§۷.۳ — انرژی جنبشی

انرژی جنبشی انرژی است که جسمی دو‌ره‌نگ دارد بخاطر حرکتش. یکی از مهم‌ترین کمیت‌های فیزیک است بخاطر قضیه‌ی کار و انرژی: کار خالص روی جسم برابر تغییر انرژی جنبشی‌اش است. این رابطه‌ی ساده ولی عمیق نیروها (دینامیک) رو به انرژی متصل می‌کنه.

تعریف انرژی جنبشی

انرژی جنبشی جسمی با جرم m و سرعت v است:

\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \]

جایی‌کـه m جرم است [kg]، v سرعت است [m/s]، و KE انرژی جنبشی است [J].

نکات کلیدی:

نمونه عددی: گلوله‌ی سریع

یه گلوله‌ی ۱۰ گرمی (۰.۰۱ kg) با سرعت ۴۰۰ m/s حرکت می‌کنه.

\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (400)^2 = 0.005 \times 160{,}000 = 800 \text{ J} \]

گلوله ۸۰۰ J انرژی جنبشی حمل می‌کنه. اینجاست که گلوله‌ها می‌تونن از ماده نفوذ کنن — انرژی جنبشی نیرو رو بر سطح کوچکی متمرکز می‌کنه.

قضیه‌ی کار و انرژی

قضیه‌ی کار و انرژی نتیجه‌ی مرکزی این فصل ـه. می‌گه:

\[ W_{\text{net}} = \Delta KE = KE_f - KE_i = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 \]

جایی‌کـه \( W_{\text{net}} \) کار خالص (جمع همه‌ی نیروها) است، \( KE_i \) انرژی جنبشی ابتدایی است، و \( KE_f \) انرژی جنبشی نهایی است.

به حروف: کار خالص برابر تغییر انرژی جنبشی است.

چرا این درست است

اثبات از قانون دوم نیوتن و حسابان استفاده می‌کنه:

\[ F_{\text{net}} = ma = m\frac{dv}{dt} \]

مرتب‌سازی: \[ F_{\text{net}} \, dx = m \frac{dv}{dt} \, dx = m \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} \, dx = m v \, dv \]

جایی‌کـه از \( v = dx/dt \) استفاده کردیم.

انتگرال‌گیری هر دو طرف از موقعیت ابتدایی \( x_i \) تا موقعیت نهایی \( x_f \):

\[ \int_{x_i}^{x_f} F_{\text{net}} \, dx = \int_{v_i}^{v_f} m v \, dv = m \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{v_i}^{v_f} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 \]

سمت چپ کار خالص است، سمت راست تغییر انرژی جنبشی است. بنابراین:

\[ W_{\text{net}} = \Delta KE \]

کاربردها

مثال ۱: شتاب دادن به ماشین

یه ماشین ۱۵۰۰ kg از حالت سکون شروع می‌شه (v_i = 0) و با تأثیر نیروی موتور تا ۲۵ m/s شتاب می‌گیره. کار خالص روی ماشین چقدره؟

\[ \Delta KE = \frac{1}{2} \times 1500 \times (25)^2 - \frac{1}{2} \times 1500 \times 0^2 \]

\[ = \frac{1}{2} \times 1500 \times 625 = 468{,}750 \text{ J} \approx 469 \text{ kJ} \]

موتور باید ۴۶۹ kJ کار خالص انجام بده. (در واقعیت، بیشتر از این لازمه چون اصطکاک و کشش هوا کار منفی انجام می‌دن، پس توان خروجی موتور بالاتره.)

مثال ۲: فاصله‌ی ترمز

یه ماشین با سرعت ۳۰ m/s در حال حرکت، با نیروی اصطکاک ۶۰۰۰ N ترمز می‌شه. تا چه فاصله‌ای تا ایستایش پیش می‌رفته؟

روش: از قضیه‌ی کار و انرژی استفاده کن. نیروی اصطکاک کار منفی انجام می‌ده تا ماشین ایستایش بیاید.

\[ W_{\text{friction}} = \Delta KE = 0 - \frac{1}{2} \times 1500 \times (30)^2 \]

\[ = -\frac{1}{2} \times 1500 \times 900 = -675{,}000 \text{ J} \]

نیروی اصطکاک عقب‌تر است ۶۰۰۰ N، پس:

\[ W_{\text{friction}} = F_{\text{friction}} \times d = -6000 \times d \]

برابر کردن این دو:

\[ -6000 \times d = -675{,}000 \]

\[ d = \frac{675{,}000}{6000} = 112.5 \text{ m} \]

ماشین ۱۱۲.۵ m تا ایستایش پیش می‌رفته.

