تاکنون ما حرکت خطی را مطالعه کردیم — یک جسم در یک خط راست یا در صفحه. اما بسیاری از اجسام میچرخند: چرخها، الکترونها درون اتمها، سیارهها، و حتی کهکشانها. کینماتیک دورانی همان قواعد حرکت خطی را برای چرخش بازنویسی میکند — اما با کمیتهای زاویهای به جای خطی.
موازیسازی خطی و زاویهای
تشابه عمیق بین دو نوع حرکت:
| خطی (Linear) | زاویهای (Angular) | نماد |
|---|---|---|
| موقعیت | زاویه | \( \theta \) |
| سرعت | سرعت زاویهای | \( \omega \) |
| شتاب | شتاب زاویهای | \( \alpha \) |
زاویه (Angle)
زاویه میزان چرخش را اندازهگیری میکند. در فیزیک، ما رادیان (radian) استفاده میکنیم، نه درجه.
تعریف رادیان
یک رادیان زاویهای است که بر یک کمان به طول برابر با شعاع دایره مقابل قرار میگیرد:
\[ \theta = \frac{s}{r} \]
جاییکه:
- \( s \) = طول کمان (arc length)
- \( r \) = شعاع دایره
- \( \theta \) = زاویه برحسب رادیان
مثال: دایرهای با شعاع 2 m. اگر جسمی روی محیط 6.28 m (≈ \( 2\pi \) متر) حرکت کند، زاویه چقدر است؟
\[ \theta = \frac{6.28}{2} \approx 3.14 = \pi \text{ rad} \]
این نصفدور است (\( \pi \) رادیان).
تبدیل بین رادیان و درجه
\[ 1 \text{ rev} = 2\pi \text{ rad} = 360° \]
\[ \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180} \]
نکته مهم: در تمام فرمولهای فیزیک، زاویه باید برحسب رادیان باشد، وگرنه نتایج غلط خواهند بود.
سرعت زاویهای (\( \omega \))
سرعت زاویهای میزان سریعتری چرخش را اندازهگیری میکند.
تعریف
\[ \omega = \frac{d\theta}{dt} \]
یکا: رادیان بر ثانیه (rad/s)
سرعت زاویهای و خطی
اگر جسمی روی دایرهای به شعاع \( r \) با سرعت زاویهای \( \omega \) بچرخد، سرعت خطی (مماس بر دایره) چقدر است؟
\[ v = \omega r \]
اثبات: طول کمان \( s = r\theta \). مشتق:
\[ \frac{ds}{dt} = r\frac{d\theta}{dt} \implies v = \omega r \]
مثال: جسمی روی دایرهی شعاع 0.5 m با سرعت زاویهای \( \omega = 4 \) rad/s میچرخد. سرعت خطی چقدر است؟
\[ v = 4 \times 0.5 = 2 \text{ m/s} \]
شتاب زاویهای (\( \alpha \))
شتاب زاویهای میزان تغییر سرعت زاویهای را اندازهگیری میکند.
تعریف
\[ \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \]
یکا: رادیان بر ثانیه مربع (rad/s²)
شتاب زاویهای و خطی
اگر جسمی با شتاب زاویهای \( \alpha \) روی دایرهی شعاع \( r \) بچرخد، شتاب خطی (مماسی) چقدر است؟
\[ a_{\text{tangential}} = \alpha r \]
نکته: این شتاب مماسی است (موازی با سرعت). شتاب مرکزگرا \( a_c = \omega^2 r \) عمود بر سرعت، به سمت مرکز است.
مثال: چرخی برای 5 ثانیهای شروع از سکون با شتاب زاویهای ثابت 2 rad/s² میچرخد. سرعت زاویهای نهایی و زاویهی کل چقدر است؟
\[ \omega_f = \omega_0 + \alpha t = 0 + 2 \times 5 = 10 \text{ rad/s} \]
\[ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times 25 = 25 \text{ rad} \]
تعداد دور: \( 25 / (2\pi) \approx 3.98 \) دور
معادلات کینماتیک دورانی
زمانیکه شتاب زاویهای ثابت است، معادلات کینماتیک خطی مستقیماً تبدیل میشوند:
| خطی (ثابت \( a \)) | زاویهای (ثابت \( \alpha \)) |
|---|---|
| \( v = v_0 + at \) | \( \omega = \omega_0 + \alpha t \) |
| \( x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \) | \( \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 \) |
| \( v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0) \) | \( \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta-\theta_0) \) |
مثال تطبیقی: چرخ ایستا شروع به چرخش میکند. بعد از 3 ثانیه، سرعت زاویهای 12 rad/s است. اگر شتاب زاویهای ثابت است، چقدر است؟
\[ \omega = \omega_0 + \alpha t \implies 12 = 0 + \alpha \times 3 \implies \alpha = 4 \text{ rad/s}^2 \]
دوره و فرکانس در حرکت دورانی
- دوره (\( T \)): زمان یک دور کامل (ثانیه)
- فرکانس (\( f \)): تعداد دور در ثانیه (هرتز، Hz)
\[ f = \frac{1}{T},\quad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \]
مثال: توپ یک دور را در 0.4 ثانیه میپیچید. فرکانس و سرعت زاویهای چقدرند؟
\[ f = \frac{1}{0.4} = 2.5 \text{ Hz} \]
\[ \omega = 2\pi \times 2.5 = 5\pi \approx 15.7 \text{ rad/s} \]
اندازههای برداری
اگرچه در این بخش ما فقط اندازه را بررسی کردیم، \( \omega \) و \( \alpha \) در واقع بردارند.
- جهت \( \vec{\omega} \): از قانون دست راست تعیین میشود — انگشتان در جهت چرخش، شست در جهت \( \vec{\omega} \)
- جهت \( \vec{\alpha} \): در جهت \( \vec{\omega} \) است اگر چرخش شتاب میگیرد، در خلاف جهت اگر کم میشود
در فصلهای بعد، این بردارها برای توصیف گشتاور و تکانهی زاویهای حیاتی هستند.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- رادیان: \( \theta = s/r \)
- رابطهی خطی-زاویهای: \( v = \omega r \) و \( a_\text{tan} = \alpha r \)
- معادلات کینماتیک: برای \( \alpha \) ثابت
- تعداد دور: تقسیم رادیان بر \( 2\pi \)
- دوره و فرکانس: \( T = 1/f \)، \( \omega = 2\pi/T \)
پیشنمایش §۱۰.۲
حالا که میدانیم چگونه چرخش را توصیف کنیم، سوال بعد این است: چه چیزی باعث چرخش میشود؟ پاسخ: گشتاور — نسخهی دورانی نیرو. اما برای درک اثر گشتاور، ابتدا باید ممان اینرسی را معرفی کنیم — توزیع جرم در حول محور چرخش.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 10, §10.1 — Rotational kinematics. 🔗 مرجع تکمیلی: §۴.۴ (حرکت دایرهای یکنواخت) — سرعت زاویهای اول بار معرفی شد.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.