§۷.۶ — توان

پایستاری انرژی به ما می‌گه چقدر انرژی منتقل می‌شه، ولی چقدر سریع نه. توان نرخ انتقال یا تبدید انرژی رو می‌سنجه. پاسخ سؤال‌هایی مثل «این دستگاه چند وات می‌کشه؟» یا «موتور چقدر توان تولید می‌کنه؟»

تعریف توان

توان (power) نرخ انتقال انرژی است:

\[ P = \frac{dE}{dt} \]

جایی‌کـه E انرژی است [J] و t زمان است [s].

یکای SI: وات (watt, W)

\[ 1 \text{ W} = 1 \text{ J/s} = 1 \text{ N} \cdot \text{m/s} \]

توان متوسط در بازه‌ی زمانی \( \Delta t \):

\[ P_{\text{avg}} = \frac{\Delta E}{\Delta t} \]

توان لحظه‌ای در یک لحظه:

\[ P = \frac{dE}{dt} \]

توان برای نیرویی که کار می‌کنه

وقتی نیروی \( \mathbf{F} \) روی جسم کار می‌کنه، توان لحظه‌ای است:

\[ P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{F}| |\mathbf{v}| \cos\theta \]

جایی‌کـه v سرعت لحظه‌ای جسم است و \( \theta \) زاویه بین نیرو و سرعت است.

چرا؟ یاد داشته باش از §۷.۱ که کار \( W = \mathbf{F} \cdot \Delta \mathbf{r} \) است. در زمان بسیار کوچک \( dt \)، جابه‌جایی \( d\mathbf{r} = \mathbf{v} \, dt \) است، پس:

\[ dW = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \mathbf{F} \cdot (\mathbf{v} \, dt) \]

\[ P = \frac{dW}{dt} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} \]

مثال: هل دادن ماشین

شخصی ماشینی را با نیروی ۵۰۰ N افقی می‌رانه. ماشین با سرعت ۲ m/s حرکت می‌کنه.

\[ P = F \cos(0°) \times v = 500 \times 1 \times 2 = 1000 \text{ W} = 1 \text{ kW} \]

شخص ۱ کیلووات توان به ماشین تحویل می‌ده.

مثال: نیرو با زاویه

تراکتوری با نیروی ۸۰۰ N با ۳۰° بالای افق گاوصندوقی را می‌کشه. گاوصندوق با سرعت ۱.۵ m/s افقی حرکت می‌کنه.

\[ P = F \cos(30°) \times v = 800 \times 0.866 \times 1.5 \approx 1039 \text{ W} \]

فقط جزء افقی نیرو به توان کمک می‌کنه.

مثال: صعود پله‌ها

شخص ۷۰ kg در مدت ۵ ثانیه ۱۰ متر عمودی بالا می‌رفته.

کار انجام‌شده (در برابر گرانش): \[ W = mgh = 70 \times 9.8 \times 10 = 6860 \text{ J} \]

توان متوسط: \[ P_{\text{avg}} = \frac{6860}{5} = 1372 \text{ W} \approx 1.4 \text{ kW} \]

عضلات شخص حدود ۱.۴ کیلووات توان تحویل می‌دن در حین صعود. (در واقعیت، عضلات فقط حدود ۲۵٪ کارآیی دارن، بنابراین توان متابولیکی ۴ برابر بیشتره.)

کارآیی (Efficiency)

کارآیی نسبت توان خروجی مفید به توان ورودی است:

\[ \eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\% \]

بیشتر دستگاه‌ها انرژی‌ای رو به‌عنوان گرما (بخاطر اصطکاک و بی‌کارآیی‌های دیگر) تبدید می‌کنن.

کارآیی‌های متداول

دستگاه کارآیی
موتور الکتریکی ۸۵–۹۵٪
موتور ماشین (احتراق داخلی) ۲۵–۳۵٪
موتور بخار ۳۰–۴۰٪
سلول خورشیدی ۱۵–۲۲٪
لامپ رشته‌ای حدود ۵٪
لامپ LED حدود ۳۰٪
دوچرخه + انسان حدود ۲۵٪

مثال: کارآیی موتور ماشین

موتور ماشین سوخت می‌سوزانه و انرژی شیمیایی رو به کار مکانیکی تبدیل می‌کنه. فرض کن موتور:

\[ \eta = \frac{15}{50} \times 100\% = 30\% \]

۳۵ kW باقی به‌صورت زیر تبدید می‌شه:

توان و نرخ انرژی

مثال: شارژ و دشارژ باتری

باتری گوشی‌هوشمند ۱۵ Wh (وات-ساعت) انرژی ذخیره می‌کنه.

