فصل ۸ — فلش‌کارت‌ها

کارت‌های حافظه — فصل ۸ 🃏

انرژی پتانسیل و پایستگی — ابزارهای قدرتمندترین فیزیک! انرژی پتانسیل، نیروهای محافظ‌کار، پایستگی انرژی، و تجسیمِ نمودارها رو حاصل کن. ⚡

🎮 چجوری کار می‌کنه؟

📋 دسته‌ی کارت‌ها: اصطلاحات و فرمول‌های کلیدی

بخش §۸.۱ — انرژی پتانسیل و نیروهای محافظ‌کار

  1. انرژی پتانسیل (U) — انرژیِ ذخیره‌شده در سیستم بر دلیلِ جایگاهِ اجزاء؛ \( \Delta U = -W_{\text{conservative}} \) (ژول)
  2. نیروی محافظ‌کار — نیرویی که کارِ انجام‌شده بر اثرِ آن مستقل از مسیر‌ه؛ انرژی پتانسیل تعریف‌پذیر
  3. رابطهٔ نیرو و پتانسیل — \( \mathbf{F} = -\nabla U = -\frac{dU}{dx}\hat{x} \) (یک بُعد)؛ نیرو در جهتِ کاهشِ U
  4. تفاوتِ انرژی پتانسیل — \( \Delta U = U_f - U_i = -W_{\text{conservative}} \) (کار علیه نیرو)
  5. نیروی غیرمحافظ‌کار — نیروی که کارِ انجام‌شده بر اثرِ آن به مسیر بستگی‌داره (اصطکاک، مقاومتِ هوا)
  6. شرطِ محافظ‌بودن — اگر \( \nabla \times \mathbf{F} = 0 \) (در فضایِ سه‌بُعدی)، نیرو محافظ‌کار‌ه

بخش §۸.۲ — انرژی پتانسیل گرانشی

  1. انرژی پتانسیل گرانشی (نزدیک زمین) — \( U = mgh \) (نسبتِ نقطهٔ مرجعِ \( h = 0 \))؛ تقریبِ معتبر برای \( h \ll R_E \)
  2. انرژی پتانسیل گرانشی (عمومی) — \( U = -\frac{GMm}{r} \) (صفر در بی‌نهایت)؛ مؤثر در هر فاصله‌ای
  3. تقریبِ خطی — اگر \( h \) کوچک باشه، \( \Delta U \approx mgh \)؛ از فرمولِ عمومی گسترش‌پذیری (Taylor) بیرون میاد
  4. انرژی پتانسیل و فاصله — برای گرانش دور، \( U(r) = -\frac{GMm}{r} \to 0 \) وقتی \( r \to \infty \)؛ همیشه منفی یا صفر

بخش §۸.۳ — انرژی پتانسیل الاستیک

  1. انرژی پتانسیل الاستیک (فنرِ خطی) — \( U = \frac{1}{2}kx^2 \) (ژول)؛ \( x \) تغییرِ طول از تعادل
  2. فنرِ نُه‌خطی — اگر \( F \neq -kx \)، داریم \( U = \int F \, dx \) (انتگرالِ نیرو)
  3. نمودارِ \( U(x) \) برای فنر — سهمی (parabola)؛ نقطهٔ کمینهٔ در \( x = 0 \) (تعادل)
  4. کار توسطِ فنر — \( W_{\text{spring}} = -\Delta U = \frac{1}{2}kx_i^2 - \frac{1}{2}kx_f^2 \)

بخش §۸.۴ — نمودارِ انرژی و تحلیلِ حرکت

  1. نمودارِ انرژی — نمایشِ گرافیکی \( U(x) \) و \( E_{\text{total}} \) (افقی) رویِ هم؛ فاصلهٔ عمودیِ \( E_{\text{total}} - U \) برابرِ \( KE \)
  2. نقطهٔ تعادل — جایی که \( dU/dx = 0 \) (حداقل یا حداکثری U)؛ نیرو در آن‌جا صفر‌ه
  3. نقطهٔ تعادلِ پایدار — حداقلِ انرژی پتانسیل؛ اگر آشفته کنی، بازمی‌گردد
  4. نقطهٔ تعادلِ ناپایدار — حداکثرِ انرژی پتانسیل؛ آشفتگی کوچک میل به فرار دارد
  5. نقطهٔ عطفی — جایی که \( E_{\text{total}} = U(x) \)، پس \( KE = 0 \) و \( v = 0 \)؛ جسم اینجا «برمی‌گردد»
  6. فرارِ از تعادل — اگر \( E_{\text{total}} > U(\text{max}) \)، جسم می‌تواند پرواز کند (خارج از چاهِ پتانسیل)

