§۹.۶ — دینامیک جسم صلب

اکنون ما می‌دانیم که:

اما اجسام واقعی (چرخ، توپ، سیاره) هم می‌چرخند هم حرکت می‌کنند. این بخش این دو نوع حرکت را با هم ترکیب می‌کند، ممان اینرسی را معرفی می‌کند، و نشان می‌دهد چگونه اجسام صلب تحت نیرو و گشتاور حرکت می‌کنند.

ممان اینرسی

ممان اینرسی اندازه‌ای از مقاومت جسم در برابر تغییر حرکت چرخشی است — نسخه‌ی چرخشی جرم.

برای سیستمی از ذرات:

\[ I = \sum_i m_i r_i^2 \]

جایی‌که \( r_i \) فاصله‌ی ذره \( i \) از محور دوران است.

برای جسم پیوسته:

\[ I = \int r^2 \, dm = \int r^2 \rho(\mathbf{r}) \, dV \]

یکا: کیلوگرم‌متر‌مربع (kg·m²).

جدول ممان اینرسی برای اشکال معمول

برای اجسام متقارن، ممان اینرسی حول محور تقارن:

جسم محور ممان اینرسی
میله نازک (طول \( L \)) عمود بر میانه \( \frac{1}{12}ML^2 \)
میله نازک از انتهای میله \( \frac{1}{3}ML^2 \)
استوانه (شعاع \( R \)) محور مرکزی \( \frac{1}{2}MR^2 \)
کره پوسته‌ای (شعاع \( R \)) از مرکز \( \frac{2}{3}MR^2 \)
کره جامد (شعاع \( R \)) از مرکز \( \frac{2}{5}MR^2 \)
دیسک (شعاع \( R \)) عمود بر مرکز \( \frac{1}{2}MR^2 \)

نکته: ممان اینرسی به محور دوران بستگی دارد. همان جسم اگر از محور‌های مختلف دوران کند، مقادیر متفاوتی دارد.

حرکت ترکیبی: انتقال + دوران

اکثر اجسام حقیقی هم حرکت انتقالی دارند (مرکز جرم حرکت می‌کند) هم حرکت چرخشی (حول مرکز جرم می‌چرخند).

انرژی جنبشی کل:

\[ KE_{\text{total}} = KE_{\text{trans}} + KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2}M v_{\text{cm}}^2 + \frac{1}{2}I_{\text{cm}} \omega^2 \]

جایی‌که:

مثال ۱: چرخ غلتان

چرخ جامد (استوانه) شعاع \( R = 0.5 \) m، جرم \( M = 20 \) kg می‌غلطد بدون لغزش.

سؤال: انرژی جنبشی کل؟

حل:

ممان اینرسی استوانه حول محور مرکزی:

\[ I_{\text{cm}} = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2}(20)(0.5)^2 = 2.5 \text{ kg·m}^2 \]

انرژی انتقالی:

\[ KE_{\text{trans}} = \frac{1}{2}M v_{\text{cm}}^2 = \frac{1}{2}(20)(4)^2 = 160 \text{ J} \]

انرژی چرخشی:

\[ KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2}I_{\text{cm}} \omega^2 = \frac{1}{2}(2.5)(8)^2 = 80 \text{ J} \]

انرژی کل:

\[ KE_{\text{total}} = 160 + 80 = 240 \text{ J} \]

توجه: تقریباً ۶۷ درصد انرژی انتقالی است و ۳۳ درصد چرخشی!

مثال ۲: توپ لغزشی در کف سالن

توپ جامد شعاع \( R = 0.1 \) m، جرم \( M = 2 \) kg روی کف کج‌پاف بدون اصطکاک کافی می‌غلطد (لغزش جزئی).

سؤال: انرژی جنبشی کل؟

حل:

ممان اینرسی کره جامد:

\[ I_{\text{cm}} = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{2}{5}(2)(0.1)^2 = 0.008 \text{ kg·m}^2 \]

انرژی انتقالی:

\[ KE_{\text{trans}} = \frac{1}{2}(2)(3)^2 = 9 \text{ J} \]

انرژی چرخشی:

\[ KE_{\text{rot}} = \frac{1}{2}(0.008)(10)^2 = 0.4 \text{ J} \]

انرژی کل:

\[ KE_{\text{total}} = 9 + 0.4 = 9.4 \text{ J} \]

اینجا بیشتر انتقالی است (۹۶ درصد).

