§۸.۳ — انرژی پتانسیل الاستیک

فنرها، تسمه‌های لاستیکی، و جامدات تغییرپذیر انرژی رو هنگام کشش یا فشرده‌سازی ذخیره می‌کنن. این انرژی انرژی پتانسیل الاستیکی است، و این‌ه قانونی شگفت‌انگیز ساده اطاعت می‌کنه: \( U = \frac{1}{2}kx^2 \)، جایی‌کـه k ثابت فنر و x تغییرشکل است. این بخش انرژی پتانسیل الاستیکی رو از قانون هوک توسعه می‌ده، نوسان‌گر هارمونیک (ساده‌ترین لیکن بنیادی‌ترین سیستم نوسانی در فیزیک) رو کاوش می‌کنه، و نشون می‌ده چطور انرژی الاستیکی و گرانشی در سیستم‌های واقعی ترکیب می‌شن.

قانون هوک و نیروی فنر

فنر نیروی بازگردانی رو متناسب با اینکه از تعادل چقدر جابه‌جا شده اعمال می‌کنه:

\[ F_{\text{spring}} = -kx \]

جایی‌کـه x جابه‌جایی از موقعیت تعادل و k ثابت فنر است [N/m]. علامت منفی نشون می‌ده که نیرو جابه‌جایی رو مخالفت می‌کنه — اگه فنر رو به راست کشی (\( x > 0 \))، به چپ برمی‌گرده (\( F < 0 \)).

معنی فیزیکی \( k \):

کار برای فشرده‌سازی فنر

وقتی فنر رو از \( x = 0 \) به \( x = x_0 \) فشرده کنی، در برابر نیروی فنر کار می‌کنی. نیروی اعمال‌شده توسط تو \( F_{\text{applied}} = kx \) است (مثبت، در جهت حرکت). کار است:

\[ W_{\text{applied}} = \int_0^{x_0} kx \, dx = \frac{1}{2}k x_0^2 \]

این کار به‌عنوان انرژی پتانسیل در فنر ذخیره می‌شه. بنابراین:

\[ U_{\text{spring}}(x) = \frac{1}{2}kx^2 \]

(با نقطه‌ی صفر در موقعیت تعادل، \( U(0) = 0 \)).

بازیابی نیرو از PE الاستیکی

از §۸.۱، نیرو رو از طریق بازیابی می‌کنیم:

\[ F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}kx^2\right) = -kx \]

درست: قانون هوک. انرژی پتانسیل الاستیکی رفتار فنر رو کاملاً کد می‌کنه.

نوسان‌گر هارمونیک

نوسان‌گر هارمونیک هر سیستمی است که توسط \( F = -kx \) اداره می‌شه. ساده‌ترین مدل نوسان است و همه‌جا ظاهر می‌شه: فنرها، آونگ‌ها (برای زوایای کوچک)، اتم‌های نوسانی، موج‌های الکترومغناطیسی، و سیستم‌های کوانتومی.

معادله‌ی حرکت

قانون دوم نیوتن رو برای جرم \( m \) متصل به فنر اعمال کن:

\[ F = ma = -kx \]

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \]

\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0 \]

فرکانس زاویه‌ای رو تعریف کن:

\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

سپس معادله می‌شه:

\[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \]

حل: حل عمومی است:

\[ x(t) = A\cos(\omega t + \phi) \]

جایی‌کـه A دامنه و \phi فاز است. سیستم در فرکانس ثابت \( f = \omega / (2\pi) \) نوسان می‌کنه، مستقل از دامنه (تا زمان‌ی‌که قانون هوک برقرار باشه).

انرژی در نوسان‌گر هارمونیک

در هر لحظه، کل انرژی مکانیکی است:

\[ E = KE + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{constant} \]

در حداکثر جابه‌جایی (\( x = A \), \( v = 0 \)):

\[ E = 0 + \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}kA^2 \]

در تعادل (\( x = 0 \), \( v = v_{\max} \)):

\[ E = \frac{1}{2}mv_{\max}^2 + 0 = \frac{1}{2}kA^2 \]

از معادله دوم: \( v_{\max} = A\omega = A\sqrt{k/m} \).

انرژی بین جنبشی و پتانسیل نوسان می‌کنه، لیکن کل محفوظ است.

مثال: جرم روی فنر

جرم ۰.۵ kg به فنری با \( k = 200 \) N/m متصل است. جرم ۰.۱ m از تعادل کشیده می‌شه و رها می‌شه. دامنه‌ی نوسان، حداکثر سرعت، و کل انرژی چقدره؟

دامنه: \( A = 0.1 \) m (حداکثر جابه‌جایی دامنه است).

فرکانس زاویه‌ای: \( \omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{200/0.5} = \sqrt{400} = 20 \) rad/s

حداکثر سرعت: \( v_{\max} = A\omega = 0.1 \times 20 = 2 \) m/s

کل انرژی: \( E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.1)^2 = 1 \) J

این ۱ J انرژی به‌طور مستمر بین شکل جنبشی (وقتی جرم از تعادل در ۲ m/s عبور می‌کنه) و شکل پتانسیلی (وقتی جرم لحظه‌ای در موقعیت‌های نقطه‌ی انتها متوقف می‌شه) نوسان می‌کنه.

