قانون دوم نیوتون به ما میگوید نیرو چگونه حرکت خطی را تغییر میدهد:
\[ \vec F = m\vec a \]
حالا سؤال: چه چیزی حرکت دورانی را تغییر میدهد؟ پاسخ: گشتاور (torque) — نسخهی دورانی نیرو. و درستمانند نیرو، گشتاور با ممان اینرسی متناسب با شتاب زاویهای است:
\[ \vec \tau = I\vec \alpha \]
گشتاور (Torque)
گشتاور اثر چرخشی یک نیرو را اندازهگیری میکند.
تعریف
برای نیروی \( F \) در فاصله \( r \) از محور، با زاویه \( \theta \) بین بازوی گشتاور و نیرو:
\[ \tau = rF\sin\theta \]
یا برداری:
\[ \vec \tau = \vec r \times \vec F \]
یکا: نیوتونمتر (N·m)
چرا بازوی گشتاور مهم است؟
تنها مولفه عمود بر بازوی گشتاور تأثیر چرخشی دارد. اگر نیرو موازی با بازو باشد (\( \theta = 0° \))، گشتاور صفر است، چرخش نمیشود:
\[ \tau = rF\sin(0°) = 0 \]
اگر نیرو عمود باشد (\( \theta = 90° \))، گشتاور حداکثر است:
\[ \tau = rF\sin(90°) = rF \]
مثال عملی: درب. اگر نیرو را عمود بر درب در انتهایش فشار دهی، درب چرخش آسانی است. اگر نیرو را موازی درب (مثل فشردن کنار درب) بدهی، درب تکان نمیخورد.
بازوی گشتاور مؤثر
برای نیروی عمود، بازوی گشتاور مؤثر فاصله عمود از محور تا خط نیرو است:
\[ r_{\perp} = r\sin\theta \]
\[ \tau = F \cdot r_{\perp} \]
مثال عددی: نیروی 50 N عمود بر درب در فاصله 1.2 m از لولا:
\[ \tau = 50 \times 1.2 = 60 \text{ N·m} \]
اگر نیروی یکسان در فاصله 0.5 m فشار دهی:
\[ \tau = 50 \times 0.5 = 25 \text{ N·m} \]
۲.۴ برابر کمتر! به همین دلیل دستگیرههای درها دور از لولا قرار میگیرند.
قانون دوم نیوتون برای دوران
قانون دوم نیوتون برای حرکت دورانی:
\[ \tau = I\alpha \]
جاییکه:
- \( \tau \) = گشتاور خالص (N·m)
- \( I \) = ممان اینرسی (kg·m²)
- \( \alpha \) = شتاب زاویهای (rad/s²)
تشابه با حرکت خطی:
| خطی | زاویهای |
|---|---|
| \( F = ma \) | \( \tau = I\alpha \) |
| جرم = مقاومت به شتاب | ممان = مقاومت به شتاب زاویهای |
مثال
چرخی به ممان اینرسی 0.4 kg·m² تحت گشتاور 8 N·m است. شتاب زاویهای چقدر است؟
\[ \alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{8}{0.4} = 20 \text{ rad/s}^2 \]
سریع! برای مقایسه، شتاب خطی روی زمین معمولاً ~10 m/s² است.
گشتاورهای متعدد
اگر چندین نیروی متفاوت روی جسم عمل کند، هر کدام گشتاور خاص خود را ایجاد میکند. گشتاور خالص مجموع تمام گشتاورها است:
\[ \tau_{\text{net}} = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 + \cdots \]
نکته علامت: گشتاورهای پادساعتگرد مثبت هستند (قرارداد)؛ ساعتگرد منفی.
مثال
دیسک روی سطح بدون اصطکاک. دو نیروی:
- \( F_1 = 10 \) N عمود بر دیسک در فاصله
0.5 m(پادساعتگرد): \( \tau_1 = +5 \) N·m - \( F_2 = 6 \) N عمود بر دیسک در فاصله
0.5 m(ساعتگرد): \( \tau_2 = -3 \) N·m
گشتاور خالص:
\[ \tau_{\text{net}} = 5 - 3 = 2 \text{ N·m} \]
اگر \( I = 1 \) kg·m²:
\[ \alpha = \frac{2}{1} = 2 \text{ rad/s}^2 \text{ (پادساعتگرد)} \]
تعادل چرخشی (Rotational Equilibrium)
اگر جسمی ایستا نباشد (زاویهای) و نخواهد شروع شود چرخش، گشتاور خالص باید صفر باشد:
\[ \tau_{\text{net}} = 0 \implies \alpha = 0 \]
این برای اجسام معلق (مثل میلهی متوازن) یا اجسام در حال چرخش ثابت اهمیت دارد.
مثال عملی — قرقره آتوودشده
دو جرم m_1 = 4 kg و m_2 = 6 kg روی قرقره به شعاع r = 0.1 m و ممان اینرسی I = 0.02 kg·m².
پیدا کن: شتاب خطی و کشش در طناب.
حل:
برای جرمها:
- جرم بزرگتر پایین میرود: \( m_2 g - T = m_2 a \) (خطی)
- جرم کوچکتر بالا میرود: \( T - m_1 g = m_1 a \)
برای قرقره (دورانی): \[ \tau = (T_2 - T_1) r = I\alpha \]
اگر طناب لغزش نداشته باشد: \( a = \alpha r \)
از معادلات:
\[ (m_2 - m_1)g - T(r) = (m_1 + m_2)a + \frac{I\alpha}{r} \]
سادهسازی (فرمول نهایی):
\[ a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2 + I/r^2} \]
جایگذاری:
\[ a = \frac{(6-4) \times 9.8}{4 + 6 + 0.02/0.01} = \frac{19.6}{10 + 2} = \frac{19.6}{12} \approx 1.63 \text{ m/s}^2 \]
جهت گشتاور و چرخش
قانون دست راست:
- انگشتان در جهت چرخش
- شست در جهت \( \vec{\tau} \)
نتیجه: اگر \( \vec{\tau} \) به بالا باشد، چرخش پادساعتگرد است (از بالا دیدن).
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- تعریف گشتاور: \( \tau = rF\sin\theta \) یا \( \vec\tau = \vec r \times \vec F \)
- قانون دوم دورانی: \( \tau = I\alpha \)
- گشتاور خالص: جمع تمام گشتاورها
- علامتها: پادساعتگرد (+)، ساعتگرد (−)
- تعادل: \( \tau_{\text{net}} = 0 \)
- قانون دست راست: برای جهت
پیشنمایش §۱۰.۴
حتی اگر جسمی چرخش ثابت داشته باشد (بدون شتاب)، انرژی جنبشی دورانی دارد. این انرژی چگونه با سرعت زاویهای و ممان اینرسی مرتبط است؟ حتی بهتر: چگونه کار روی جسم دورانکننده انجام میشود؟
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 10, §10.3 — Rotational dynamics. 🔗 مرجع: §۹.۵ (تکانه زاویهای) — تعریف گشتاور و ارتباط با تغییر تکانه.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.