از §۴.۴ میدونیم جسم در حرکت دایرهای یکنواخت شتاب مرکزگرا داره: a_c = v^2/r به سمت مرکز. حالا سؤال کلیدی: کدوم نیرو این شتاب رو تأمین میکنه؟
قانون دوم برای حرکت دایرهای
\[ \vec F_\text{net} = m\vec a_c \Rightarrow F_\text{net,رادیال} = \frac{mv^2}{r} \]
نکتهی مهم: «نیروی مرکزگرا» یه نیروی جدید نیست — یه نقش ـه که یه نیروی موجود (اصطکاک، طناب، گرانش، عادی، الکترومغناطیس) بازی میکنه.
مثال ۱ — ماشین در پیچ
ماشین با تندی v روی پیچی به شعاع r روی سطح افقی. اصطکاک بین لاستیک و جاده نقش نیروی مرکزگرا رو داره:
\[ f_s = \frac{mv^2}{r} \]
حداکثر سرعت بدون لغزش: وقتی اصطکاک ایستایی به سقف رسید (\mu_s N = \mu_s mg):
\[ \mu_s mg = \frac{mv_\text{max}^2}{r} \Rightarrow v_\text{max} = \sqrt{\mu_s g r} \]
مثال عددی: \mu_s = 0.7, r = 50 m:
\[ v_\text{max} = \sqrt{0.7 \cdot 9.8 \cdot 50} = \sqrt{343} \approx 18.5\ m/s \approx 66.6\ km/h \]
اگه سریعتر بری، اصطکاک نمیتونه شتاب مرکزگرا رو تأمین کنه — ماشین لغزش میکنه.
مثال ۲ — پیچ کج (Banked Turn)
جادهای کج به زاویهی \theta. بدون اصطکاک (سرعت طراحی)، فقط نیروی عادی سطح میتونه شتاب مرکزگرا رو تأمین کنه.
تجزیهی نیروی عادی:
- عمودی:
N\cos\theta = mg - افقی (رادیال):
N\sin\theta = mv^2/r
تقسیم:
\[ \tan\theta = \frac{v^2}{gr} \]
\[ v_\text{طراحی} = \sqrt{gr\tan\theta} \]
نتیجه: با پیچ کج، بدون اصطکاک میتونی با سرعت v_\text{طراحی} بگذری. اگه سرعتت بیشتر یا کمتر، اصطکاک وارد عمل میشه.
مثال ۳ — طناب و توپ (Conical Pendulum)
توپی به طول L از سقف آویزون، توی صفحهی افقی میچرخه. طناب زاویهی \theta از عمود میسازه. شعاع دایره: r = L\sin\theta.
تجزیهی کشش طناب:
- عمودی:
T\cos\theta = mg - افقی:
T\sin\theta = mv^2/r
\[ \tan\theta = \frac{v^2}{gr} = \frac{v^2}{g L\sin\theta} \]
\[ v^2 = gL\sin\theta\tan\theta \]
مثال ۴ — چرخش عمودی (Loop)
قطار جادهی وحشت روی حلقهی عمودی. در بالای حلقه، هم گرانش و هم نیروی عادی رو به پایین (به سمت مرکز):
\[ N + mg = \frac{mv^2}{r} \]
حداقل سرعت در بالا برای اینکه قطار جدا نشه (N = 0):
\[ v_\text{min} = \sqrt{gr} \]
در پایین حلقه: نیروی عادی رو به بالا (مرکز)، گرانش رو به پایین:
\[ N - mg = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow N = m\left(g + \frac{v^2}{r}\right) \]
مسافر احساس «سنگینتر» میکنه — چند برابر وزنش.
مثال ۵ — ماهواره در مدار
نیروی گرانش نقش مرکزگرا رو داره:
\[ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]
ماه: r = 3.84 \times 10^8 m, GM = 4 \times 10^{14}:
\[ v = \sqrt{10^6} = 10^3\ m/s \approx 1\ km/s \]
نکات مهم
۱. «نیروی مرکزگرا» یه نوع خاص نیرو نیست. همیشه از یه نیروی معمولی میآد. اصطکاک، طناب، گرانش، ...
۲. مرکزگرا همیشه به سمت مرکز. اگه نیرو در جهت مخالف باشه، دایرهای نیست.
۳. تندی ثابت لزوماً یعنی نیرو صفر نیست. همیشه در حرکت دایرهای یکنواخت، نیرو داره.
۴. برای حرکت دایرهای، فقط مؤلفهی رادیال مهمه. مؤلفههای مماسی رو در §۶.۳ میبینیم — که وقتی تندی متغیره کاربرد داره.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- قانون دوم در حرکت دایرهای —
F_\text{net,رادیال} = mv^2/r - تشخیص نیرویی که نقش مرکزگرا داره در سناریوهای مختلف
- محاسبهی حداکثر سرعت ماشین در پیچ افقی
- استخراج زاویهی طراحی پیچ کج
- دینامیک حلقهی عمودی — نیروی عادی در بالا و پایین
پیشنمایش §۶.۳
اگه تندی هم داره تغییر میکنه چه؟ شتاب مماسی اضافه میشه. §۶.۳.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 6, §6.5.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.