مثال ۳: برخورد با فنر

یه بلوک ۲ kg با سرعت ۴ m/s به یه فنر بر روی سطح بدون اصطکاک برخورد می‌کنه. بلوک فنر رو فشرده می‌کنه تا این‌کـه ایستایش بیاید. اگه ثابت فنری k = 200 N/m باشه، فنر چقدر فشرده می‌شه؟

انرژی جنبشی ابتدایی: \[ KE_i = \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \text{ J} \]

کار انجام‌شده توسط فنر: از §۷.۲، وقتی فنر به فاصله \( x_0 \) فشرده بشه، کار اونه: \[ W_{\text{spring}} = -\frac{1}{2} k x_0^2 \]

اعمال قضیه‌ی کار و انرژی (با سرعت نهایی صفر): \[ W_{\text{spring}} = KE_f - KE_i = 0 - 16 \]

\[ -\frac{1}{2} k x_0^2 = -16 \]

\[ \frac{1}{2} \times 200 \times x_0^2 = 16 \]

\[ 100 x_0^2 = 16 \]

\[ x_0^2 = 0.16 \]

\[ x_0 = 0.4 \text{ m} = 40 \text{ cm} \]

فنر ۴۰ cm فشرده می‌شه.

انرژی جنبشی و چارچوب‌های مرجع

یاد داشته باش از فصل ۲ که سرعت نسبی‌ست به چارچوب مرجع. انرژی جنبشی هم چنین!

جسمی که در چارچوب A با سرعت ۱۰ m/s و در چارچوب B (حرکت‌کننده با جسم) با سرعت ۰ m/s حرکت می‌کنه، انرژی جنبشی متفاوتی در دو چارچوب دارد:

این تناقض نیست — فقط این نشون می‌ده که انرژی جنبشی (مثل سرعت) به چارچوب ناظر بستگی داره. اما تغییرات انرژی جنبشی اگه همه‌ی ناظران از بازه‌ی زمانی یکسان استفاده کنند چارچوب‌-مستقل اند.

ارتباط با §۷.۲ (نیروهای متغیر)

در §۷.۲، یادگرفتیم که کار توسط نیروی متغیر انتگرال می‌خواه: \( W = \int F_x \, dx \). قضیه‌ی کار و انرژی می‌گه که این انتگرال همیشه برابر تغییر انرژی جنبشی است، بدون توجه به این‌کـه تابع نیرو چقدر پیچیده باشه. این نتیجه‌ی قوی‌ست: ما همیشه نیاز ندریم نیرو رو بر حسب موقعیت بشناسیم — اگه سرعت‌های ابتدایی و نهایی رو بشناسیم، می‌تونیم کار رو پیدا کنیم.

ارتباط با فصل ۵ (قوانین نیوتن)

قانون دوم نیوتن نیرو رو به شتاب ارتباط می‌ده: \( F = ma \). قضیه‌ی کار و انرژی نشون می‌ده چطور این رابطه‌ی ریزمقیاس (نیرو در هر لحظه) به نتیجه‌ی درشت‌مقیاس (تغییر انرژی جنبشی در طول جابه‌جایی) جمع می‌شه. این اولین لینک میان دینامیک (نیروها) و انرژی ـه.

چه چیزی رو باید یاد بگیری

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۷.۴: انرژی پتانسیل

قضیه‌ی کار و انرژی کار خالص رو به تغییر انرژی جنبشی متصل می‌کنه. ولی برخی نیروها (مثل گرانش و فنرها) محافظ‌کار اند: کار اونها فقط به موقعیت‌های شروع و پایان بستگی داره، نه به مسیر.

برای نیروهای محافظ‌کار، می‌تونیم انرژی پتانسیل U(x) تعریف کنیم به‌صورتی که:

\[ W_{\text{conservative}} = -\Delta U = -(U_f - U_i) = U_i - U_f \]

این به اصل پایستاری انرژی مکانیکی می‌رسه: \( E_{\text{mech}} = KE + U = \text{constant} \) (وقتی فقط نیروهای محافظ‌کار عمل می‌کنن). این §۷.۴ است.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 7, §7.4 — Work and Kinetic Energy. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 7.2: Kinetic Energy and the Work-Energy Theorem. 🎓 ببین: MIT 8.01 Lecture 9 (Walter Lewin) — "Potential Energy, Kinetic Energy, and the Work-Energy Theorem".

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.