§۷.۲ — کار نیروی متغیر

در دنیای واقعی، نیروها نادراً ثابت می‌مانن. فنر سفت‌تر می‌شه هرچه بیشتر فشرده بشه. گرانش با فاصله ضعیف‌تر می‌شه. مقاومت هوا به سرعت بستگی داره. وقتی نیرو در طول مسیر تغییر می‌کنه، نمی‌تونیم فرمول ساده‌ی §۷.۱ (\( W = F \Delta r \)) استفاده کنیم. درعوض باید انتگرال بگیریم.

تعریف انتگرالی کار

وقتی نیرو در طول مسیر متغیر ـه، مسیر رو به جابه‌جایی‌های بی‌نهایت کوچک \( d\mathbf{r} \) تقسیم می‌کنیم و کار رو روی هر قطعه جمع می‌کنیم:

\[ W = \int_{\text{path}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \]

جایی‌کـه انتگرال بر مسیری که جسم فعلاً طی می‌کنه گرفته می‌شه.

معنی فیزیکی: در هر نقطه از مسیر، جزء نیرو موازی با حرکت رو محاسبه می‌کنیم، در فاصله‌ی بی‌نهایت کوچک ضرب می‌کنیم، و جمع می‌کنیم. در حد گام‌های بی‌نهایت کوچک، این انتگرال می‌شه.

برای حرکت در یک‌بُعد بر روی محور \( x \):

\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) \, dx \]

جایی‌کـه \( F_x(x) \) جزء \( x \) نیرو است به‌عنوان تابعی از موقعیت.

قانون هوک و کار فنر

فنر نیروی متناسب با میزان کشیدن یا فشار دادن وارد می‌کنه:

\[ F_{\text{spring}} = -kx \]

جایی‌کـه k ثابت فنر است [N/m]، x جابه‌جایی از تعادل است [m]، و علامت منفی نشان می‌ده که نیرو در خلاف جابه‌جایی است (نیروی بازگردان).

کار برای فشردن فنر از حالت ساکن تا جابه‌جایی \( x_0 \):

تصور کن که اسباب‌بازی پُر‌شده از فنر رو از \( x = 0 \) (طول طبیعی) تا \( x = x_0 \) (فشرده) هل می‌دی. نیرویی که تو بر فنر وارد می‌کنی به‌طور خطی افزایش می‌یابد: \( F_{\text{applied}} = kx \).

\[ W_{\text{applied}} = \int_0^{x_0} kx \, dx = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{x_0} = \frac{1}{2} k x_0^2 \]

این انرژی‌ای ـه که در فنر ذخیره می‌شه (انرژی پتانسیل الاستیکی، §۷.۴).

کار انجام‌شده توسط فنر بر دستت:

وقتی فنر عقب‌تر هل می‌ده و دستت عقب‌تر می‌رفت (فرض کن که مقاومت نمی‌کنی)، فنر کار منفی انجام می‌ده:

\[ W_{\text{spring}} = -\frac{1}{2} k x_0^2 \]

علامت منفی نشان می‌ده که فنر انرژی‌ای رو که ذخیره کردی برمی‌گیره.

مثال: فشردن فنر تاپ ماشین

تاپ ماشین دارای فنری است با ثابت فنری \( k = 5{,}000 \) N/m. برخورد فنر رو تا \( x_0 = 0.15 \) m فشرده می‌کنه پیش‌از این‌که ماشین ایستایش بیاید.

کار انجام‌شده توسط فنر روی ماشین (کندتر کردن):

\[ W_{\text{spring}} = -\frac{1}{2} k x_0^2 = -\frac{1}{2} \times 5{,}000 \times (0.15)^2 \]

\[ = -\frac{1}{2} \times 5{,}000 \times 0.0225 = -56.25 \text{ J} \]

آه — این برای برخورد ماشین خیلی کم به نظر می‌رسه! ثابت فنر اینجا به‌منظور توضیح بیش‌ازحد کوچک است. در واقعیت، k بزرگ‌تر می‌تونه باشه (تاپ سفت) یا x_0 بزرگ‌تر می‌تونه باشه (ماده نرم)، و کار در رتبه کیلوژول می‌تونه باشه.

