توپهای بیلیارد روی میز، دوچرخههای در خیابان، چرخهای ماشین — همه میغلتند. غلتش ترکیب هنری است:
- حرکت خطی: مرکز جرم حرکت میکند
- حرکت دورانی: جسم دروناش میچرخد
اگر جسمی بدون لغزش بغلتد (آنچه غلتش خالص نام دارد)، یک ارتباط هندسی ساده میان دو حرکت وجود دارد.
بدون لغزش = ارتباط خطی-زاویهای
اگر چرخ بدون لغزش بغلتد:
- نقطه تماسی با زمین لحظهای ایستا است
- مرکز چرخ مسافت برابر با طول کمان حرکت میکند
ارتباط:
\[ v_{\text{cm}} = R\omega \]
جاییکه:
- \( v_{\text{cm}} \) = سرعت مرکز جرم
- \( R \) = شعاع
- \( \omega \) = سرعت زاویهای
اثبات هندسی
اگر چرخ یک دور کامل (\( \theta = 2\pi \) rad) بغلتد:
- نقطه تماس طول محیط (\( 2\pi R \)) حرکت میکند
- مرکز جرم نیز طول محیط حرکت میکند
\[ s = R\theta \implies v_{\text{cm}} = R\omega \]
مثال
توپ بسکتبال (شعاع ۱۲ سانتیمتر) روی زمین بغلتد بهطوری که سرعت مرکز جرم 2 m/s. سرعت زاویهای چقدر است؟
\[ \omega = \frac{v_{\text{cm}}}{R} = \frac{2}{0.12} \approx 16.7 \text{ rad/s} \]
تعداد دور بر ثانیه:
\[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{16.7}{6.28} \approx 2.7 \text{ Hz} \]
توپ تقریباً ۲.۷ دور بر ثانیه میچرخد!
انرژی غلتشی
جسم غلتشی دو انرژی دارد:
\[ K_{\text{total}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}m v_{\text{cm}}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \]
جایگذاری \( \omega = v_{\text{cm}}/R \):
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2}m v_{\text{cm}}^2 + \frac{1}{2}I\left(\frac{v_{\text{cm}}}{R}\right)^2 \]
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2}m v_{\text{cm}}^2 + \frac{I v_{\text{cm}}^2}{2R^2} \]
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2}v_{\text{cm}}^2 \left(m + \frac{I}{R^2}\right) \]
جرم مؤثر غلتشی
برای سهولت، میتوان تعریف کرد:
\[ m_{\text{eff}} = m + \frac{I}{R^2} \]
سپس:
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2}m_{\text{eff}} v_{\text{cm}}^2 \]
این جسم غلتشی مثل جسم خطی با جرم بیشتر رفتار میکند!
مثال عددی
استوانه جامد، جرم 3 kg، شعاع 0.2 m:
- \( I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (0.2)^2 = 0.06 \) kg·m²
- \( m_{\text{eff}} = 3 + \frac{0.06}{(0.2)^2} = 3 + 1.5 = 4.5 \) kg
جسم غلتشی ۱.۵ برابر سنگینتر از اندازه است (از نقطهی نظر انرژی).
اگر \( v_{\text{cm}} = 4 \) m/s:
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2} \times 4.5 \times 16 = 36 \text{ J} \]
تفکیک:
- \( K_{\text{trans}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 16 = 24 \) J
- \( K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} \times 0.06 \times (20)^2 = 12 \) J
- کل =
36 J✓
مسائل میلنورد (Incline)
حالت ۱: لغزش بدون اصطکاک
جسمی روی شیب بدون اصطکاک لغزش میکند (نه غلتش):
\[ a = g\sin\theta \]
(درست مثل حرکت خطی سادهٔ شیبدار)
حالت ۲: غلتش بدون لغزش
اگر جسمی بدون لغزش غلت بخورد:
قانون دوم (خطی): \[ mg\sin\theta - f = ma_{\text{cm}} \]
قانون دوم (دورانی): \[ fR = I\alpha \]
بدون لغزش: \[ a_{\text{cm}} = R\alpha \]
حل برای \( a_{\text{cm}} \):
\[ a_{\text{cm}} = \frac{g\sin\theta}{1 + I/(mR^2)} \]
مقایسه
برای اجسام مختلف بر شیب (زاویه \( \theta \)):
| شکل | \( I \) | \( a_{\text{cm}} \) |
|---|---|---|
| لغز (بدون تقسیم) | — | \( g\sin\theta \approx 0.5g \) |
| کره | \( \frac{2}{5}MR^2 \) | \( \frac{5g\sin\theta}{7} \approx 0.36g \) |
| استوانه | \( \frac{1}{2}MR^2 \) | \( \frac{2g\sin\theta}{3} \approx 0.33g \) |
| حلقه | \( MR^2 \) | \( \frac{g\sin\theta}{2} \approx 0.25g \) |
اگر یک کره و حلقه یکزمان از بالای میل بیافتند، کره اول میرسد! چون کمتر** انرژی در چرخش خود جذب میکند.
ترمز کردن و اصطکاک
وقتی درایو غلتشی (مثل ترمز ماشین) اصطکاک تولید میکند:
- اصطکاک خطی حرکت را کند میکند
- اصطکاک دورانی چرخش را کند میکند
اگر اصطکاک خیلی سخت باشد، توپ نمیتواند معاً ترجمه و دوران را کاهش دهد — لغز شروع میشود.
مثال: توپ بیلیارد را با سپین معکوس (backspin) ضربه میزنیدن:
- توپ جلو حرکت میکند
- اما عقب میچرخد (سپین معکوس)
- اصطکاک میز لغزش را تا زمان آرام آن توقف میکند
- وقتی سپین معکوس صفر شود، توپ به غلتش خالص میرسد
- اگر اصطکاک باقیمانده داشته باشد، توپ توقف مییابد
دستیابی به غلتش خالص
در عملیات، برای اینکه توپی بدون لغزش شروع کند:
۱. شروع با لغز: توپ نیرویی دارد اما تقریباً بدون سپین ۲. اصطکاک زمین: آن را شتاب میدهد و سپین اضافه میکند ۳. تعادل: وقتی \( v = R\omega \) برقرار شود، غلتش خالص شروع میشود
این اصطکاک لازم است برای نبود لغز!
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- بدون لغزش: \( v_{\text{cm}} = R\omega \)
- انرژی کل: \( K = \frac{1}{2}m_{\text{eff}} v_{\text{cm}}^2 \)
- شتاب شیب: \( a_{\text{cm}} = \frac{g\sin\theta}{1 + I/(mR^2)} \)
- کره سریعترین است (کمترین انرژی دورانی)
- اصطکاک برای کاهش لغز ضروری است
پیشنمایش §۱۰.۶
حالا که ما فهمیدیم چگونه اجسام میغلتند، سوال عمیقتر: وقتی جسمی چرخندگی غیرمنتظره دارد (یعنی بازویش خود از محور فاصلهٔ متغیر دارد)؟ چگونه ژیروسکوپ تعادل خود را حفظ میکند؟ این ژیروسکوپی و پیشفصال هستند.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 10, §10.5 — Rolling motion. 🔗 مرجع: §۱۰.۴ (انرژی دورانی) — برای درک توزیع انرژی.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.