تکانه (impulse) مفهومی است که نیروی بزرگی را که در مدت زمان کوتاهی عمل میکند نشان میدهد. این مفهوم برای تجزیهوتحلیل برخوردها و انفجارها بسیار مفید است. این بخش تکانه را تعریف میکند و نشان میدهد چگونه برای حل مسائل برخورد کشسان و غیرکشسان استفاده میشود.
تعریف تکانه
تکانه (یا impulse) نیروی وارد شده روی جسم ضربدر مدت زمان عمل نیرو است:
\[ \mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} \, dt \]
برای نیروی ثابت:
\[ \mathbf{J} = \mathbf{F} \Delta t \]
یکا: نیوتونثانیه (N·s) یا کیلوگرممتربرثانیه (kg·m/s).
رابطه تکانه و تغییر تکانه
از قانون دوم نیوتون:
\[ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \]
انتگرالگیری:
\[ \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} \, dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{d\mathbf{p}}{dt} \, dt = \mathbf{p}_{t_2} - \mathbf{p}_{t_1} \]
\[ \mathbf{J} = \Delta \mathbf{p} \]
تکانه برابر است با تغییر تکانه جسم.
مثال ۱: توپ بیسبال و خفاشی
توپ بیسبالی به سمت خفاشی پرواز میکند:
- جرم توپ: \( m = 0.145 \) kg
- سرعت قبل از ضربه: \( v_i = 40 \) m/s
- سرعت بعد از ضربه: \( v_f = -60 \) m/s (معکوس)
- زمان برخورد: \( \Delta t = 0.001 \) s
سؤال: نیروی متوسط خفاش بر روی توپ چقدر است؟
حل:
تغییر تکانه: \[ \Delta \mathbf{p} = m(v_f - v_i) = 0.145(-60 - 40) = 0.145(-100) = -14.5 \text{ kg·m/s} \]
تکانه: \[ \mathbf{J} = \Delta \mathbf{p} = -14.5 \text{ N·s} \]
نیروی متوسط: \[ \mathbf{F}_{\text{avg}} = \frac{\mathbf{J}}{\Delta t} = \frac{-14.5}{0.001} = -14500 \text{ N} \]
خفاش با نیروی ۱۴۵۰۰ نیوتن (حدود ۱۵ تن!) به توپ ضربه میزند!
برخوردها — دو نوع
برخوردها به دو دسته تقسیم میشوند:
برخورد کشسان (Elastic collision)
در برخورد کشسان:
- تکانه حفظ میشود: \( m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f} \)
- انرژی جنبشی حفظ میشود: \( \frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2 \)
مثال: توپهای بیلیارد، برخورد اتمها در اتمشناسی.
برخورد غیرکشسان (Inelastic collision)
در برخورد غیرکشسان:
- تکانه حفظ میشود: \( m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f} \)
- انرژی جنبشی حفظ نمیشود: انرژی به گرما و تغییر شکل تبدیل میشود.
حالت خاص — برخورد کاملاً غیرکشسان: دو جسم پس از برخورد چسبیده میماند و با سرعت یکسان حرکت میکنند.
مثال ۲: برخورد کشسان یکبعدی
دو جسم روی خط:
- جسم ۱: جرم \( m_1 = 2 \) kg، سرعت اولیه \( v_{1,i} = 5 \) m/s
- جسم ۲: جرم \( m_2 = 3 \) kg، سرعت اولیه \( v_{2,i} = 0 \) m/s
برخورد کشسان. سرعتهای نهایی؟
حل:
برای برخورد کشسان، دو معادله داریم:
بقای تکانه: \[ 2(5) + 3(0) = 2 v_{1,f} + 3 v_{2,f} \] \[ 10 = 2 v_{1,f} + 3 v_{2,f} \quad \text{...(1)} \]
بقای انرژی: \[ \frac{1}{2}(2)(5)^2 + \frac{1}{2}(3)(0)^2 = \frac{1}{2}(2) v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}(3) v_{2,f}^2 \] \[ 25 = v_{1,f}^2 + 1.5 v_{2,f}^2 \quad \text{...(2)} \]
از معادله (1): \( v_{1,f} = 5 - 1.5 v_{2,f} \)
جایگزین در معادله (2): \[ 25 = (5 - 1.5 v_{2,f})^2 + 1.5 v_{2,f}^2 \] \[ 25 = 25 - 15 v_{2,f} + 2.25 v_{2,f}^2 + 1.5 v_{2,f}^2 \] \[ 0 = -15 v_{2,f} + 3.75 v_{2,f}^2 \] \[ v_{2,f}(3.75 v_{2,f} - 15) = 0 \]
دو حل:
- \( v_{2,f} = 0 \) (حالت ابتدایی — بدون برخورد)
- \( v_{2,f} = 4 \) m/s (حالت نهایی — برخورد واقعی)
بنابراین \( v_{2,f} = 4 \) m/s و: \[ v_{1,f} = 5 - 1.5(4) = 5 - 6 = -1 \text{ m/s} \]
جسم ۱ معکوس میشود و با سرعت ۱ m/s بهعقب حرکت میکند.
بررسی:
- تکانه: \( 2(-1) + 3(4) = -2 + 12 = 10 \) ✓
- انرژی: \( (-1)^2 + 1.5(4)^2 = 1 + 24 = 25 \) ✓
مثال ۳: برخورد غیرکشسان — خودروهای متصل
دو خودرو:
- خودرو A: جرم \( m_A = 1000 \) kg، سرعت \( v_{A,i} = 20 \) m/s
- خودرو B: جرم \( m_B = 1500 \) kg، سرعت \( v_{B,i} = 0 \) m/s (ایستاده)
آنها برخورد میکنند و چسبیده میمانند.
سؤال: سرعت نهایی؟
حل:
فقط بقای تکانه (انرژی ضائع میشود):
\[ m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = (m_A + m_B) v_f \]
\[ 1000(20) + 1500(0) = (1000 + 1500) v_f \]
\[ 20000 = 2500 v_f \]
\[ v_f = 8 \text{ m/s} \]
تحلیل انرژی:
انرژی جنبشی ابتدایی: \[ KE_i = \frac{1}{2}(1000)(20)^2 = 200000 \text{ J} \]
انرژی جنبشی نهایی: \[ KE_f = \frac{1}{2}(2500)(8)^2 = 80000 \text{ J} \]
انرژی ضائع شده: \[ \Delta E = 200000 - 80000 = 120000 \text{ J} \]
۶۰ درصد انرژی به گرما و تغییر شکل تبدیل شد!
فرمول سریع برخورد کشسان
برای برخورد کشسان یکبعدی دو جسم، فرمولهای سریع:
\[ v_{1,f} = \frac{(m_1 - m_2)v_{1,i} + 2m_2 v_{2,i}}{m_1 + m_2} \]
\[ v_{2,f} = \frac{(m_2 - m_1)v_{2,i} + 2m_1 v_{1,i}}{m_1 + m_2} \]
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- تعریف تکانه: \( \mathbf{J} = \mathbf{F} \Delta t \)
- رابطه تکانه و تغییر تکانه: \( \mathbf{J} = \Delta \mathbf{p} \)
- تفاوت برخورد کشسان و غیرکشسان
- بقای تکانه برای همه برخوردها
- فقط برخورد کشسان انرژی را حفظ میکند
پیشنمایش §۹.۵
تا اینجا ما حرکت خطی (انتقالی) را مطالعه کردیم. اما اجسامی مثل چرخها، توپهای دورانی، و ستارههای نوترونی میچرخند! فصل بعدی تکانهی زاویهای را معرفی میکند.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 9, §9.4.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.