بیست مسئله در سه سطح. جوابها در انتها.
⭐ ۱ (§۶.۲) — ماشین 1000 kg روی پیچ r=50 m با v=15 m/s. نیروی مرکزگرا؟
⭐ ۲ (§۶.۲) — پیچ r=100 m، \mu_s=0.5. حداکثر سرعت؟
⭐ ۳ (§۶.۲) — حلقهی عمودی r=8 m. حداقل سرعت در بالا؟
⭐ ۴ (§۶.۳) — شتاب رادیال 3 m/s²، مماسی 4 m/s². شتاب کل؟
⭐⭐ ۵ (§۶.۲) — طنابی L=1.5 m، توپ در انتها با v=3 m/s روی صفحهی افقی. زاویهی طناب از عمود؟
⭐⭐ ۶ (§۶.۲) — پیچ کج زاویهی 10°، شعاع 200 m. سرعت طراحی؟
⭐⭐ ۷ (§۶.۵) — اسکایدایور 70 kg, A=0.7 m², C_d=0.7. سرعت پایانی؟
⭐⭐ ۸ (§۶.۴) — ماشین با شتاب 3 m/s². توپی که با طنابی از سقف آویزون. زاویهی طناب از عمود؟
⭐⭐ ۹ (§۶.۲) — گیسگانه (Carousel) با T=6 s. شعاع اتاق 4 m. \mu_s لازم که مسافر لغزش نکنه؟
⭐⭐ ۱۰ (§۶.۲) — ماهواره در 2R_E از مرکز. سرعت مدار؟ (GM = gR_E^2)
⭐⭐ ۱۱ (§۶.۵) — قطرهی باران 2 mm قطر. رژیم؟ تخمین سرعت پایانی.
⭐⭐ ۱۲ (§۶.۲) — قطار در تونل دایرهای عمودی. در پایین حلقه، نیروی عادی چند برابر وزن ـه اگه v = 2\sqrt{gr}؟
⭐⭐⭐ ۱۳ (§۶.۴) — اتوبوس در پیچ r=100 m با v=15 m/s. توپ روی زمین اتوبوس. از دید مسافر، نیروی خالص جعلی؟
⭐⭐⭐ ۱۴ (§۶.۳) — آونگ سرعت v در پایین. کشش طناب؟ (طول L, جرم m)
⭐⭐⭐ ۱۵ (§۶.۵) — سقوط با F_\text{drag} = bv. زمان لازم برای رسیدن به 90% سرعت پایانی؟
⭐⭐⭐ ۱۶ (§۶.۲) — پیچ کج در باران، اصطکاک کم. بیشترین سرعت؟
⭐⭐⭐ ۱۷ (§۶.۴) — سنگی از قلهی 1000 m رها میشه در نیمکرهی شمالی. انحراف کوریولیس تخمین؟
⭐⭐⭐ ۱۸ (§۶.۲ + §۶.۵) — اسکایدایور در سرعت پایانی. اگه چتر باز کنه، شتاب اولیه چقدر ـه؟
⭐⭐⭐ ۱۹ (§۶.۲) — ماشین در پیچ کج θ=15°، r=300 m، \mu_s = 0.3. بیشترین و کمترین سرعت بدون لغزش؟
⭐⭐⭐ ۲۰ (§۶.۶) — نسبت نیروی الکترومغناطیس به گرانش بین دو پروتون؟
جوابها
۱) F = mv²/r = 4500 N
۲) v = \sqrt{0.5 \cdot 9.8 \cdot 100} = 22.1\ m/s
۳) v_\text{min} = \sqrt{9.8 \cdot 8} = 8.85\ m/s
۴) \sqrt{9+16} = 5\ m/s²
۵) \tan\theta = v²/(gr) که r = L\sin\theta. عددی: حل با تکرار، \theta \approx 30°
۶) v = \sqrt{gr\tan 10°} = \sqrt{9.8 \cdot 200 \cdot 0.176} \approx 18.6\ m/s
۷) v_t = \sqrt{2 \cdot 70 \cdot 9.8/(1.2 \cdot 0.7 \cdot 0.7)} \approx 53\ m/s
۸) \tan\theta = 3/9.8 \Rightarrow \theta \approx 17°
۹) \omega = 2\pi/6 = 1.05\ rad/s. a_c = \omega²r = 4.4\ m/s². \mu_s \geq a_c/g = 0.45
۱۰) v = \sqrt{gR_E²/(2R_E)} = \sqrt{gR_E/2}. با R_E = 6.37 \times 10^6: v = 5590\ m/s
۱۱) رژیم اینرشیایی. تخمین: ~6-7 m/s
۱۲) در پایین: N = m(g + v²/r) = m(g + 4g) = 5mg. پنج برابر وزن.
۱۳) a_c = 225/100 = 2.25\ m/s². نیروی جعلی سانتریفوگ: -ma_c = -2.25m به سمت بیرون. توپ روی زمین اصطکاک ممکنه نگهش داره.
۱۴) در پایین، مرکزگرا رو به بالا: T - mg = mv²/L \Rightarrow T = m(g + v²/L)
۱۵) از v = v_t(1 - e^{-t/\tau}) با \tau = m/b. 0.9 = 1 - e^{-t/\tau} \Rightarrow t = \tau \ln 10 = 2.3\tau.
۱۶) اگه \mu خیلی کم، فقط سرعت طراحی — با اصطکاک ناچیز، فقط v_\text{design} قابل اطمینان.
۱۷) انحراف کوریولیس شرقی: \delta = \omega t^3 g/3 که t = \sqrt{2h/g}. t = \sqrt{200/9.8} \approx 14.3 s. \delta \approx 7.29 \times 10^{-5} \cdot 14.3^3 \cdot 9.8/3 \approx 0.7\ m به شرق.
۱۸) شتاب اولیه: a = g - k v_t^2/m که v_t سرعت پایانی قبلی. اگه k' جدید خیلی بزرگتر، شتاب تقریباً -g (به بالا).
۱۹) با اصطکاک، رنج سرعت بین v_\text{min} و v_\text{max}. تحلیل مفصل — تقریباً v_\text{min} \approx 19 m/s, v_\text{max} \approx 42 m/s.
۲۰) F_e/F_g = ke^2/(Gm_p^2) \approx 1.24 \times 10^{36}. الکترومغناطیس 10^{36} برابر قویتر.
پیشنمایش §۶.۹
پرسش و پاسخ.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 6 — Problems.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.