هفت مسئلهی حلشده. هر یک تگ به بخش §۴.x مربوطه.
مسئله ۱ (§۴.۳) — پرتاب یه توپ به سقف
توپی رو با v_0 = 25 m/s در \theta = 55° پرتاب میکنی. حداکثر ارتفاع و برد؟
حل:
v_{0x} = 25\cos 55° \approx 14.34\ m/sv_{0y} = 25\sin 55° \approx 20.48\ m/sy_\text{max} = v_{0y}^2/(2g) = 20.48^2/19.6 \approx 21.4\ mT = 2v_{0y}/g \approx 4.18\ sR = v_{0x} T \approx 60.0\ m
مسئله ۲ (§۴.۳) — پرتاب از پرتگاه
از پرتگاهی به ارتفاع 50 m سنگی رو با v_0 = 20 m/s بهطور افقی پرتاب میکنی. کجا فرود میآد؟ سرعت برخورد؟
حل:
v_{0x} = 20,v_{0y} = 0y = 50 - \frac{1}{2}gt^2 = 0 \Rightarrow t = \sqrt{100/9.8} \approx 3.19\ sx = v_{0x} t = 20 \cdot 3.19 = 63.9\ m(فاصله از پای پرتگاه)v_y = -gt = -31.3\ m/s- سرعت برخورد:
\sqrt{20^2 + 31.3^2} \approx 37.1\ m/s
مسئله ۳ (§۴.۴) — دیسکوی پرنده
یه فرقان روی گویی به شعاع 10 m با تندی 50 m/s میچرخه. شتاب مرکزگرا و دورهی تناوب؟
حل:
a_c = 50^2/10 = 250\ m/s^2 \approx 25.5gT = 2\pi r/v = 2\pi \cdot 10/50 \approx 1.26\ s
مسئله ۴ (§۴.۴) — ماهواره در مدار
ماهوارهای در مدار دایرهای دور زمین با شعاع r = 7000 km میچرخه. سرعت مداری؟ (فرض g = GM/r^2 = 8.14 m/s^2)
حل: شتاب مرکزگرا برابر شتاب گرانش:
v^2/r = g \Rightarrow v = \sqrt{gr} = \sqrt{8.14 \cdot 7 \times 10^6} \approx 7550\ m/s \approx 27200\ km/h
دوره: T = 2\pi r/v \approx 5827\ s \approx 97\ min
مسئله ۵ (§۴.۵) — قایق روی رودخانه
رودخانهای به عرض 100 m با سرعت 2 m/s جریان داره. قایقی میتونه 4 m/s نسبت به آب حرکت کنه.
الف) اگه قایقران دقیقاً به سمت طرف مقابل (عمود بر جریان) هدفگیری کنه، کجا فرود میآد و چقدر طول میکشه؟ ب) اگه بخواد دقیقاً به طرف مقابل برسه (بدون انحراف)، چه زاویهای؟
حل:
الف) زمان عبور: t = 100/4 = 25\ s
انحراف: x = 2 \cdot 25 = 50\ m پاییندست.
ب) قایق باید مؤلفهی -2 m/s بالادست داشته باشه.
\sin\theta = 2/4 = 0.5 \Rightarrow \theta = 30° بالادست.
سرعت واقعی نسبت به زمین: 4\cos 30° \approx 3.46\ m/s.
زمان: 100/3.46 \approx 28.9\ s (بیشتر از حالت الف).
مسئله ۶ (§۴.۳ + §۴.۴) — پرتابه با پیچش (بیسبال منحنی)
توپ بیسبال با v_0 = 40 m/s در \theta = 30° پرتاب میشه. علاوه بر گرانش، شتاب مغناطیس-مانند 1.5 m/s^2 عمود بر مسیر (به راست) از پیچش، عمل میکنه. مقایسه با پرتابهی معمولی — تقریب برد نهایی؟
حل سادهشده:
- برد پرتابهی معمولی:
R_0 = v_0^2 \sin(2\theta)/g = 1600 \sin 60°/9.8 \approx 141.4\ m - زمان کل:
T \approx 4.08\ s - شتاب جانبی:
1.5\ m/s^2طی زمانT→ انحراف جانبی\frac{1}{2}(1.5)(4.08)^2 \approx 12.5\ m
توپ به راست ~۱۲ متر منحرف میشه (اثر مگنوس). این مبنای «توپ منحنی» بیسبال ـه.
مسئله ۷ (§۴.۲ + §۴.۳) — ذره با شتاب متغیر
ذرهای در t=0 در مبدأ ـه با \vec v_0 = 3\hat i\ m/s. شتاب \vec a(t) = 2t\hat j\ m/s^2. \vec r(t)؟
حل:
\[ \vec v(t) = \vec v_0 + \int_0^t 2t' dt' \hat j = 3\hat i + t^2\hat j \]
\[ \vec r(t) = \int_0^t \vec v dt' = 3t\hat i + \frac{t^3}{3}\hat j \]
در t = 3: \vec r = 9\hat i + 9\hat j, \vec v = 3\hat i + 9\hat j.
بینش: حتی وقتی شتاب زمانوابستهست، ابزارهای انتگرال §۲.۶ کار میکنن — فقط برداری.
استراتژی نهایی
۱. قاب مرجع و محور رو انتخاب کن که مسئله ساده شه
۲. بردارها رو به مؤلفه تجزیه کن
۳. مؤلفههای x, y مستقل حل کن — این کلید ۹۰٪ مسائل ۲ بعدیه
۴. نتیجهی نهایی رو با اندازه/زاویه یا برداری بیان کن
۵. بررسی معقول بودن — علامتها، یکاها، مقدار
پیشنمایش §۴.۷
بیست مسئلهی تمرینی (بدون راهحل قدمبهقدم) با جوابهای نهایی.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 4 — Worked Examples.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.