اگه در ۱ ساعت شارژ بشه: \[ P = \frac{15 \text{ Wh}}{1 \text{ h}} = 15 \text{ W} \]

اگه در ۸ ساعت مصرف بشه (استفاده‌ی معمولی): \[ P = \frac{15 \text{ Wh}}{8 \text{ h}} = 1.875 \text{ W} \]

اگه در ۳۰ دقیقه شارژ شود (شارژ سریع): \[ P = \frac{15 \text{ Wh}}{0.5 \text{ h}} = 30 \text{ W} \]

انرژی یکسانه، ولی با نرخ‌های مختلف تحویل داده می‌شه (توان‌های متفاوت).

توان و انرژی جنبشی

اگه جسمی شتاب بگیره، توان تحویل‌شده به انرژی جنبشی ارتباط داره:

\[ P = \frac{dE_{\text{kinetic}}}{dt} = \frac{d(\frac{1}{2}mv^2)}{dt} = m v \frac{dv}{dt} = m v a = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} \]

این فرمول \( P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} \) رو تأیید می‌کنه.

مثال: شتاب دادن به ماشین (بازنگری)

ماشین ۱۵۰۰ kg توسط نیروی موتور ۳۰۰۰ N از ۰ تا ۲۵ m/s شتاب می‌گیره.

در v = 0 (شروع): \[ P = F \times v = 3000 \times 0 = 0 \text{ W} \]

توان نیازی نیست (ماشین هنوز شروع به حرکت نکرده).

در v = 10 m/s (نیمه راهی): \[ P = 3000 \times 10 = 30{,}000 \text{ W} = 30 \text{ kW} \]

موتور ۳۰ کیلووات توان تحویل می‌ده در این سرعت.

در v = 25 m/s (رسیدن به سرعت حداکثر): \[ P = 3000 \times 25 = 75{,}000 \text{ W} = 75 \text{ kW} \]

اگه موتور توان ماکزیمم کمتری داشته باشه (مثلاً ۶۰ kW)، نمی‌تونه نیروی ۳۰۰۰ N رو در این سرعت حفظ کنه — نیرو باید کاهش بیابه هرچه سرعت بیشتر می‌شه تا در محدوده‌ی توان بمونه.

کیلووات-ساعت: یکای انرژی

در زندگی روزمره از کیلووات-ساعت (kWh) به‌عنوان یکای انرژی استفاده می‌کنیم (روی صورت‌حساب برق):

\[ 1 \text{ kWh} = 1000 \text{ W} \times 3600 \text{ s} = 3.6 \times 10^6 \text{ J} = 3.6 \text{ MJ} \]

مثال: فن‌هیتر ۱.۵ kW که ۸ ساعت اجرا می‌شود انرژی استفاده می‌کنه: \[ E = 1.5 \text{ kW} \times 8 \text{ h} = 12 \text{ kWh} = 43.2 \text{ MJ} \]

اگه برق قیمت $0.12 در هر kWh داشته باشه: \[ \text{هزینه} = 12 \text{ kWh} \times \$0.12/\text{kWh} = \$1.44 \]

ارتباط با بخش‌های قبلی

چه چیزی رو باید یاد بگیری

بعد از این بخش باید بتونی:

خلاصه فصل ۷

فصل ۷ مفهوم انرژی رو از اصول تا کاربردها توسعه می‌ده:

  1. §۷.۱–§۷.۲: کار انتقال انرژی توسط نیرو بر روی جابه‌جایی است.
  2. §۷.۳: قضیه‌ی کار و انرژی کار رو به تغییر انرژی جنبشی ربط می‌ده.
  3. §۷.۴: انرژی پتانسیل انرژی رو در ساختار سیستم «ذخیره» می‌کنه.
  4. §۷.۵: انرژی مکانیکی وقتی تنها نیروهای محافظ‌کار عمل کنن پایسته است.
  5. §۷.۶: توان نرخ انتقال انرژی است.

اصل یکپارچه: انرژی پایسته است؛ می‌تونه میان انرژی جنبشی، پتانسیل، و حرارتی تبدیل بشه، ولی کل ثابت است (در سیستم ایزوله). توان نرخ این تبدیل‌ها رو می‌سنجه.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 7, §7.7 — Power. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 7.5: Power. 🎓 زمینه‌ی واقعی: IEA (بنیاد انرژی بین‌المللی) — آمارهای انرژی جهانی (روند مصرف توان جهانی).

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.