت داره تغییر میکنه — پس مشتقش (شتاب) صفر نیست.
اندازهی شتاب مرکزگرا
\[ \boxed{a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}} \]
جهت: همیشه به سمت مرکز دایره — عمود بر سرعت (که مماس بر دایرهست).
استخراج
سرعت در t:
\[ \vec v(t) = -v \sin(\omega t)\hat i + v \cos(\omega t)\hat j \]
که \omega = 2\pi/T سرعت زاویهای ـه.
مشتق برای شتاب: \[ \vec a(t) = -v\omega \cos(\omega t)\hat i - v\omega \sin(\omega t)\hat j \]
اندازه: |\vec a| = v\omega = v \cdot v/r = v^2/r ✓
جهت: مخالف بردار موقعیت (که از مرکز به بیرون ـه). یعنی به سمت مرکز.
مثالها
مثال ۱ — ماشین در پیچ:
ماشین با تندی 20 m/s روی پیچی به شعاع 100 m. شتاب مرکزگرا:
\[ a_c = \frac{20^2}{100} = 4\ m/s^2 \]
مثال ۲ — ماه به دور زمین:
شعاع مدار r = 3.84 \times 10^8 m، دوره T = 27.3\ روز = 2.36 \times 10^6\ s.
\[ a_c = \frac{4\pi^2 \cdot 3.84 \times 10^8}{(2.36 \times 10^6)^2} \approx 2.7 \times 10^{-3}\ m/s^2 \]
که همون شتاب گرانشی زمین در فاصلهی ماه ـه (پیوست ۱ گرانش).
مثال ۳ — سرگیجهسنج فضانوردان:
یه صندلی به شعاع 5 m که هر ثانیه دور میزنه (T = 1 s).
\[ a_c = \frac{4\pi^2 \cdot 5}{1^2} \approx 197\ m/s^2 \approx 20g \]
خیلی زیاد! فضانوردان توی تمرینهای شبیهساز شتاب ~۹g تحمل میکنن.
دوره، فرکانس، سرعت زاویهای
- دوره
T: ثانیه در یک دور - فرکانس
f = 1/T: دور در ثانیه (هرتز، Hz) - سرعت زاویهای
\omega = 2\pi/T = 2\pi f: رادیان در ثانیه
روابط:
\[ v = \omega r,\quad a_c = \omega^2 r = v^2/r \]
چند نکته و اشتباه رایج
۱. تندی ثابت ≠ شتاب صفر. معمولترین اشتباه. اگه جهت داره عوض میشه، شتاب داری.
۲. شتاب مرکزگرا رو به مرکز. اسمش «مرکزگرا» چون «به مرکز کشیده میشه». نه به بیرون (که «گریز از مرکز» میشه — که خودش یه اشتباه رایج دیگهست).
۳. سرعت مماس بر دایره. عمود بر شعاع. اگه جسم یه لحظه رها بشه، مماس بر دایره جدا میشه (مثل توپی که از قلاب رها میشه).
۴. یکای زاویه.
همیشه در فیزیک، رادیان استفاده کن (نه درجه). 2\pi رادیان = یک دور کامل.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
a_c = v^2/rرو محاسبه کنی و بدونی جهتش به مرکز ـه- ربط
v, \omega, T, fرو بشناسی a_cرو در واحدهایm/s^2یاgبیان کنی- تشخیص بدی چرا تندی ثابت لزوماً یعنی شتاب صفر نیست
پیشنمایش §۴.۵
سؤال جالبی: سرعت به کی نسبت به کی؟ یه توپ توی قطار افتاد — از دید مسافر، عمودی. از دید ناظر روی زمین، پارابولا. §۴.۵ به «سرعت نسبی» میپردازه.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 4, §4.5 — Uniform Circular Motion.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.