بخش §۸.۵ — پایستگیِ انرژی مکانیکی

  1. انرژی مکانیکیِ کل — \( E_{\text{mech}} = KE + U = \frac{1}{2}mv^2 + U(x) \) (ثابت اگر نیروی غیرمحافظ‌کار نباشه)
  2. پایستگیِ انرژی مکانیکی — \( E_i = E_f \) یا \( KE_i + U_i = KE_f + U_f \)؛ تنها برای نیروهای محافظ‌کار
  3. رابطهٔ دیفرانسیلی — \( \frac{dE}{dt} = \frac{d(KE + U)}{dt} = 0 \) اگر \( F = -dU/dx \)
  4. کار نیروی غیرمحافظ‌کار — \( W_{\text{non-cons}} = \Delta E_{\text{mech}} = E_f - E_i \)؛ اگر منفی، انرژی تلف می‌شه
  5. تلفِ انرژی از اصطکاک — \( \Delta E_{\text{mech}} = -f \cdot d \) (انرژی به حرارت و صدا تبدیل)

بخش §۸.۶ — سیستم‌های چند‌جسمی

  1. انرژی پتانسیل اثرِ متقابل — \( U_{12} = -\frac{Gm_1m_2}{r_{12}} \) (دو جسم)؛ نسبتِ فاصلهٔ بین‌شان
  2. انرژی کل سیستم — \( E = KE_1 + KE_2 + U_{12} \) (دو جسمی)؛ پایسته درِ سیستمِ جدا‌شده
  3. مرکزِ جرم و دستگاهِ مرجع — انرژی جنبشی = \( KE_{\text{CM}} + KE_{\text{rel}} \) (انرژی مرکز جرم + انرژی نسبی)

بخش §۸.۷ — کاربردها: مدارها و فرار

  1. سرعتِ مداریِ دایره‌ای — برای مدارِ دایره‌ای، \( \frac{Gm_1m_2}{r} = \frac{m_2v^2}{r} \)، پس \( v = \sqrt{GM/r} \)
  2. انرژی مداری — \( E = -\frac{Gm_1m_2}{2r} \) (منفی برای مدارهای بسته)؛ باید انرژی اضافه کنی برای فرار
  3. سرعتِ فرار — حداقلِ سرعتِ برای رهایی کاملی از گرانش؛ \( v_{\text{esc}} = \sqrt{2GM/r} \)
  4. اثباتِ سرعتِ فرار — اگر \( E_{\text{total}} = 0 \) در بی‌نهایت، الآن \( \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = 0 \)، پس \( v = \sqrt{2GM/r} \)
  5. مدارِ بیضی‌وار — نیمِ محورِ بزرگِ \( a \) تعیین می‌کنه انرژی؛ مدارِ دایره‌ای حالتِ خاصِ \( a = r \)
  6. نقاطِ ایستایی — پریهلیون (نزدیک‌ترین) و آفهلیون (دورترین) در مدار؛ سرعت‌ها از انرژی تعیین می‌شوند
  7. مسائلِ اجسامِ سه‌گانه — انرژی محافظ‌کار‌ه ولی مسیر پیش‌بینی‌ناپذیر است
  8. نوسانات و انرژی — در نوسانِ ساده‌ای (SHM)، انرژی بین KE و PE چرخش می‌کنه؛ \( E = \frac{1}{2}kA^2 \) (A دامنه)

بخش اضافی — معادلاتِ مهم

  1. قانونِ پایستگی — \( \frac{d}{dt}(KE + U) = 0 \) اگر نیروی غیرمحافظ‌کار نباشه
  2. شرطِ محافظ‌بودن (3D) — نیرو محافظ‌کار‌ه ⟺ \( \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} \)
  3. انرژی و معادلهٔ حرکت — معادلهٔ حرکت می‌تواند از انرژی پتانسیل استخراج شود: \( m\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{dU}{dx} \)
  4. ثابتِ سیستم — انرژی کل، تکانهٔ خطی (اگر نیرویی خارجی نباشه)، تکانهٔ زاویه‌ای (اگر گشتاور خارجی نباشه)

بخش اضافی — مفاهیمِ فیزیکی

  1. سیستمِ محصور — سیستمی که نیروی خارجی به آن وارد نمی‌شود؛ انرژی و تکانهٔ محفوظ‌اند
  2. میدان نیرویی — توصیفِ نیرویی که بر هر جسمی در هر نقطهٔ فضا وارد می‌شود (مثل گرانش)
  3. پتانسیل (به جای انرژی پتانسیل) — \( V = U/m \) (انرژی پتانسیلِ هر واحدِ جرم)؛ ویژه‌گیِ میدان، نه جسم
  4. تابعِ لاگرانژی — \( \mathcal{L} = KE - U \) (در حسابِ تغییرات)؛ ابزارِ پیشرفته برای معادلاتِ حرکت
  5. انرژی و بُعدِ زمان — انرژی \( \times \) زمان = عملِ (action)؛ مبنای مکانیکِ کوانتومی

📊 مفاهیمِ پوشش‌داده‌شده

بعد از کارت‌ها چی؟

👉 §۸.۸ — مسائل حل‌شده (مثال‌های گام‌به‌گام)
👉 §۸.۹ — تمرین‌ها (مسائل تمرینی)
👉 §۸.۱۰ — پرسش و پاسخ (پاسخ به سؤالات متداول)

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.