تفسیر هندسی: مساحت زیر منحنی

روی نمودار \( F \)-\( x \)، کار انجام‌شده برابر مساحت زیر منحنی بین موقعیت‌های ابتدایی و نهایی است.

برای نیروی ثابت (§۷.۱): نمودار \( F \)-\( x \) خطی افقی است در ارتفاع \( F \). مساحت یه مستطیل است: \[ W = F \times \Delta x \]

برای فنر (قانون هوک): نمودار \( F \)-\( x \) خطی است از مبدأ با شیب \( k \). مساحت زیر خط از \( x=0 \) تا \( x=x_0 \) یه مثلث است: \[ \text{مساحت} = \frac{1}{2} \times x_0 \times (kx_0) = \frac{1}{2} k x_0^2 \]

برای نیروی دل‌خواه: منحنی \( F \)-\( x \) دل‌خواه است. کار مساحت کل ـه، که اونو با انتگرال یا تقریب عددی حساب می‌کنی.

نیروی متغیر در فاصله: مثال مقاومت هوا

هواپیمایی کند می‌شه بخاطر کشش هوایی. نیروی کشش به سرعت بستگی داره: \( F_{\text{drag}} = -bv \)، جایی‌کـه b ضریب کشش است [N·s/m]. هرچه هواپیما کند‌تر شه، نیرو کمتر می‌شه.

بیان نیرو به‌عنوان تابعی از موقعیت به دانستن \( v(x) \) نیاز داره، که پیچیده‌ست. معمولاً ما با استفاده از قضیه‌ی کار و انرژی (§۷.۳) این رو حل می‌کنیم: کار انجام‌شده برابر تغییر انرژی جنبشی است.

بینش کلیدی: چه نیرو ثابت باشه یا متغیر، انتگرال \( \int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \) همیشه کار رو بده، و این کار برابر تغییر انرژی جنبشی است.

وابستگی به مسیر و نیروهای محافظ‌کار (Conservative)

سؤال مهمی: آیا کار به مسیر پیموده‌شده بستگی داره، یا فقط به نقاط شروع و پایان؟

نیروهای محافظ‌کار (conservative) (مثل گرانش، نیروی فنر، نیروی الکتریکی) ویژگی خاصی دارن: کار انجام‌شده فقط به موقعیت‌های ابتدا و انتها بستگی داره، نه به مسیر:

\[ W_{\text{conservative}} = W(x_2) - W(x_1) \]

جایی‌کـه \( W(x) \) تابعی است فقط از موقعیت (مرتبط با انرژی پتانسیل، §۷.۴).

نیروهای غیرمحافظ‌کار (مثل اصطکاک جنبشی، کشش هوا) به مسیر بستگی دارن: مسیرهای طولانی‌تر یعنی اصطکاک بیشتر و کار منتقل‌شده کمتر.

مثال: صعود کوه

ارتباط با فصل ۵ (قوانین نیوتن)

یاد داشته باش قانون دوم نیوتن: \( \mathbf{F} = m\mathbf{a} \). در فرم حسابان، شتاب مشتق سرعت است:

\[ a = \frac{dv}{dt} \]

با استفاده از قاعده‌ی زنجیری، می‌تونیم اون رو به وابستگی موقعیت ارتباط بدیم:

\[ a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx} \]

این ارتباط نیروها (قوانین نیوتن) رو به کار و انرژی (این فصل) متصل می‌کنه. قضیه‌ی کار و انرژی (§۷.۳) این ارتباط رو دقیق می‌کنه.

چه چیزی رو باید یاد بگیری

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۷.۳: قضیه‌ی کار و انرژی

قضیه‌ی کار و انرژی می‌گه:

\[ W_{\text{net}} = \Delta KE = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 \]

این نتیجه‌ی زیباست، کار خالص (از §۷.۱ و §۷.۲) رو به تغییر انرژی جنبشی متصل می‌کنه. این پُل است از نیروها به انرژی.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 7, §7.3 — Work Done by a Variable Force. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 7.2: Kinetic Energy and the Work-Energy Theorem. 📖 Khan Academy — Variable Force and Work: Spring Energy.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.