ترکیب گرانش و PE الاستیکی: فنر عمودی

وقتی فنر عمودی آویزان باشه و جرم متصل باشه، هم گرانش و هم PE الاستیکی کمک می‌کنن. بگذار \( y \) موقعیت عمودی باشه (مثبت بالا) و \( y_0 \) موقعیت تعادل باشه (جایی‌که \( kx_0 = mg \)، با \( x_0 \) کشش).

کل انرژی پتانسیل:

\[ U_{\text{total}}(y) = mgy + \frac{1}{2}k(y_0 - y)^2 \]

ترم اول PE گرانشی است؛ دوم PE الاستیکی (کشش اندازه‌گیری‌شده از طول طبیعی در \( y_0 \)).

سادگی: با شیفت مختصات برای اندازه‌گیری جابه‌جایی از تعادل، می‌تونیم نشون دهیم که نوسان‌های حول تعادل هنوز توسط \( \frac{1}{2}k\xi^2 \) اداره می‌شه، جایی‌کـه \( \xi \) جابه‌جایی از تعادل جدید است. گرانش فقط موقعیت تعادل رو جابه‌جا می‌کنه اما فرکانس نوسان رو تغییر نمی‌ده.

PE الاستیکی در سیستم‌های واقعی

مثال: بنجی جهش

پرتاب‌کننده‌ای با جرم \( m = 75 \) kg از پل می‌پرد. طناب بنجی ثابت فنر \( k = 50 \) N/m و طول طبیعی \( L_0 = 20 \) m دارد. پل ۵۰ m بالای سکوی ایمنی است. حداکثر کشش طناب چقدره؟

پایستاری انرژی: در پایین‌ترین نقطه، تمام PE گرانشی به PE الاستیکی تبدیل می‌شه (فرض کن مقاومت هوا قابل‌صرف‌نظر است).

از ارتفاع ابتدایی به حداکثر کشش \( x_{\max} \):

\[ \text{PE ابتدایی (گرانش)} = \text{PE نهایی (الاستیک)} \]

دقیق‌تر:

\[ mg(L_0 + x_{\max}) = \frac{1}{2}kx_{\max}^2 \]

(پرتاب‌کننده فاصله‌ی کل \( L_0 + x_{\max} \) رو برای رسیدن به پایین‌ترین نقطه سقوط می‌کنه؛ گرانش کار \( mg(L_0 + x_{\max}) \) رو انجام می‌ده.)

بازچینی:

\[ \frac{1}{2}kx_{\max}^2 - mg x_{\max} - mg L_0 = 0 \]

\[ \frac{1}{2} \times 50 \times x_{\max}^2 - 75 \times 9.8 \times x_{\max} - 75 \times 9.8 \times 20 = 0 \]

\[ 25 x_{\max}^2 - 735 x_{\max} - 14{,}700 = 0 \]

استفاده از فرمول درجه دوم:

\[ x_{\max} = \frac{735 \pm \sqrt{735^2 + 4 \times 25 \times 14{,}700}}{2 \times 25} = \frac{735 \pm \sqrt{540{,}225 + 1{,}470{,}000}}{50} \]

\[ = \frac{735 \pm \sqrt{2{,}010{,}225}} \approx \frac{735 \pm 1{,}418}{50} \]

ریشه‌ی مثبت گیر: \( x_{\max} \approx \frac{2{,}153}{50} \approx 43 \) m

طناب حدود ۴۳ m می‌کشد، بنابراین پرتاب‌کننده کل ۲۰ + ۴۳ = ۶۳ m سقوط می‌کنه، که از ارتفاع پل ۵۰ m بیشتر است — سکو رو برخورد می‌کنن! این مثال خطر ابداع غلط ثابت‌های فنر یا ارتفاع‌های جهش رو نشون می‌ده.

ارتباط با فصل ۷ (کار و انرژی)

§۷.۲ کار توسط نیروی متغیر را معرفی کرد و نشون داد که \( W = \int F \, dx = \frac{1}{2}kx^2 \) برای فنر است. §۸.۳ اکنون این را در چارچوب انرژی پتانسیل قرار می‌ده: کار انجام‌شده توسط فنر برابر تغییر منفی PE الاستیکی، \( W = -\Delta U \) است، که دقیقاً آنچه ما با انتگرال یافتیم است.

چه چیزی رو باید یاد بگیری

بعد از این بخش باید بتونی:

پیش‌نمایش §۸.۴: پایستاری انرژی مکانیکی

وقتی فقط نیروهای محافظ‌کار (گرانش، فنرها، و غیره) روی سیستم عمل کنن، کل انرژی مکانیکی پایسته است. §۸.۴ این اصل رو به‌صورت منظم توسعه می‌ده، شرط برای پایستاری انرژی رو استخراج می‌کنه، و بررسی می‌کنه چه اتفاقی می‌افتد وقتی نیروهای غیرمحافظ‌کار مثل اصطکاک اضافه شه.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 8, §8.3 — Elastic Potential Energy and Simple Harmonic Motion. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 8.4: Elastic Potential Energy and Simple Harmonic Oscillation. 🎓 ویدیو: MIT 8.01 Lecture 13 (Walter Lewin) — "Simple Harmonic Oscillator".

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.