معادلات حرکت اجسام صلب

برای جسم صلب تحت نیروهای خارجی و گشتاورهای خارجی:

حرکت انتقالی:

\[ \mathbf{F}_{\text{ext}} = M\mathbf{a}_{\text{cm}} \]

حرکت چرخشی (حول محور ثابت):

\[ \boldsymbol{\tau}_{\text{ext}} = I_{\text{cm}} \boldsymbol{\alpha} \]

جایی‌که \( \boldsymbol{\alpha} = \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} \) شتاب زاویه‌ای است.

این دو معادله مستقل عمل می‌کنند اگر بخواهید حول مرکز جرم دوران کنید.

مثال ۳: استوانه روی میز شیبدار

استوانه جامد روی میز شیبدار زاویه \( \theta = 30° \) بدون لغزش می‌غلطد.

سؤال: شتاب مرکز جرم چقدر است؟

حل:

نیروهای وارد:

حرکت انتقالی (کاهنده‌ی شیب):

\[ Mg\sin\theta - f = M a_{\text{cm}} \]

حرکت چرخشی:

\[ \tau = fR = I_{\text{cm}} \alpha \]

برای بدون لغزش:

\[ a_{\text{cm}} = R\alpha \]

(از رابطه‌ی کینماتیکی)

جایگزین \( \alpha = a_{\text{cm}}/R \) در معادله‌ی گشتاور:

\[ fR = \frac{1}{2}MR^2 \cdot \frac{a_{\text{cm}}}{R} \]

\[ f = \frac{1}{2}M a_{\text{cm}} \]

جایگزین در معادله‌ی انتقالی:

\[ Mg\sin\theta - \frac{1}{2}M a_{\text{cm}} = M a_{\text{cm}} \]

\[ Mg\sin\theta = \frac{3}{2}M a_{\text{cm}} \]

\[ a_{\text{cm}} = \frac{2}{3}g\sin\theta = \frac{2}{3}(9.8)\sin(30°) = \frac{2}{3}(9.8)(0.5) = 3.27 \text{ m/s}^2 \]

توجه: این کمتر از شتاب جسمی است که می‌لغزد (\( a = g\sin\theta = 4.9 \) m/s²) زیرا بخشی از انرژی به چرخش می‌رود!

مثال ۴: دو استوانه متفاوت

دو استوانه‌ی یکسان جرم و شعاع:

هر دو روی شیب یکسان بدون لغزش می‌غلطند.

سؤال: کدام‌یک سریع‌تر می‌رود؟

حل:

از فرمول \( a_{\text{cm}} = \frac{g\sin\theta}{1 + I/(MR^2)} \):

استوانه جامد: \[ a_1 = \frac{g\sin\theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3}g\sin\theta \]

استوانه پوسته‌ای: \[ a_2 = \frac{g\sin\theta}{1 + 1} = \frac{1}{2}g\sin\theta \]

استوانه جامد سریع‌تر است! (\( a_1 > a_2 \))

چرا؟ زیرا استوانه پوسته‌ای بیشتر سخت است و بخش بزرگ‌تری از انرژی به چرخش می‌رود.

نکات اساسی

۱. ممان اینرسی وابسته به توزیع جرم است؛ جسمی با جرم‌های پرت سخت‌تر می‌چرخد.

۲. حرکت ترکیبی انتقال و دوران مستقل (حول مرکز جرم) هستند.

۳. غلتش بدون لغزش رابطه‌ی ساده‌ای دارد: \( v_{\text{cm}} = R\omega \) و \( a_{\text{cm}} = R\alpha \).

۴. انرژی بین انتقالی و چرخشی توزیع می‌شود — اگر اصطکاک باشد!

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

جمع‌بندی فصل ۹

فصل ۹ پایه‌های مکانیک سیستم‌های ذرات و اجسام صلب را بنا کرد:

این مفاهیم بنیاد فیزیک کلاسیک هستند و به پیش‌رفته‌تر موضوعات (آب‌و‌هوا، نجوم، مهندسی) رهنمون می‌شوند.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 9, §9.6.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.